F
E
D C
BA
E
F
C
D
A
Chuyên đề 5 (6tiết):
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
*) Kiến thức cơ bản :
1. a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang
và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
2. a) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai
cạnh bên của
hình thang.(h.9) h.8 h.9
NM
D C
BA
3.a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng

M
D
C
B
A
Giải :
Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là
đường trung bình của
ABD

và
BCD

nên
AB
OM
2
 và OM // AB ; (1)
ON =
CD
2
và ON // CD ; (2)
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm
M, O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác,
nối hai điểm này ta chưa được đường trung bình của tam giác nào cả. Vì thế
ta đã vẽ thêm trung điểm của đường chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng được
định lí đường trung bình của tam giác để chứng minh.

ABC

nên

AB
MP NQ
2
  .
PQ là đoạn nối trung điểm hai đường chéo của hình thang ABCD nên

CD AB
PQ
2

 .
Ta có : MP = +Q = QN
AB2 CD AB
2 2

 

AB CD AB
CD 2.AB
  
 

+) Nhận xét :
F
O
D
Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và EP vuông góc với d. Ta có
BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d). Vì O là
tọng tâm của tam giác ABC nên BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP
(đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta được ba hình thang vuông
BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đường trung bình. Từ
đó suy ra
MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1)
Nhưng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta được
BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.
 Ví dụ 4 :
Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác
vuông cân ACA’, BCB’ ra ngoài tam giác ABC (
·
·
A'AC = CBB' = 1v
).
Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm của A’B’) không phụ thuộc
vào vị trí chọn điểm C.
Giải :
F
EH
C
A
N B
B'

CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1:
Cho tam giác ABC có
µ
A =

. Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD =
AB. Kẻ đường thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đường
thẳng xy tạo với AB.
Bài 2 :
Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD
bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần
lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng IE song
song với tia phân giác của góc xOy.
Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và
C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC (
vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lượt
là trung điểm của EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông
cân.
Bài 4:
Cho hai điểm A và B ở ngoài đường thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách
từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B
đến xy.
Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là
chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của
đường thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất.