GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230
VẤN ĐỀ 8 : SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : cho hai hàm số có đồ thị là (C) và
()yfx=
()ygx
=
có đồ thị là
(C’). Muốn xét sự tương giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hoành độ giao
điểm :
() ()
f
xgx
=
(*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C) và (C’)

chú ý : số α không là nghiệm của phương trình g(x) = 0
g
() 0
α
⇔
≠VD : Cho hàm số (C). Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường
3
yx 3x=−
thẳng (d):
(
)

(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1

⇔

9
4
0
m
m
⎧
>−
⎪
⎨
⎪
≠
⎩
(*)
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc
⇔

'( ). '( ) 1
NP
yx yx
=
−

⇔

−
và (d) :
y
2x 6
=
−

Email : ngvu
1
c) (C) :
32
y
x2xx=− ++1
1
và (d) :
y2x
=
−

Bài 2 : Định m để
a) (Dự Bị khối B – 2003) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
2
y(x1)(x mxm)=− + +
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
2
(ĐS :
04
1

21
⎛⎞
3
2
=
++
⎜⎟
⎝⎠
tại 3 điểm phân biệt.
(Gợi ý : có 1 nghiệm là x = ½ , ĐS : m > - 9/4)
d)
y
cắt (d) :
32
x 6x 9x 6=− +−
y
mx 2m 4
=
−−
tại 3 điểm phân biệt.
(ĐS : m > - 3)
e)
y4
cắt (d) :
3
x 3x1=−+
(
)
y
mx 1 2

b) Cho hàm số
2x 1
y
x1
−
=
+
(C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(–2; 2) và có
hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
(ĐS : )
m0m12<∨ >
c) Cho hàm số (C ). Gọi A là giao điểm của (C ) và trục Oy
và (d) là đường thẳng qua A có hệ số góc k. Định k để (d) cắt (C ) tại 3 điểm
phân biệt.
2
y(4x)(x1)=− −
Bài 4 : Cho hàm số có đồ thị là (C), và đt (d) : . Tìm
k để (C) cắt (d) tại 3 đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương
32
y2x 3x 1=−−
ykx1=−
Bài 5 : Cho hàm số
3
32
y
xx=−+
có đồ thị là (C), và đt (d) qua có hệ
số góc là m. Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.
(3; 20)A
Bài 6 : cho hàm số

m0=
m
AB = 24
)
b) Cho hàm số
x2
y
x1
−
=
−
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn
AB ngắn nhất (ĐS : )
yx=− +
m2=
m
c) Cho hàm số
x1
y
2x
−
=
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn
AB ngắn nhất (ĐS : )
yx=− +
m1/2=
m
d) Cho hàm số

=
−
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác
OAB vuông tại O. (ĐS : m = – 2)
yxm=+
c) Giả sử (d) là đường thẳng đi qua A (0,1) và có hệ số góc m. Tìm tất cả tham số
thực m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho :
x3
y
x2
−
=
−
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
4
1/ (ĐS : 2/ là trọng tâm tam giác OAB. (ĐS : m = 5)
AB 10=
0
1
m
m
<
⎡
⎢
>
⎣
2
G;4


(ĐS : m = 7 )
f) (Khối B – 2010) Cho hàm số
2x 1
y
x1
+
=
+
(C) . Tìm m để đường thẳng
y =
−2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).

Bài 9 : Cho hàm số (C
m
)
22
y(x1)(x mxm 3)=− − + −
a) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương.
Bài 10 :
a) (ĐHSP HN – 97) Cho hàm số
(

cộng . (ĐS : )
m4;4/9=−
c) Cho hàm số (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt lập thành CSC.
42
yx mx m=− +−1
d) Cho hàm số (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành
tại 4 điểm phân biệt thỏa
()
42 2
yx m 10x 9=− + +
1234
x,x,x,x
1234
xxxx8
+
++=

e) Cho hàm số (C
m
). CMR (C
m

bằng 28.
32
m
(C ): y 2x 2(6m 1)x 3(2m 1)x 3(1 2m)=+ − − −−+
m
(C )
c) Tìm
m
để
R∈
32
m
(C ) :
y
x 3mx 3x 3m 2=− −+ +
123
x,x
222
123
xxx15
cắt Ox tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ thõa mãn
x,
+
+≥
. (
m( ;1][1; )
∈
−∞ − ∪ +∞
)

ba điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2.
y3x x (2m6)x2m2=−+ −+−
Bài 14 : (C) :
x1
y
x1
+
=
−
và (d) : y = mx +1. Tìm m để (C) cắt (d) tại hai điểm phân
biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
Bài 15 : (C) :
2x 1
y
x1
−
=
+
và (d) : y = mx +2m +2. Tìm m để (C) cắt (d) tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của (C).
Bài 16 : Cho hàm số
x2
y
2x 1
−
=
−
(C) và
(
)

