Trang 1
CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y
(n)
)= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y
(n)
là các đạo hàm của y .
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình.
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
:
4.1.1 Khái niệm
:
1. Phương trình vi phân cấp 1
:
Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 .
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y) .
2.Nghiệm tổng quát
:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa
phương trình .
3. Nghiệm riêng
:
Nghiệm y = ϕ(x,C
0
) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với
một giá trị cụ thể C = C
o
gọi là nghiệm riêng.
4.Tích phân tổng quát

Ví Dụ
2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp
:
1. Định nghĩa
:
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình
có dạng : y’ = f (
x
y
).
2. Cách giải
:
Đặt u =
x
y
<=> y = ux => y’ = u’x + u
Suy ra : f(u) = u + x .
dx
du
<=> x
dx
du
= f (u) - u
Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có :
x
dx
=
uuf
du

: Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y’ + p(x)y = 0 (2)
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát
của phương trình (2)
Bước 2
: Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C .

Ví dụ 1
: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe
-x2
(1)
ĐS : y =
2
2
2
x
eK
x
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x

α
≠1
Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y
∝
y
-∝
. y’ + p(x).y
1-∝
= q(x)
Đặt u = y
1-

α
suy ra u ’= (1-
α
) y
-
α
.y’. Phương trình trên trở thành :
u’+ (1-

α
) p(x) u = (1-
α
)q(x)
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u.
Ví Dụ
: Giải phương trình vi phân : y’ +
42
yx

0
2
0
1
,CC ) với
0
2
0
1
,CC là các giá trị xác định của C
1
, C
2

Tích phân tổng quát : φ(x,y,C
2
,C
2
) = 0
4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)
Bước 1
: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Giải phương trình đặc trưng :
k
2
+ pk + q = 0 (3)

k
1
=
α
+
β
i và k
2
=
α
-
β
i
Nghiệm tổng quát của pt (2) là : Ví Dụ 1
: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1.
Ví Dụ 2
: Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
Ví Dụ 3
: Giải phương trình vi phân : y’’ - 2y’ + 5y = 0
y = C
1
xk
e
1
+C
2

1) f(x) =
x
e
α
P
n
(x).
a)Nếu
α
không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =
x
e
α
Q
n
(x)
b)Nếu
α
trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x
x
e
α
Q
n
(x)
c)Nếu
α
trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm

ĐS : y =(C
1
+ C
2
)e
3x
+
x
e
x
3
3
6

2) f(x) = P
m
(x) cos
β
x + P
n
(x) sin
β
x :
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
• y = Q
l
(x) cos
β
x + R
l