Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
TUYỂN TẬP MỘT SỐ CÂU HỎI HHKG THI CĐ-ĐH, DỰ BỊ ĐẠI HỌC (2002-NAY)
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
KA 2002: Cho ∆
1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t

= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.

1-C/m d
1
//d
2
. Viết ptmp (P) chứa cả d
1
và d
2
. 2-(Oxz) cắt d
1
, d
2
tại A, B. Tính S
OAB
.
KA 2006: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AB, CD.
1-Tính d(A’C,MN). 2-Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) một góc α mà
1
cos
6
α
=
.
KB 2006: Cho A(0;1;2),
1
1 1
: , : 1 2
1 2
2 1 1

3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t

=− +

= −


=− +

. Viết ptđt ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.
KA 2005: Cho
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và (P): 2x+y-2z+9=0 1-Tìm I∈d sao cho d(I,(P))=2.
2-Tìm A=d∩(P). Viết phương trình tham số của đthẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc d.
KD 2006: Cho A(1;2;3),
2 2 3 1 1 1
: , :
1 2

− +

= = = +

−

=

.
1-Chứng minh d, d’ chéo nhau. 2-Viết phương trình ∆ vuông góc với (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả d
và d’.
KD 2009: 2. Cho
2 2
:
1 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và (P): x+2y-3z+4=0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(P) sao cho d ⊥∆.
III. BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH
KB 2002: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1-Tính d(A’B,B’D) theo a. 2-M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Tính
·
( , ' )MP C N
KD 2002: 1-Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm. Tính
khoảng cách từ A tới (BCD).
2-Cho (P): 2x-y+2=0,
(2 1) (1 ) 1 0
( ) : .

1 0
x ky z
d
k
kx y z

+ − + =


− + + =


. Tìm k để đường thẳng d
k
vgóc với mặt phẳng (P): x-y-2z+5=0. ĐS:
k=1
KA 2004: Cho h.c S.ABCD, ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2
), M
là trung điểm của SC.
1-Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM. 2-Giả sử (ABM)∩SD=M. Tính V
S.ABMN
.
KA 2007: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng
minh AM vuông góc với BP và tính V
CMNP
.
KB 2007: P.Ban: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng

KD 2003: 2-Cho (P)⊥(Q) có giao tuyến là ∆. Trên ∆ lấy 2 điểm A, B với AB=a. Trên (P), (Q) lần lượt lấy
C, D sao cho AC, BD cùng vgóc với ∆ và AC=BD= AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
và k/cách từ A tới (BCD) theo a.
KD 2004: 1-Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b), a>0, b>0.
a) Tính d(B’C,AC’) theo a và b.
b) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn a+b=4. Tìm a, b để d(B’C,AC’) là lớn nhất.
2-Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và (P): x+y+z-2=0. Viết phương trình mặt cầu qua A, B, C và có tâm
thuộc (P).
KB 2005: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B’(4;0;4).
1-Tìm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCC’B’).
2-Gọi M là trung điểm A’B’. Viết ptmp (P) qua A, M và song song với BC’. Tính MN với N=(P)∩A’C’.
KB 2007: Cho (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0, (P): 2x-y+2z-14=0.
1-Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2-Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.
KD 2008: Cho A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
KA 2009: 1. Trong không gian cho (P): 2x-2y-x-4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y-6z-11=0. Chứng


.
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
KD 2007: Chung: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4),
1 2
:
1 1 2
x y z− +
∆ = =
−
.
1-Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với (OAB).
2-Tìm M thuộc ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
KA 2008: Cho A(2;5;3) và d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
.

∆ = =
. Xác định M∈Ox: d(M,∆)=OM.
KD 2010: 1. Cho (P): x+y+z-3=0 , (Q):x-y+z-1=0. Viết (R) vuông góc với (P) , (Q) sao cho d(O,(R))=2.
2. Cho ∆
1
: x=3+t; y=t; z=t;
2
2 1
:
2 1 2
x y z− −
∆ = =
. Xác định M∈∆
1
sao cho d(M,∆
2
)=1.
KA 2011: 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P):
2x-y-z+4=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x-4y-4z=0 và điểm A(4;4;0) . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
CĐ KA 2011: 1. Cho A(-1;2;3), B(1;0;-5) và (P): 2x+y-3z+4=0. Tìm M∈(P) sao cho A, B, M thẳng hàng.
2. Cho
1 1 1

2 1 2
x y z+ −
∆ = =
−
. Viết d qua A ⊥∆ và cắt Ox.
2. Cho
1 3
:
2 4 1
x y z− −
∆ = =
và (P): 2x-y+2z=0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ∆, bán kính 1 và
tiếp xúc với (P).
DB1 KA 2002: Cho ∆:
2 2 1 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− − + =


+ − − =

và (S): x
2
+y
2
+z
2
+4x-6y+m=0 . Tìm m để ∆∩(S)={M,N}:

DB1 KB 2002: Cho ∆:
2 1 0
2 0
x y z
x y z
+ + + =


+ + + =

và (P): 4x-2y+z-1=0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
của ∆ trên (P).
DB2 KB 2002: Cho (P): x-y+z-3=0 , A(-1;-3;-2), B(-5; 7; 12).
1. Tím C đối xứng A qua (P). 2. Tìm M∈(P): MA+MB nhỏ nhất.
DB1 KA 2003: Cho hai đường thẳng
1 2
3 1 0
1
: ; d :
2 1 0
1 2 1
x z
x y x
d
y z
− + =

+
= =


+(y+1)
2
+(z-1)
2
=9. Tìm m để (P) tiếp xúc
(S). Với m tìm được ở trên hãy xác định tọa độ tiếp điểm.
DB2 KD 2003: Cho A(2;1;1), B(0;-1;3) và d:
3 2 11 0
3 8 0
x y
y z
− − =


+ − =

.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao
điểm của d với (P). Chưng sminh d ⊥ IK.
2. Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng có phương trình : x+y-z+1=0.
DB1 KA 2004: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với A ≡O , B(1;0;0), D(0;1;0), A
1

mặt phẳng. Tìm C∈d sao cho ∆ABC cân tại A.
DB2 KB 2004: Cho A(2;0;0), M(1;1;1).
1. Tìm O’ đối xứng O qua AM.
2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn qua AM, cắt Oy, Oz tại B, C. Giả sử B(0;b;0), C(0;0;c), b>0, c>0.
CMR:
2
bc
b c+ =
. Xác định b,c sao cho diện tích ∆ABC nhỏ nhất.
DB1 KD 2004: Cho A(2;0;0), B(2;2;0), C(0;0;2).
1. Tìm O’ đối xứng với O qua (ABC).
2. Cho S thay đổi trên Oz, gọi H là hình chiếu của O trên SA. CMR : S
OBH
<4.
DB2 KD 2004: Cho A(0;1;1),
0
:
2 2 0
x y
d
x z
+ =


− − =

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc
với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc B’ của B(1;1;2) qua (P).
DB1 KA 2005: Cho A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4).
4

A lần lượt tại K, N. Tính KN.
DB1 KB 2005: Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có A≡O, B(2;0;0), D
1
(0;2;2).
1. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của lập phương. Gọi M là trung điểm của BC. CMR:
(AB
1
D
1
)⊥(AMB
1
).
2. Chứng minh tỉ số khoảng cách từ N thuộc đường thẳng AC
1
(N≠A) đến hai mặt phẳng (AB
1
D
1
) và
(AMB
1
) không phụ thuộc vị trí N.

: MN//(P):x-y+z=2 và MN=
2
DB2 KD 2005: Cho M(5;2;-3) và (P): 2x+2y-z+1=0 .
1. Gọi M
1
là hình chếu của M trên (P). Tìm M
1
và tính MM
1
.
2. Viết phương trình (Q) qua M và chứa
1 1 5
:
2 1 6
x y z− − −
∆ = =
−
DB1 KA 2006: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A≡O, B(2;0;0), C(0;2;0), A’(0;0;2).
1. Chứng minh A’C ⊥ BC’. Viết phương trình (ABC’).
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ lên (ABC’).
DB2 KA 2006: Cho (α): 3x+2y-z+4=0 và A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của AB.
1. Tìm tọa độ giao điểm của AB với (α).
2. Xác định tọa độ K sao cho KI⊥(α), đồng thới K cách đều O và (α).
DB1 KB 2006: Cho hai đường thẳng
1 2
1
3 1
: 1 , :
1 2 1
2

: , :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d d
− + − −
= = = =
−
.
1. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau 2. Viết phương trình ∆ nằm trên (P) đồng thời ∆ cắt d
1
và d
2
.
DB2 KD 2006: Cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua O ⊥ (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho d(B,(P))=d(C,(P)).
DB1 KA 2007: Cho A(-1;3;-2), B(-3;7;-18) và (P): 2x-y+z+1=0 .
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và ⊥(P). 2. Tìm M∈(P): MA+MB nhỏ nhất.
DB2 KA 2007: Cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(2;4;6) và
6 3 2 0
:
6 3 2 24 0
x y
d
x y z
− + =

2. Viết phương trình ∆ nằm trên (P), vuông góc với d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng
42
DB2 KD 2007: Cho (P): x-2y+2z-1=0 và
1 2
1 3 5 5
: , :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
− − − +
= = = =
− −
.
1. Viết phương trình (Q) chứa d
1
và vuông góc với (P).
2. Tìm M∈d
1
, N∈d
2
: MN//(P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
DB1 KA 2008: Cho
1 2
5x-6y-6z+13=0
3 3 3
: , d :
x-6y+6z-7=0
2 2 1
x y z
d

và A(4;0;3), B(-1;-1;3), C(3;2;6).
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm ∈(P).
2. Viết phương trình (Q) chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.
DB1 KB 2008: Cho A(5;4;3), B(6;7;2) và
1
1 2 3
:
2 3 1
x y z
d
− − −
= =
.
1. Viết d
2
qua A, B. CMR d
1
và d
2
chéo nhau. 2. Tìm C∈d
1
: S
ABC
lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
DB2 KB 2008: Cho A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và
1 0
:
4 0
x y
d

−
.
1. Tìm A’ đối xứng A qua d. 2. Tìm B, C∈d: ∆ABC vuông tại C và BC=
29
.
ĐỀ THI TRÊN TẠP CHÍ TOÁN HỌC TUỔI TRẺ.
THTTNăm 2003: Đề số 1
Cho hai đường thẳng
2 1 0 3 3 0
: , ':
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + − + =
 
∆ ∆
 
− + − = − + =
 
1. Chứng minh ∆ và ∆’ cắt nhau. 2. Viết phương trình chính tắc của căp đường phân giác của các góc
tạo bởi ∆ và ∆’.
THTTNăm 2003: Đề số 3. Cho (P): x-2y+2z+2=0 và A( 4;1;3), B(2;-3;-1). Tìm M∈(P): MA
2
+MB
2
nhỏ
nhất.
THTTNăm 2004: Đề số 2. Cho (S): x
2
+y

2
lần lượt tại A và B khác I sao cho AB=AB.
3. Xác định a,b để M(0;a;b)∈(Q) và nằm trong miền góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
.
6
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
THTTNăm 2006: Đề số 2. Cho A(1;-1;1) và
1 2
3 3 0
: 1 2 , d :
2 1 0
3
x t
x y z
d y t
x y
z t
= −

+ − + =


= − +
 
− + =



x y z x y z
d d
+ − − − + −
= = = =
−
. Lập phương trình đường thẳng chứa
các cạnh AB, AC của ∆ABC.
THTTNăm 2007: Đề số 3. Cho (P):x+y+z+3=0, A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2).
1. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
2. Tìm M ∈(P):
| 2 3 |MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất.
THTTNăm 2007: Đề số 4. Cho A(1;-1;2), B(3;1;0) và (P): x-2y-4z+8=0.
1. Lập phương trình đường thẳng d: d⊂(P), d⊥AB và d đi qua giao điểm của đường thẳng AB với (P).
2. Tìm C∈(P): CA=CB và mặt phẳng (ABC)⊥(P).
THTTNăm 2008: Đề số 1. Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). CMR AB và CD chéo nhau. Tính
khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
THTTNăm 2008: Đề số 2. Cho (P): 2x+y+z-1=0 ,
2 2 0
:
2 2 0
x y
d
y z
− − =


+ + =


2
+b
2
+c
2
=3. Tìm a,b,c sao cho d(O;(ABC))
lớn nhất.
b) Cho A(1;5;0), B(3;3;6) và
1 1
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm C∈d để S
ABC
nhỏ nhất.
40.02 a) Cho
1 2
:
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho (P) tạo với (Oxy) góc
nhỏ nhất.

2 2 1 1 4 1
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
.
Viết phương trình các cạnh của tam giác.
40.05. a) Cho A(2;3;0),
(0; 2;0)B −
và ∆: x=t; y=0, z=2-t. Tìm C∈∆: chu vi ∆ABC nhỏ nhất
b) Cho A(2;0;0), M(0;-3;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, M và cắt Oy, Oz tại B, C: V
OABC
=3.
40.06. a) Cho
1 2
2 2
2 1
: , d : 3
2 1 2
x t
x y z
d y
z t
= −

− −

= = =


lớn nhất.
40.08. Cho H(4;5;6). Viết phương trình (P) cắt các trục tọa độ tại A,B,C sao cho H là trực tâm ∆ABC,.
40.09. a) Cho
1 2
1 1
: , d :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d
+ −
= = = =
−
. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau. Tìm A∈d
1
, B∈d
2
: A//
(P):x-y+z=0 và AB=
2
b) Cho A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và
1 3
:
1 1 2
x y z
d
− −

1 2
8 6 10
: , d : 2
2 1 1
4 2
x t
x y z
d y t
z t
=

+ − −

= = = −

−

= − +

. Viết phương trình d song song Ox và cắt d
1
tại
A, cắt d
2
tại B. Tính AB.
b) Cho hình thang cân ABCD có A(3;-1;-2), B(1;5;1), C(2;3;3). Tìm tọa độ D biết AB là đáy lớn, CD là
đáy nhỏ.
40.12. a) Cho (S):x
2
+y

H
>-4.
b) Cho d
m
:
1
1 1
x y z
m m
−
= =
− −
(m≠0, 1). CMR d
m
luôn nằm trong một mặt phẳng cố định.
40.14. a) Cho I(1;0;3),
1 1 1
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
. Viết (S) tâm I và cắt d tại A, B:∆IAB vuông tại I.
b) Cho A(4;0;0), B(0;4;0) và (P): 3x+2y-z+4=0. Gọi I là trung điểm của AB. Tìm K sao cho KI⊥(P) đồng
thời K các đều gốc tọa độ O và (P).
40.15. a) Cho A(0;0;4), B(2;0;0) và (P): 2x+y-z+5=0. Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có
khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng
5
6

-3m=0, (S): (x-1)
2
+(y+1)
2
+(z-1)
2
=9. Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ
tiếp điểm với m tương ứng.
b) Cho (S
1
):x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y+2z-30=0 , (S
2
): x
2
+y
2
+z
2
-6x-8y+16=0. Chứng tỏ rằng (S
1
) tiếp xúc với (S
2
).
Viết phương trình tiếp diện chung của chúng.

, d
2
, A đồng
phẳng. Xác định tọa độ đỉnh B, C của ∆ABC biết d
1
chứa đường cao BH, d
2
chứa đường trung tuyến CM.
40.20. Cho (P):x+y-2z+4=0, (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d
tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với (P).
40.21. a) Lập (P) qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với (Oxy) góc π/3.
b) Cho d: x=(y-2)/-1=z; d’: (x-2)/2=y-3=(z+5)/-1. Viết phương trình (P) đi qua d và tạo với d’ góc 30
0
.
40.22. Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2), B(-2;2;0), C(2;0;2), DH⊥(ABC) và HD=3 với H là trực tâm
∆ABC. Tính tan của góc giữa (DAB) và (ABC).
40.23. a) Cho tứ diện ABCD với A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;6), D(2;4;6). Tìm tập hợ điểm M:
| | 40MA MB MC MD+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
b) Cho A(3;0;2), B(1;2;1) và
1 1
:
3 2 2
x y z

1
và d
2
. Lập phương trình d qua
P(0;-1;2) cắt d
1
, d
2
tại A, B (B,A≠I) sao cho AI=AB.
40.26. a) Cho
1 2 3
1 2 2 1 1
: , : ; d :
1 2 2 2 2 1 2 1 1
x y z x y z x y z
d d
− − − − −
= = = = = =
− −
. Tìm M∈d
1
, N∈d
2
, P∈d
3
: M,
N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.
b) Cho (S): x
2
+y

uuuur uuuur
b) Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(1;1;0), D(0;0;m) (m>0). Gọi E, F là hình chiếu của O trên AD, BD. Viết (P)
chứa OE và OF. Tìm m để ∠EOF=45
0
.
40.29. a) Cho hình thoi ABCD có diện tích bằng
12 2
, A∈Oz, C∈(Oxy), B, D ∈∆:x/1=y/1=(z+1)/2 và B
có hoành độ dương. Tìm A, B, C, D.
9
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho (P): 2x-y+2z-9=0, A(3;-1;2), B(1;-5;0). Tìm M∈(P):
.MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất.
40.30. a) Cho
1 1 1 2 3 4
: , :
2 1 2 1 2 3
x y z x y z
d
− − − − − −
= = ∆ = =
. Biết ∆ cắt d. Hãy viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa ∆ sao cho góc giữa d và (P) lớn nhất.
b) Cho
1 2
2
1 2 1
: , d :

1 1 1
1
2 3a b c
+ + =
. Tìm a,b,c để (P
a,b,c
) cắt các trục tọa Ox,
Oy, Oz tại A, B, C sao cho V
OABC

lớn nhất.
40.32. a) Cho A(1;2;-1), B(-1;1;2), C(2;-1;-2), D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD . Tìm S∈Oz:
V
S.BCD
=4.
b) Cho A(5;3;1), B(4;-1;3), C(-6;2;4), D(2;1;7). Tìm tập hợp M:
| 3 3 | | |MA MB MC MD MA MB− + + = −
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
40.33. a) Cho A(0;2;0), B(0;0;-1), C∈Ox. Viết (ABC) biết d(C;(P))=d(C;∆) với (P):2x+2y-z=0;
1 2
:
1 2 2
x y z− +
∆ = =
b) Cho A(1;-2;5/2), B(4;2;5/2). Tìm tọa độ M∈(Oxy) sao cho ∆ABM⊥ tại M và có diện tích nhỏ nhất.
40.34. a) Cho B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;2a). Gọi N là trung điểm của SD. Tìm a nguyên dương
lớn nhất để d(SB,CN)>a
2
/7.
b) Cho

4 1 1
x y z+ − +
= =
−
. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông.
40.36. a) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z-12= 0 và hai điểm A(1;1;3),B(2;1;4). Tìm
tập hợp tất cả các điểm C∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
b) Cho ∆: x=-3+2t;y=-1+t;z=3+t và (α): x+2y-z+5=0. Gọi A là giao điểm của ∆ và (α). Tìm M∈∆, C∈(α):
AB=2BC=
6
và
·
0
60ABC =
.
40.37. a) Cho ∆ABC vuông cân tại A có trọng tâm G(3;6;1) và M(4;8;-1) là trung điểm của BC. Đường
thẳng BC nằm trong mặt phẳng 2x+y+2z-14=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
b) Cho
1
3 3 3
:
2 2 1
x y z
d
− − −
= =
; d
2
là giao của hai mặt phẳng : 5x-6y-6z+13=0 và x-6y+6z-7=0. Chứng

1
, d
2
tại A, B sao cho MA=2MB.
b) Cho d: x=2+t;y=2+3t;z=-3-2t và (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+4y-8z-1=0. Chứng minh rằng d cắt (S) tại hai điểm
phân biệt A, B. Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một
đường tròn lớn nhất.
40.39. a) Cho A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4). Tìm tọa độ điểm B∈(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ
nhật. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, B, C, S. Tìm tọa độ A
1
đối xứng A qua SC.
10
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho (S):x
2
+y
2
+z
2
-10x-2y-6z+10=0 và (P):x+2y+2z+5=0. Từ một điểm M∈(P) kẻ một đường thẳng ∆
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N. Tìm vị trí của M để MN=
11
40.40. Cho (α):2x+3y+6z-18=0. Gọi A, B, C lần lượt là giao của (α) với Ox, Oy, Oz và gọi H là trực tâm
của ∆ABC. Chứng minh rằng ∀ M∈(α) ( M≠A,B,C,H) ta có:

2
nhỏ nhất
BÀI 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên
cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất của MN
BÀI 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo và tìm
diện tích nhỏ nhất của nó theo a
BÀI 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có :
; 2 ;AA'=a 2AB a AD a
= =
.Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối
tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)
BÀI 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm M,N
sao cho BM = B’N = t , gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng :
2 2
1
cos cos
2
α β
+ =
c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)
BÀI 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x . Tìm x để
góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất
BÀI 10: Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể tích khối
trụ đó
BÀI 11: Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình chóp
đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất
BÀI 12: Cho hình nón có bán kính đáy R ,chiều cao h. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón có thể tích lớn nhất

BÀI 19 Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích tồn
phần lớn nhất
BÀI 20 .Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt
phẳng qua C’ và khơng cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G .
a) Chứng minh :
1
AF
a b c
AE AG
+ + =
b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất .
II. CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ THƠNG THƯỜNG
Bài 1ï: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng






=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:d
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng
)(∆
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

;y
2
;z
2
). Tìm I ∈ (P) sao cho:
a) IM+IN nhỏ nhất.
b) |IM-IN| lớn nhất.
Chẳng hạn:
1. Cho M(1;2;3), N(4;4;5). Tìm I ∈ Oxy sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Đáp số:
17 11
; ;0
8 4
I
 
 ÷
 
.
2. Cho (P): 2x-y+x+1=0, M(3;1;0), N(-9;4;9). Tìm I∈(P): |IM-IN| lớn nhất.
Đáp số:
(7;3; 13)I −
Bài 5: Trong khơng gian cho đường thẳng d và M(x
1
;y
1
;z
1
), N(x
2
;y

1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t

= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.
12
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆


= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
Bài 9.KD 2007: Chung: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4),
1 2
:
1 1 2
x y z− +
∆ = =
−
.

2. Tìm K∈AC và H∈BD: KH có độ dài nhỏ nhất.
Bài 15.THTTNăm 2009: Đề số 2. Cho ∆: x=2+3t; y=-2t; z=4+2t và A(1;2;-1), B(7;-2;3). Tìm M∈∆: MA
+MB nhỏ nhất.
Bài 16. a) Cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c>0)thỏa mãn a
2
+b
2
+c
2
=3. Tìm a,b,c sao cho d(O;(ABC))
lớn nhất.
b) Cho A(1;5;0), B(3;3;6) và
1 1
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm C∈d để S
ABC
nhỏ nhất.
Bài 17. a) Cho
1 2
:
1 2 2
x y z
d
− +

: , d :
2 1 3 2 3 2
x y z x y z
d
− + − + − −
= = = =
. Viết ∆ //(P) , ⊥d
1
và
cắt d
2
tại C có hoành độ bằng 3.
b) Cho (P):2x+2y-z+16=0, (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y6z+5=0 . Điểm M∈(S), N∈(P). Xác định vị trí của M, N
để MN ngắn nhất (lớn nhất).
Bài 21. Cho A(2;0;0), B(2;2;0), S(0;0;m). Gọi H là hình chiếu ⊥ của O trên SA. CMR ∀ m>0, S
OBH
<3.
13
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
Bài 22. a) Cho
1 2 3
1 2 2 1 1
: , : ; d :
1 2 2 2 2 1 2 1 1

Bài 24. a) Cho hình thoi ABCD có diện tích bằng
12 2
, A∈Oz, C∈(Oxy), B, D ∈∆:x/1=y/1=(z+1)/2 và B
có hoành độ dương. Tìm A, B, C, D.
b) Cho (P): 2x-y+2z-9=0, A(3;-1;2), B(1;-5;0). Tìm M∈(P):
.MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất.
Bài 25. a) Cho
1 1 1 2 3 4
: , :
2 1 2 1 2 3
x y z x y z
d
− − − − − −
= = ∆ = =
. Biết ∆ cắt d. Hãy viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa ∆ sao cho góc giữa d và (P) lớn nhất.
b) Cho
1 2
2
1 2 1
: , d :
4 1 2 1
x y z x m y z
d
m n
− − − −
= = = =
− −

Oy, Oz tại A, B, C sao cho V
OABC

lớn nhất.
Bài 27. a) Cho B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;2a). Gọi N là trung điểm của SD. Tìm a nguyên dương
lớn nhất để d(SB,CN)>a
2
/7.
b) Cho
1 4
d:
2 1 2
x y z+ −
= =
−
và A(1;2;7), B(1;5;2), C(3;2;4). Tìm M∈d: MA
2
-MB
2
-MC
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 28. a) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z-12= 0 và hai điểm A(1;1;3),B(2;1;4).
Tìm tập hợp tất cả các điểm C∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
b) Cho ∆: x=-3+2t;y=-1+t;z=3+t và (α): x+2y-z+5=0. Gọi A là giao điểm của ∆ và (α). Tìm M∈∆, C∈(α):
AB=2BC=
6
và
·
0