2
m<≠
)
Bài 20 : Cho (C) : . Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4, 4) và
cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ( ĐS :
32
yx 6x 9x=− +
09k
<
≠
)
Bài 21 : a) (Khối A - 2011) Cho hàm số
2x 1
y
x1
+
=
+
(C)
Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (ĐS : k = -3)
b) (Khối D - 2011) Cho hàm số
x1
y
2x 1
−
+
=
−
(C) . Chứng minh rằng với mọi m

4
–10mx
2
+ 6m

+ 3 có đồ thị là (C)
a/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (ĐS :
1
m
2
>
)
b/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
(ĐS : )
m1=
Bài 25 : Cho hàm số có đồ thị là (C)
()
42
y x 3m 2 x 2m 5m 1=− + + − −
Tìm m để (C) cắt đường thẳng y =
2
−
tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số
cộng. (ĐS : )
m1=
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
7
Bài 26 : Cho hàm số
()

ΔOAB vuông tại O.
=+yxm
Bài 28 : Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi E là tâm đối xứng của
đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân
biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
yx x
32
3=− +2
2
.
Bài 29 : Cho hàm số y =
1
12
−
+
x
x
(1)
Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho
tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Bài 30 : Cho hàm số
(
)
(
)
32
m
yx 2mx m3x4 C=+ + + +
(1). Tìm m để đường thẳng
d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác

+
⎪
=
⎪
⎩

Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
22
()(
BA B A
)
A
Bxx yy=−+−

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (D):
MM
M(x;y)
0Ax By C
+
+=
:

MM
22
Ax By C
d[M; D]
AB
+
+
=

,dấu “ = “ xảy ra
ab
⇔
=

VD 1: (DB-2007). Cho hàm số
()
1
1
11
x
yC
xx
==−
++

Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành
một tam giác cân .
Giải Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
00
Mx;y
, thì d :

()
()
00
2
0

xx1 1
11
y1xy 1;
x1 x1 x1 1
x1
x
B
x
⎛⎞
−−
=−−+=−+=⇒−
⎜⎟
⎜⎟
+++ +
+
⎝⎠

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y = 1 tại điểm A , thì
:
()
() (
00 0 0
2
0
1
1xxyx2x12x
x1
AA
A⇒= − + ⇔ = +⇒ +
+

1
1
221
1
1
1
1
1
)22(
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
22
x
x
x
x
x
x
x
x
xIBIA

yx
xx
VNxx

Với x = 0 và y = 0 , ta có tiếp tuyến : y = x
Với x = -2 và y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x + 8/3 .
VD 2 : Cho hàm số . (1)
mxxy +−=
23
3
2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
3
.
Giải : Với M(1 ; m – 2)
21
00
−=⇒= myx
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
9
- Tiếp tuyến tại M là d: d: y = -3x + m + 2.
2))(63(
00
2
0
−+−−= mxxxxy
⇒
d cắt trục Ox tại A:

2
3||||
2
3
||||
2
1
2
3
2
=+⇔=+
+
⇔=⇔=⇔= mm
m
OBOAOBOAS
OAB

⎢
⎣
⎡
−=
=
⇔
⎢
⎣
⎡
−=+
=+
⇔
5

x
m
=
⎡
=+ +⇒= + =⇔
⎢
=
−
⎣

Đồ thị hàm số có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi
dấu khi x qua 3 nghiệm suy ra điều kiện :
40mm0
−
>⇔ <

Cực đại
2
A(0; 4m )
Hai cực tiểu
22
B(2 m;4m), (2 m;4m)C−−− −−
.
Khi đó tam giác xác định bởi 3 điểm cực trị tạo thành là tam giác cân ABC.Gọi R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó
ΔABC
AB.AC.BC
R
4S
=

2
3(16 4)4 3 1
413 4 22
442
4.16.
mm m
Rmmm
mm
−−
⎛⎞
=⇔ =⇔ −= ⇔ + − − =
⎜⎟
−
⎝⎠
0mm

Suy ra
1
m
2
=−

Bài 1 : (Dự Bị -2004 ). Cho hàm số
(
)
422
m
yx 2mx 1 C=− +
(1)
Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .

a) Khoảng cách giữa 2 cực tiểu bằng 4
b) ba cực trị tạo thành 1 tam giác có chu vi
(
)
41 65+
(ĐS : m = 4 )
Bài 5 (Khối B – 2011): Cho hàm số
(
)(
42
m
yx 2m1x mC=− + +
)
(1) m là tham
số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là
gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 6 : Cho hàm số
(
2
42
m
m
yx mx 6 C
2
=+ +−
)
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A
∈
Oy ,B,C và:

