ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2
1.1. Xây dựng vành K[X] 2
1.2. Hàm đa thức 6
1.3. Số học trong K[X] 7
1.4. Không điểm của đa thức 10
1.5. Đa thức với hệ số phức và thực 12
Chương 2. Phân thức hữu tỷ 16
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ 16
2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản 22
2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG) 28
2.4. Công thức nội suy Lagrange 38
Chương 3. Một số bài toán liên quan 42
3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ 42

5
Lê Hải Hà
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn ta giả sử
K
là một trường.
1.1. Xây dựng vành đa thức
[ ]K X
1.1.1. Định nghĩa.
(i). Với mọi dãy
( )
n
n
a
∈¥
thuộc
n
K
, ta gọi tập hợp các n thuộc
¥
sao cho
0
n
a ≠
là giá của
( )
n
n
a

a
∈¥
thuộc
K
¥
:
( )
n
n
a
∈¥
( )
( )
[ ] , , 0 .
n
K X N n n N a∈ ⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ =¥ ¥
Các phần tử của
[ ]K X
cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy
hằng không thuộc
K
¥
(xác định bởi:
, 0
n
n a∀ ∈ =¥
), được gọi là đa thức
không. Đa thức hằng là các đa thức
( )
n

n
a
∈¥
,
( )
n n
b
∈¥
bằng nhau khi và chỉ khi:
, .
n n
n a b∀ ∈ =¥
6
(ii).
[ ]K X K≠
¥
vì dãy hằng (1) (xác định bởi:
, 1
n
n a∀ ∈ =¥
) thuộc
K
¥
,
không thuộc
[ ]K X
.
Định nghĩa. Cho
( ) [ ].
n n

0
n
a ≠
. Ta quy ước
(0) .val = +∞
Nhận xét:
[ ]\{0}, ( ) deg( ).P K X val P P∀ ∈ ≤
Định nghĩa. Cho
( ) [ ].
n n
P a K X
∈
= ∈
¥
(i). Ta nói rằng
P
là chẵn khi và chỉ khi:
2 1
, 0.
p
p a
+
∀ ∈ =¥
(ii). Ta nói rằng
P
là lẻ khi và chỉ khi:
2
, 0.
p
p a∀ ∈ =¥

:
•
deg( ) (deg( ),deg( )).P Q Max P Q+ ≤
•
deg( ) deg( ) deg( ) (deg( ),deg( )).P Q P Q Max P Q≠ ⇒ + =
•
( ) ( ( ), ( )).val P Q Min val P val Q+ ≥
•
( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).val P val Q val P Q Min val P val Q≠ ⇒ + =
(iii). (
[ ]K X
,+) là một nhóm Abel.
1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân).
7
(i). Cho
( )
n n
P a
∈
=
¥
,
( )
[ ].
n
n
Q b K X
∈
= ∈
¥

( , ) ( [ ]) ,
( ) ( ) ( ).
PQ P Q
P Q K X
val PQ val P val Q
= +

∀ ∈

= +

Ta quy ước ở đây rằng:
•
( ) ( )
(
( )
, , .N N N∀ ∈ −∞ + = −∞ +∞ + = +∞¥
•
( ) ( ) ( ) ( )
, .−∞ + −∞ = −∞ +∞ + +∞ = +∞
(iii). (
[ ]K X
,+,
g
) là một miền nguyên.
(iv). Các phần tử nghịch đảo của vành
[ ]K X
là các dãy
( ,0, ,0, )
α

{ }
deg( ) deg( )
\ 0 , [ ], .
( ) ( )
P P
K P K X
val P val P
λ
λ
λ
=

∀ ∈ ∀ ∈

=

(iii).
[ ]K X
, được trang bị các luật +,
g
(ngoài),
g
(trong) là một
K
- đại số
kết hợp, giao hoán, có đơn vị.
(iv). Ánh xạ
: [ ]K K X
θ
→

+
=
. Đặc biệt:
1
X X=
.
Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng:
*
, (0, ,0,1,0, ,0, ),
n
n X∀ ∈ =¥ K K K
trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0).
Cho
( )
[ ],
n
n
P a K X N
∈
= ∈ ∈
¥
¥
sao cho
( )
degN P≥
, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
0 1
0 1

n
n
n
a X
=
∑
(trong đó
( )
degN P≥
), hoặc
n
n
n
a X
∈
∑
¥
, hoặc
0
n
n
n
a X
+∞
=
∑
(để tránh chỉ rõ
bậc của đa thức). Đối với
0
[ ]

1, , , , ,
n
X X XK K
là một cơ sở
K
- kgv
[ ]K X
, gọi là cơ sở chính tắc của
[ ]K X
. Với
n∈¥
cố định, tập hợp
{ }
[ ];deg( )P K X P n∈ ≤
rõ ràng là một
K
- không gian vector con của
[ ]K X
,
thường được kí hiệu
[ ]
n
K X
. Họ hữu hạn
2
1, , , , ,
n
X X XK K
là một cơ sở của
[ ]

Thế thì
( )
i i I
P
∈
độc lập trong
K
- kgv
[ ]K X
.
1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức).
9
Cho
0
[ ]
N
n
n
n
P a X K X
=
= ∈
∑
và
[ ]Q K X∈
. Ta định nghĩa đa thức hợp
P Qo

(hoặc
( )P Q

P a X K X
=
= ∈
∑
, đa thức
đạo hàm của
P
, và kí hiệu là
'
P
, là đa thức được định nghĩa bởi:
( )
1
' 1
1
1 0
1 .
N N
n n
n n
n n
P na X n a X
−
−
+
= =
= = +
∑ ∑
Ta kí hiệu
( ) ( )

n
n
n
P a X K X
=
= ∈
∑
.
Ta kí hiệu
:P K K→
%

0
N
n
n
n
x a x
=
∑
a
hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với
P
.
1.2.2. Mệnh đề. Với mọi
K
α
∈
và
, [ ]P Q K X∈

10
Nhận xét: Vậy khi
K
là vô hạn, ta có thể đồng nhất
P
với
o
P
, tức là kí hiệu
P
thay
o
P
.
1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho
[ ],P X N∈ ∈¥£
thỏa
mãn
deg( ) ,P N a≤ ∈£
. Ta có:
( )
( )
²
( )
0
.
!
n
N
n

, ta cũng nói:
A
là một ước của
P
, hoặc
P
là một bội
của
A
.
Nhận xét:
•
[ ], A|0.A K X∀ ∈
•
[ ], (0|P 0).P K X P∀ ∈ ⇔ =
• Nếu kí hiệu
{ }
[ ] [ ]; [ ],P=AQAK X P K X Q K X= ∈ ∃ ∈
, với mọi
[ ]A K X∈
thì ta có với mọi
2
( , ) ( [ ])A P K X∈
,
| [ ] [ ].A P AK X PK X⇔ ⊃
1.3.2. Mệnh đề.
•
[ ], | .A K X A A∀ ∈
•
{ }

•
{
( )
3
( , , ) ( [ ]) , | | .A B C K X A B A BC∀ ∈ ⇒
•
3
|
( , , ) ( [ ]) , | ) .
|
A B
A B C K X A B C
A C
 

∀ ∈ ⇒ +

 ÷

 
11
•
4
|
( , , , ) ( [ ]) , | .
|
A B
A B C Q K X AP BQ
P Q
 

= +


<

Đa thức
Q
(tương ứng:
R
) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia
Euclide
A
cho
B
.
1.3.4. Mệnh đề.
o
( )
( )
[ ], , | 0 .P K X a K X a P P a∀ ∈ ∀ ∈ − ⇔ =
1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng).
Cho
, [ ], [ ]n A K X B K X∈ ∈ ∈¥
sao cho
( )
0val B =
(tức là
o
( )
0 0B ≠

),
1
0 0
Q a b
−
=
. Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy
tồn tại
[ ]R K X∈
sao cho A – BQ = XR.Vậy
A BQ XR= +
và
( )
deg 0Q ≤
.
12
Giả sử
n∈¥
và giả sử tồn tại
( )
[ ]
( )
2
,Q R K X∈
sao cho
1n
A BQ X R
+
= +


.
deg 1.
n n
A BQ X Bq XR BQ X R
Q n
+ +
= + + = +


≤ +


(ii). Tính duy nhất
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,Q R Q R
thích hợp. Suy ra
( ) ( )
1
1 2 2 1
n
B Q Q X R R
+
− = −
, do đó
bằng cách chuyển sang các định giá
( ) ( )
1 2 2 1
1 1val Q Q n val R R n− = + + − ≥ +

3 4 5
2 3 1 4
7 2 7 27
27 8
116 34 27
X X X X X X
X X X X X
X X
X X X
+ − + + − +
− − − − +
−
− + −
Suy ra thương
2
2 7 27Q X X= − +
và dư
2
116 34 27R X X= − + −
1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho
( )
{ }
( )
*
1
, , , [ ]\ 0 .
n
n
n P P K X∈ ∈¥
Tập hợp tất cả các bậc của đa thức

, ,
n
P P
, và có bậc cao nhất trong các ước chung của
1
, ,
n
P P
. Tương tự
tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc
M
, khác không, là bội chung của
1
, ,
n
P P
và có bậc thấp nhất trong các bội chung của
1
, ,
n
P P
.
1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN).
1
1
[ ] [ ], [ ] [ ].
n
n
i i
i

1
, , \ 0
n
n
P P K X∈K
. Để
( )
1
, ,
n
P PK
nguyên tố cùng nhau
trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại
( )
[ ]
( )
1
, ,
n
n
U U K X∈K
sao cho
1
1.
n
i i
i
PU
=
=

.
1.4.2. Mệnh đề. Cho
1
[ ], , , ,
n
P K X n x x K
∗
∈ ∈ ∈¥
từng đôi khác nhau. Nếu
1
, ,
n
x x
là các không điểm của
P
thì
( )
0
|
n
i
i
X x P
=
−
∏
.
1.4.3. Hệ quả.
14
(i). Cho

a
là một không
điểm cấp bội không thấp hơn
α
của
P
khi và chỉ khi:
( )
|X a P
α
−
.
Ta nói rằng
a
là một không điểm cấp bội đúng bằng
α
của
P
khi và chỉ
khi:
( )
|X a P
α
−
và
( )
1
|X a
α
+

P
, và ta nói rằng
α
là cấp bội của không điểm
a
trong
(hoặc của)
P
.
1.4.6. Mệnh đề. Cho
1
, , ,
n
n x x K
∗
∈ ∈¥
từng đôi khác nhau.
( )
1
, [ ].
n
k
k
A X x B K X
=
= − ∈
∏
Thế thì ta có:
{ }
o

= −
∏
.
Ở đây
1
, ,
n
x x
không nhất thiết khác nhau từng đôi.
15
1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản). Cho
1
, , ,
n
n x x K
∗
∈ ∈¥
. Các
biểu thức sau:
( ) ( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2 .
1
2 1 2 1 3 1 2 3 2
1
2 1 2 1

≤ < < < ≤
= = + + +
= = + + + + + +
+ + + +
= ≤ ≤
=
∑
∑
∑
M
M
gọi là các hàm cơ bản của
1
, ,
n
x x
.
1.4.9. Mệnh đề (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm).
Cho
( )
* 1
0
, , ,
n
n
n a a K
+
∈ ∈¥
sao cho
0

i
P a X x
=
= −
∏
.
Thế thì ta có:
( ) ( )
1 0
1
, , 1 , , 1
k n
n n k
k n
n n n
a a a
a a a
σ σ σ
− −
= − = − = −
.
trong đó
1
, ,
n
σ σ
chỉ các hàm đối xứng cơ bản của
1
, ,
n

16
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại
[ ]P X∈£
,
khác hằng và không có một không điểm nào trong
£
. Ta ký hiệu
deg( ) 1n P= ≥
,
0
n
i
i
i
P a X
=
=
∑
, và
:
ϕ
→£ £

( )
z P za
(i). Vì
( )
z
ϕ
→ +∞

0
z ∈£
sao cho:
0
( )= (z)
z B
z Inf
ϕ ϕ
≤
.
Vì hơn nữa:
( ) ( )
( )
( )
0
, 0z z B z z
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ > ⇒ > ≥£
.
nên ta kết luận:
( )
( )
0
z
z Inf z
ϕ ϕ
∈
=
£
.

( )
( )
0
!, 0
n
n
P z n a= ≠
, nên tồn tại
*
k ∈¥
sao cho:
17
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
0
0
0
1, , , 0
k
l
P z
l k l k P z

≠



P z P z
P z h
h h h
P z k P z n P z
+
∀ ∈ = + + +£
.
Theo sự khảo sát của các căn bậc
k
trong
£
, tồn tại
*
w∈£
sao cho:
( )
0
( )
! ( )
k
k
o
P z
w
k P z
= −
.
Vậy ta có (với
t ∈¡
):

w
t
P z
η
 
+
 ÷
 
∀ ∈ <
.
điều này mâu thuẫn với định nghĩa
0
z
.
1.5.2. Hệ quả.
(i). Mọi đa thức khác hằng trong
[ ]X£
đều tách được trên
£
.
(ii). Các đa thức bất khả quy thuộc
[ ]X£
là các đa thức bậc 1.
1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực).
(i). Cho
[ ]
P X∈£
. Ta có:
[ ]
( )

P
.
(iii). Các đa thức bất khả quy của
[ ]
X¡
là:
Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức <0.
19
Chương 2
Phân thức hữu tỷ
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ
Ta ký hiệu
E
=
[ ]K X
x (
[ ]K X
\{0}) và xét quan hệ
ℜ
xác định trong
E
bởi
( )
,A S
ℜ

( )
,B T
⇔


là vành nguyên.
Tập thương
/E ℜ
được ký hiệu là
[ ]K X
và các phần tử của nó được gọi là
các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong
K
. Với
( )
, A S E∈
, ta ký
hiệu
A
S
là lớp modun
ℜ
của
( )
,A S
. Như thế với mọi
( ) ( )
, , ,A S B T
thuộc
E

ta có
.
A B
AT BS

( , ) ( , ).AU CS SU BU CT TU+ ℜ +
Tức là
(( , ) ( , )) (( , ) ( , )).1A S C U B T C U+ ℜ +
Vậy ta có thể định nghĩa một luật cộng , vẫn ký hiệu là + , trong
( )
K X
bởi
( , ),( , ) ,
A B AT BS
A S B T E
S T ST
+
∀ ∈ + =
.
2.1.2. Phép nhân trong K(X).
Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật nhân
trong K(X) , ký hiệu
g
(hoặc bằng cách không viết dấu nào cả ) như sau
( , ),( , ) ,
A B AB
A S B T E
S T ST
∀ ∈ × =
.
2.1.2.1. Định lý – Định nghĩa.
( )
( )
, ,K X + g
là một, gọi là trường các phân

( )
K X
–{0} , ta có A
≠
0 và
A
S
có
một phần tử nghịch đảo , đó là
S
A
.
2.1.3. Luật ngoài trong K(X).
21
Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật ngoài
trong
( )
K X
(lấy hệ tử trong
K
), được ký hiểu bằng cách không viết dấu nào
cả
, ( . ) , .
A A
K A S E
S S
λ
λ λ
∀ ∈ ∀ ∈ =
2.1.3.1. Mệnh đề.


1
P
P a
đơn cấu đại số , tức là :

, [ ], ( ) ( ) ( ).
, [ ], ( ) ( ) ( ).
, [ ], ( ) ( ).
(1) 1.
[ ], ( ( ) 0 0).
P Q K X P Q P Q
P Q K X PQ P Q
K P K X P P
P K X P P
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
λ ψ λ λψ
ψ
ψ
∀ ∈ + = +
∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ =
=
∀ ∈ = ⇒ =
g
g
g
g
g

thuộc
E
sao
cho
A B
S T
=
ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.– –deg A deg S deg AT deg ST deg BS deg ST deg B deg T= = − = −
Điều này cho phép ta định nghĩa bậc của một phân thức hữu tỷ bởi:
( , ) , deg deg( ) deg( ) {- }
A
A S E A S
S
 
∀ ∈ = − ∈ ∞ ∪
 ÷
 
¢
.
Ta chú ý rằng ánh xạ deg:
( )
K X
→
{
−∞
}
∪
¢

( )
K X
là cặp
( )
,A S
bất kỳ thuộc
[ ]
( )
2
\{ }0K X
sao cho:
A
F
S
=
và
1A S∧ =
.
Ta chứng minh được :
(i). Mọi phân thức hữu tỷ khác không có ít nhất một đại diện bất khả quy
(ii). Cho
( )
F K X∈
và
( )
,A S
là một đại diện bất khả quy của
F
; mọi đại
diện của

là một đại diện bất khả quy của
F
. Các không
điểm của
A
được gọi là không điểm của
.F
Nếu
a
là một không điểm của F,
cấp bội của
a
như là không điểm của
A
gọi là cấp bội của không điểm
a
của
F
. Các không điểm của
S
được gọi là cực điểm của
F
. Nếu
a
là một cực
điểm của
,F
cấp bội của
a
như là không điểm của

,
các không điểm của
F
là -1( đơn) , 0 (kép) , và
F
chỉ có một cực điểm :
2(đơn).
2.1.8. Định nghĩa (Đạo hàm một phân thức hữu tỷ).
Cho
( ) ( )
, ,F K X A S E∈ ∈
sao cho
A
F
S
=
.
Ta định nghĩa phân thức hữu tỷ đạo hàm của
F
, ký hiệu
'
F
bởi
' '
'
2
AS AS
F
S
−

Ánh xạ
( )
K X
→

( )
K X
thác triển ánh xạ
[ ] [ ]
K X K X→
vì:

'F Fa

'
P Pa
'
'
2
1 .0
[ ], '
1 1
P P P
P K X P
−
 
∀ ∈ = =
 ÷
 
.

1deg F deg F
−≠
như trong các ví dụ sau:
2
1, ' 0, deg( ) 0,deg( )
1 1
, ' , deg( ) 0,deg( ') 2.
F F F F
X
F F F F
X X
= = = = −∞
+
= = − = = −
Tuy nhiên ta có thể chú ý rằng:
( ) \{0},deg( ') deg( )F K X F F∀ ∈ <
. Ta định
nghĩa bằng quy nạp các đạo hàm kế tiếp của một phân thức hữu tỷ
F
:
(0) (1)
( ) ( 1)
, '
, ( )'
n n
F F F F
n F F
−
= =


P K X∈
tách được,
1
( ), \{0},
n
i
P X K
λ λ λ
=
= − ∈
∏
với
1
*, , .
n
n x x K∈ ∈¥
Ta có
'
1
1
n
i
i
P
P X
λ
=
=
−
∑