Mục lục
Mục lục 1
Mở đầu 3
Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tổng hợp hệ điều khiển bền vững dựa trên phơng trình đa
thức 5
1.1. Phơng trình đa thức Diophantine và phơng pháp giải 5
1.1.1. Phơng trình đa thức 5
1.1.2. Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral) 6
1.1.3. Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral) 7
1.2. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 8
1.2.1. Bài toán chuẩn 8
1.2.2. ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH 10
1.2.3. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 11
1.3. Bài toán làm trùng mô hình 13
1.3.1. Bài toán làm trùng mô hình (matching problem) 13
1.3.2. Giải bài toán làm trùng mô hình trong những trờng hợp đặc biệt 15
1.3.3. Thuật toán xác định nghiệm bài toán tối u trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các
hàm vô hớng 17
1.3.4. Giải bài toán làm trùng mô hình trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các ma trận.19
1.4. Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững 22
1.5. Kết luận chơng 1 22
Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi trờng Matlab 24
2.1. Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB 24
2.2. Một số phép toán điển hình đối với ma trận đa thức 26
2.3. Các hàm chuyển đổi dữ liệu 27
2.4. Xây dựng các hàm thực hiện giải phơng trình đa thức Diophantine 29
2.5. Thiết kế mô đun thực hiện tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 33
2.6. Tổ chức mô đun chuyên dụng tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng
pháp phơng trình đa thức 36
2.6.1. Mô đun tổng hợp bộ điều khiển gần tối u (suboptimal) 37
2.6.2. Mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u trung tâm (central optimal) 41

nạn. Bởi vậy, cần phải xây dựng các hệ thống điều khiển bay có khả năng phòng
ngừa đợc những tai nạn này. Xuất phát từ thực tế đó, bài toán tổng hợp bộ điều khiển
bền vững máy bay đợc đặt ra. Bài toán này đợc chuyển thể thành bài toán tối u H
2
hoặc H

và tiến hành giải bằng phơng pháp Riccati 2. Chất lợng các bộ điều
khiển bền vững xây dựng theo tiêu chuẩn tối u khác nhau cũng đợc nghiên cứu so
sánh để chọn ra bộ điều khiển thích hợp với điều kiện thực tế [15]. Trong luận văn
này, bài toán điều khiển bền vững đối tợng bay đợc đặt ra và giải bằng phơng pháp
phơng trình đa thức. Luận văn gồm các nội dung sau:
Chơng 1 trình bày một cách khái quát các vấn đề có liên quan đến phơng
trình đa thức, thuật toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững H

làm cơ sở cho việc
tổng hợp chúng dựa trên phơng pháp phơng trình đa thức.
Trên cơ sở tổng hợp bộ điều khiển bền vững dựa trên phơng pháp đa thức, sử
dụng các th viện công cụ có sẵn trên MATLAB, chơng 2 của luận văn đã đa ra các
chức năng cần thiết của th viện chuyên dụng Polynomial. Th viện này là công cụ để
phân tích và tổng hợp các bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức. Một số
mô đun chuyên dụng của th viện đợc giới thiệu chi tiết trong chơng này.
Chơng 3 trình bày các nội dung liên quan đến việc thiết lập bài toán điều
khiển bền vững máy bay và biến đổi bài toán điều khiển về dạng chuẩn để có thể áp
dụng đợc mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u H

đã đợc trình bày trong chơng 2
3
trên cơ sở sử dụng phơng pháp đa thức. Phần cuối của chơng cũng trình bày sơ bộ về
thiết lập bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối u H
2

1.1.1. Phơng trình đa thức
Phơng trình đa thức Diophantine tuyến tính có dạng
ax + by = c (1.1)
trong đó x, y là cặp biến; các hệ số a, b, c là các đa thức trên trờng số thực, kí hiệu
miền các đa thức này là R[d].
Phơng trình (1.1) có nghiệm khi và chỉ khi (a, b)|c.
Giả sử x
0
, y
0
là một nghiệm riêng của (1.1), sử dụng các quan hệ:
(a,b) = g, a = ga
0
, b = gb
0
, c = gc
0
(1.2)
cùng với điều kiện tồn tại nghiệm thì nghiệm tổng quát của (1.1) là:



+=
=
tayy
tbxx
00
00
(1.3)
với đa thức bất kỳ t

0
)
Khi đó ta có: x = v b
0
(t-u). Chọn t = u, nghiệm bậc cực tiểu của (1.1) là:
5



+=
=
uayy
vx
00
(1.5)
1.1.2. Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral)
Phơng trình ma trận đa thức Diophantine một phía có dạng:
AX + BY = C (1.7)
trong đó A

R
lp
[d], B

R
lq
[d], C

R
lm

1
. Nghiệm tổng quát của
(1.7) là:



+=
=
TAYY
TBXX
10
10
(1.9)
trong đó: X
0
, Y
0
là nghiệm riêng của (1.7),
B
1


R
p,p+q-n
[d], A
1


R
q,p+q-n

AR
1
+ BS
1
= 0
Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng:



+=
=
TSCQY
TRCPX
111
111
(1.10)
Nếu B
1
là hợp thức thì chia X
0
cho B
1
ta có X
0
= B
1
U
1
+ V
1


+=
=
220
2
AUYY
VX
(1.13)
Trong (1.12) và (1.13), G
2
là ớc số chung lớn nhất bên phải của A và B; P
2
,
Q
2
,và R
2
, S
2
là hai cặp ma trận đa thức nguyên tố cùng nhau bên trái; C = C
2
G
2
.
1.1.3. Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral)
Phơng trình ma trận đa thức hai phía có dạng:
AX + YB = C (1.14)
trong đó A

R

0
là tơng đơng (xem chứng minh trong [14]).
Đặt S
A
= U
1A
AU
2A
và S
B
= U
1B
BU
2B
là dạng Smith của A và B. Nghiệm X, Y
của (1.14) đợc tìm trong hai phơng trình sau:
1
112
1
2
,

==
BABA
YUUYXUUX
(1.15)
trong đó các phần tử
ij
x
của

ijij
i
ij
j
ij
ij
i
, ,1;, ,1,0
, ,2,1;, ,1,
, ,1;, ,2,1,
, ,2,1;, ,2,1,
(1.16)
với
ij
c
là các phần tử của ma trận
BA
CUUC
21
=
7
1.2. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera
1.2.1. Bài toán chuẩn
Mục đích của việc thiết lập bài toán chuẩn là tổng quát hoá đợc các dạng của
bài toán tổng hợp điều khiển bền vững khác nhau có thể có, chẳng hạn nh bài toán
tổng hợp tối u dựa trên nguyên tắc cân bằng mô hình (matching), bài toán tuỳ động
(tracking), bài toán ổn định bền vững, và bài toán chất lợng bền vững.
Đối tợng điều khiển đợc khảo sát trong bài toán chuẩn là đối tợng nhiều đầu
vào/ra (MIMO) (hình 1.1a). Trên hình vẽ, w là vec-tơ tín hiệu vào dạng nhiễu loạn,
u là vec-tơ tín hiệu điều khiển, z là vec-tơ tín hiệu ra không đo đợc hoặc không kiểm

SS
SS
U
W
S
Y
Z
2221
1211
(1.17)
trong đó S
11
, S
12
, S
21
, S
22
là các ma trận hợp thức. Đối tợng đợc điều khiển bằng khâu
phản hồi đầu ra R(s) cũng đợc giả thiết là hợp thức. Tại điểm phản hồi, ta giả thiết
có nhiễu n(t) tác động, chẳng hạn nh nhiễu của các sensor đo tín hiệu (hình 1.1b).
Tín hiệu điều khiển vào đối tợng sẽ là sai lệch e(t). Hệ kín khi đó đợc mô tả bởi hệ
phơng trình sau:
S
R
Đối tợng
điều khiển
w
u
z






+=+
=
=
NWSXES
URXE
WSESZ
2122
1112
=>

















W
IS
I
S
X
E
Z
IS
RI
SI
0
00
00
0
0
0
21
11
22
12
=>















=











N
U
W
sG
N
U
W
IS
I
S
IS
RI
SI


+
++
=



1
2222
1
2221
1
22
1
2222
1
2221
1
22
1
221222
1
22121221
1
221211
)(
RSISRSISRSI
RSIRSRSIRISRSIR
RSIRSSRSIRSSSRSIRSS
sG

zw
G
(1.20)
9
1.2.2. ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH

Giả thiết S(s) ổn định đợc và
~
1
~
1
NMNMS


==
(1.21)
~
1
~
1
PTPTR


==
(1.22)
trong đó N, M; P, T là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên phải và
~~~~
,;, TPMN
là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên trái. Cùng với (1.21) và
(1.22), ta suy ra hình 1.2 và đi đến định lý sau:





RH
TNI
P
I
M
1
0
0
e.
( )

















n
e
x
T
-1
N
v
1
P
v
2
(a) (b)
10
Nhìn lại hình 1.2a và công thức (1.18) về ma trận truyền đạt G(s) của hệ kín
ta có nhận xét một cách trực quan rằng để ổn định S(s) trớc tiên R(s) cần phải ổn
định ma trận phần tử S
22
(s), và ngợc lại S(s) chỉ có thể ổn định đợc nếu nh các điểm
cực của nó cũng là điểm cực của S
22
(s). Với nhận xét nh vậy ta có hệ quả của định lý
trên nh sau:
Hệ quả của định lý ổn định đối tợng bằng R(s):
Giả sử
~
1
~
1
22
FGFGS


RH
TF
PG
1
d.













RH
GF
PT
1
~~
~~
Định lý về ổn định đối tợng S(s) bằng R(s) và hệ quả của nó là cơ sở cho việc
tổng hợp bộ điều khiển bền vững.
1.2.3. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera
Youla - Kucera đa ra công thức mô tả tổng quát cho tất cả các bộ điều khiển
R(s) có tác dụng làm ổn định đối tợng S(s).










~
~
~~
(1.23)
trong đó: K, L và

RHLK
~~
,
Từ (1.23) ta có:
I
I
QI
LF
KG
GF
KL
I
QI
=


~
~~
với Q là một ma trận tuỳ ý thuộc RH

. Suy ra
I
FQLF
GQKG
GF
GQKFQL
=
























FQLGQKGQKFQL
~~~~
(1.24b)
Đặt
FQLTGQKP ==
~~
;
~~~~
; FQLTGQKP ==
Ta thấy

RHTPTP
~~
,,,
Mặt khác, từ (1.24a) ta có
I
TF
PG
GF
PT
=










TF
PG
không suy biến, nên có
12













=






RH
GF














==


~
1
~~
1
~
)( GQKFQLPTsR
(1.28)
Hai công thức (1.27) và (1.28) là nội dung tham số hoá bộ điều khiển theo
định lý Youla - Kucera. Hơn nữa, ta còn có thể chỉ ra rằng mọi bộ điều khiển R(s)
làm ổn định đối tợng S(s) đều đợc mô tả dới dạng (1.27) và (1.28) [4, 5].
1.3. Bài toán làm trùng mô hình
1.3.1. Bài toán làm trùng mô hình (matching problem)
Xét đối tợng tuyến tính có mô hình
S(s) =

LF
KG
GF
KL
=
















~
~
~~
Giả sử đối tợng đã đợc ổn định nhờ bộ điều khiển
1
~~
1
)(


=


~~
22
~
GFQKSFQL






+=

~~
22
~~
GGQKSGFQL






+












+=


( )
~~
22
GFQLRSI






=
=>
( )
~~~~
1
22
GGQKGFQLRRSIR





21
~
1221
~~
1211
SGGQSSGKSS






+=
Do đó, nếu đặt:
21
~~
12111
SGKSST +=
GST
122
=
21
~
3
SGT =
sẽ đợc

RHTTT
321


RHQ
min

sao cho

=

3min21
TQTT
(1.32)
Bài toán tối u (1.32) có nghiệm

RHQ
min
nếu hạng của hai ma trận T
2
(j)
và T
3
(j) là hằng số với mọi 0 < [5].
Trong trờng hợp bài toán (1.31) không có nghiệm, ta có thể tìm

RHQ
min

thoả mãn

=


thì từ (1.32) ta có


== RHTTTQTQTT
1
31
1
2min3min21
(1.34)
w
z
-
Hình 1.3: Bài toán điều khiển theo nguyên tắc làm trùng mô hình
S
R
w
u
z
y
nx
(a) (b)
QT
2
T
3
T
1
15
Trờng hợp 2: T
1

3
Q. Bởi vậy tích T
2
T
3
có thể thay
thế bằng T = T
2
T
3
và T(s) = 0 cũng chỉ có một nghiệm s
0
nằm bên phải trục ảo. Suy
ra:
)(sup
011
0)Re(
1321
sTTQTTQTQTTT
s
==
>

Nếu chọn
)(
)()(
011
sT
sTsT
Q

3
(s) = 0 không có
nghiệm hữu hạn nào nằm bên phải trục ảo.
Nh đã làm ở trờng hợp 2, tích T
2
T
3
đợc thay thế bằng T = T
2
T
3
và theo giả
thiết đã cho thì
0)(lim =

sT
s
. Hơn nữa, theo giả thiết T(s) = 0 không có nghiệm hữu
hạn nào nằm bên phải trục ảo. Vậy phải có
)(sup
11
0)Re(
1321
==
>

TTQTTQTQTTT
s
Nếu chọn
)(

min
của bài toán tối u (1.32), ta giả
thiết rằng T(j) = T
2
(j)T
3
(j) 0 với mọi 0 < . Đồng thời, để tránh gặp trờng
hợp giản đơn đã xét trên đây, ta giả thiết thêm rằng


RHT
1
2
.
Phân tích T thành tích của một hàm trong và một hàm ngoài T = T
T
T
N
(xem
phụ lục 3). Với

RHQ
ta có:

== TQTQTTTQTTT
1321321

( )




= RHQTU
N
:
(1.39)
=>
{ }


= RHUUG :inf

(1.40a)

( )

= RHGdist ,
(1.40b)
Giá trị trong (1.40) đợc tính theo định lý Nehari [4, 5]. Hàm

RHU
thoả
mãn

= UG

đợc gọi là tối u, thông qua (1.39) ta xác định đợc Q
min
.
Xác định U
min

2
:= [A, B, C, 0].
Thay A, B, C vào hệ phơng trình Lyapunov
17





=+
=+
CCALLA
BBALAL
TT
TT
22
11
(1.42)
Giải hệ (1.42) sẽ đợc L
1
và L
2
. Nh vậy,
2
sẽ chính là giá trị riêng lớn nhất
của tích L
1
L
2
.

wvL

=
1
và
vwL

=
2
(1.45)
Tính các hàm thực hữu tỷ:
[ ]
0,,,)( CwAsF =
(1.46)
[ ]
0,,,)(
TT
BvAsK =
(1.47)
Do các giá trị riêng của A đều có phần thực âm, nên


2
RHF
và
2
RHK
.
Nghiệm U
min

xác định G(s) theo (1.38). Phân tích G thành tổng G = G
1
+ G
2
, trong đó

RHG
1
và G
2
hợp thức chặt, có các điểm cực nằm bên trái trục ảo.
Bớc 2: Xác định các ma trận A, B, C của
Cxy
BuAxx
=
+=

sao cho ma trận truyền đạt của đối tợng đó chính là G
2
, tức là:
( )
BAsICG
1
2

=
Bớc 3: Giải hệ phơng trình Lyapunov
18



min
1
min
UTQ
N

=
1.3.4. Giải bài toán làm trùng mô hình trong trờng hợp T
1
, T
2
và T
3
là các ma
trận.
Trong trờng hợp T
1
, T
2
và T
3
là các ma trận, bài toán (1.32) sẽ trở nên rất phức
tạp. ở đây, ta xem (1.32) nh một trờng hợp riêng của bài toán gần tối u
(supoptimal). Bài toán gần tối u đợc hình thành trên cơ sở (1.32) không có nghiệm
tối u Q
min
.
Tuy không tồn tại Q
min
song với một giá trị > nào đó thoả mãn điều kiện

321
inf QTTT
RHQ

(1.50b)
19
Để đơn giản, trớc hết ta xét trờng hợp T
3
= I, bài toán (1.49) trở thành



TQT
1
(1.51)
trong đó T
2
= T. Để (1.51) có nghiệm Q thì theo điều kiện tồn tại nghiệm phải có
hạng của T(i) là hằng số với mọi 0 < . Bởi vậy T phân tích đợc thành tích T
= T
T
T
N
, với T
T
là ma trận trong và T
N
là ma trận ngoài.
Ta định nghĩa
VVIP

T
PTTG

(1.52c)
sẽ thấy G

phụ thuộc vào , do
1
P
P
xác định từ . Giá trị trong (1.50b) là giá trị
nhỏ nhất thoả mãn

> V

(1.53a)
1inf ==






G
RHU
UG
(1.53b)
Nh vậy, giá trị phải đợc chọn sao cho cả hai điều kiện (1.53a) và (1.53b)
đồng thời đợc thoả mãn. Hơn nữa, để có



+= V
kk 1
2
1

20
b. Tính G

từ
k
theo (1.52c), và tính . Gán k := k+1. Nếu > 1 thì
chuyển sang bớc (c), trong trờng hợp ngợc lại thì quay về bớc (a)
c. Dừng thuật toán với kết quả =
k-1
Thuật toán tìm nghiệm suboptimal Q
sub
:
Tơng tự nh đã làm ở mục 1.3.3 và với giả thiết T
3
= I có

== QTTTTQTQTT
NT1121

( )

== QTTTQTTTT
N
T

Ngoài ra



P
P
, vì > , bởi vậy nếu chọn đợc

RHU
sao cho
1

UG

(1.56)
thì từ (1.54) sẽ đợc



QTT
21
và đó chính là nghiệm suboptimal của bài toán (1.51). Ta đi đến thuật toán:
1. Tìm
2. Tính G

theo (1.52c)
3. Tìm

RHU
để có (1.56)

CN
(co-outer) (xem thêm phụ lục 3).
21
( )
CT
T
CT
T
T
YYIPTTZ =
1
1
T
CN
ZZIZ =
T
CT
T
TCN
YPTTZG
1
1
1
=

CNNCN
QYTZU
1
=
1.4. Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững

quát các vấn đề có liên quan đến thuật toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững trong
không gian H

làm cơ sở cho việc tổng hợp chúng dựa trên phơng pháp đa thức.
23
Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi
trờng Matlab
2.1. Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB
Th viện công cụ chuyên dụng Polynomial đợc xây dựng nhằm mục đích hỗ
trợ việc phân tích và tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức. Th
viện này xây dựng dựa trên các th viện công cụ có sẵn nh Control System Toolbox,
LMI Control Toolbox, Mu Analysis and Synthesis Toolbox, Robust Control
Toolbox, Symbolic Math Toolbox. Th viện chuyên dụng này có các chức năng chính
sau:
- Tạo đối tợng đa thức và ma trận đa thức.
- Các phép toán cơ bản và nâng cao trên đa thức và ma trận đa thức.
- Chuyển đổi các dạng mô tả toán có sẵn khác nhau thành dạng ma trận đa
thức.
- Giải phơng trình đa thức và phơng trình ma trận đa thức.
- Thực hiện các phép tính thừa số phổ, thừa số nguyên tố của đa thức và ma
trận đa thức.
- Phân tích hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức.
- Tổng hợp hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức.
- Hiển thị các kết quả phân tích (trực quan hoá)
- Mô hình hoá trên Simulink với các khối đợc mô tả dới dạng đa thức và ma
trận đa thức.
- Trợ giúp và hớng dẫn sử dụng
Hình 2.1 là sơ đồ mô tả chức năng của th viện công cụ chuyên dụng
Polynomial trên môt trờng MATLAB.
24