(1) tại điểm M (–2, 5). (ĐS : 81/4 đvdt )
Bài 9: Cho hàm số
3x
y
2x 1
=
+
(C) (1). Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những
số nguyên.
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
11
Bài 10 (soạn): Cho hàm số
3x 2
y
2x 1
−
=
+
(C) (1). Tìm trên (C) những điểm có tọa độ
là những số nguyên.
Bài 11: (C)
2x 1
y
1x
+
=
+
.Tìm trên ( C ) những điểm có tổng khoảng cách đến hai
đường tiệm cận :

y
x2(mm1) mx 1
=
−−++−
( C ).Tìm m để (C) có khoảng
cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất. ( ĐS : m = ½ )
Bài 16: (C) :
3x 7
y
x2
−
=
−
.
Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận . ĐS : M
1
( 3; 2) và M
2
(1; 4)
Bài 17: (C)
x2
y
x2
+
=
−
.Tìm trên ( C ) những điểm có tổng khoảng cách đến hai
đường tiệm cận nhỏ nhất (ĐS : M(0,-1))
Bài 26: (ĐH GTVT – 96 ) Cho (C)
49

3
b. y = x
3
- 3x
2
+ m
Bài 21: Cho hàm số
2x 2
y
x2
−
=
+
(C)
Tìm toạ độ những điểm M sao cho
[
]
[]
,
4
,5
dMOx
dMOy
=
.
Bài 22: Cho hàm số
x
y
x1
=

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
13
VẤN ĐỀ 10 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết về các phép biến đổi cơ bản : Cho hàm số
y f(x)
=
có đồ thị là (C) ta
suy ra được các đồ thị hàm số sau :
+ Lấy đối xứng (C) qua Ox ta sẽ được đths (C
1
) :
yf(x)
=
−

+ Lấy đối xứng (C) qua Oy ta sẽ được đths (C
2
) :
yf(x)
=
−

Phương pháp : Xét dấu trị tuyệt đối rồi đưa thành các hàm không chứ trị tuyệt
đối sau đó vẽ từng phần rồi ghép lại

AA=
nếu
A0≥


yf(x)
f( x) khi x 0
≥
⎧
==
⎨
−<
⎩

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
14
+ Giữ nguyên phần (C) phía bên phải Oy ( x ≥ 0 )
+ Lấy đối xứng qua Oy phần (C) trên và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
Dạng 3 : Đồ thị hàm số (C’) :
y
f(x)=f(x) 0
yf(x)
y f(x) ; (1)
yf(x);(2
≥
⎧
⎪

=−+

u(x)
y
v(x)
=
Dạng 3 : Đồ thị hàm số (C’) :

u(x) khi u(x) 0
u(x)
u(x) khi u(x) 0
≥
⎧
=
⎨
−<
⎩

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
+ Giữ nguyên phần (C) khi u(x) ≥ 0
+ Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi u(x) < 0
Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng
u(x)
y
v(x)
=

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 om
16

=
−+ +
;

3
3
():y x 3xC
=
−+

c) Biện luận theo m số nghiệm pt sau :
3
x3x12m1
−
+++=−
(*)
Bài 2 :

a) Khảo sát và vẽ (C) :
x1
y
x2
+
=
−

b) Từ (C) suy ra các đồ thị sau :

1
x1

C
+
=
−
;
4
x1
():y
x2
C
+
=
−GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
18
Bài 3 :

a) Khảo sát và vẽ (C) :
42
yx 4x 1=− +
b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :
42
x4x12m3
−
+= +

Bài 4 (ĐH – Khối A - 2006) :

x3x=−+2
0
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
x3x2m
−
+− =
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
M2; 4
.
d) Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
e) tìm k đề phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
3
x3x22k0
−
+− =
.
e) tìm a đề phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
3
x3x2a0
−
+−=
.

Bài 2.

y
x1
+
=
+
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x
=
, có tung độ
1
2
y
=
−
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến là 4.
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
19
d) Tìm m để đường thẳng
()
5
:y mx 2m
3
d =+−
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .

2
: 2010
3
dy x=+

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua
(
)
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị (C).
d) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
()
2
:dymx=−1
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 5.
Cho hàm số (C). Tìm m để đường thẳng
32
y2x3x=− + −1
(
)(
3
d: mx1y =−
)
cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 6.
Cho hàm số
3x 1
y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) và song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ hai .
c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm
6
3;
5
M
⎛⎞
−
⎜
⎝
⎟
⎠
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
e) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận
của (C) là một hằng số .
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
20
Bài 8. Cho hàm số
x4
y
x1
+
=
+
(C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

()
1
3
: y x 2010
8
d =− +

d) Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm
(
)
3; 4M −
.
Bài 10.
Cho hàm số
3
2
x
y2x3x
3
=− ++1
0
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :

32
x6x9x3m−++−=
c) Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .