CÁC BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH
Ngườitrìnhbày: TS. NguyễnÁiQuốc
(Tr. PTTH Lê Hồng Phong)

1
DỰNG ĐỒ THỊ HS CHỨA GTTĐ

Cho (C) l à đồ thị HS
()
2
() 0
ax bx c
yfx a
xd
+
+
== ≠
−

Làm thế nào suy ra đồ thị các HS sau đây ?
1/
2
()
ax b x c
gx
xd

xd
+
+
=
−
là HS chẵn
- khi x
≥0 thì : g(x) = f(x)
⇒ (C
g
) gồm hai phần :
• (C
g1
) : phần của (C) ứng với x≥0
• (C
g2
) : đối xứng của (C
g1
) qua Oy

2/ Vì
2
() 0
ax bx c
hx
xd
++
=≥
−
,

⎧
=
⎨
−<
⎩

⇒(C
k
) gồm hai phần :
• (C
k1
): phần của (C) ứng với x>d
• (C
k2
) : đối xứng phần của (C) ứng với x<d
qua Ox.
Ví dụ: Cho HS
2
5
()
2
4
x
x
fx
x
−
+
=
−

+
=
−

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y=x-3
x=2
(C1)
x=-2
y=-x-3
5

2
54
()

()
2
x
x
kx
x
−
+
=
−

-4-3-2-1 123456789101
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
1
O7

'
3
xk
xk
π
π
⎧
≠
⎪
⇔
⎨
⎪
≠
⎩PT⇔ cot3x(tan
2
x.cot
2
2x – 1)=tan
2
x – cot
2
2x
⇔cot3x
22 22
22
sin cos 2 cos .sin 2
cos .sin 2

⇔
cos3 0
sin
4
x
x
π
=
⎡
⎢
⎛
⎞
⎢
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⇔
63
4
xk
xl
π
π
π
π
⎡
=+

π
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎢
⎢
=− +
⎢
⎢
=+
⎢
⎣
10
Các bài toán tương tự
1/ Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
33
1 3 3 cos 3 1 3 sin 4 3.cos sin

21925xx−=− +2
⇔
()
3
2
3
3
925 20
2 1 91 36 5 2 5 2
x
xx
⎧
−+≥
⎪
⎨
−= − + + +
⎪
⎩
x

⇒ bế tắc
CÁCH 2 : « Đặt ẩn phụ »
()
3
52
21 0
ux
vxv
⎧
=+

259uv−−=0

12
Ta có hệ : (v )
32
29
359
uv
uv
+=
⎧
⎨
−−=
⎩
0
≥
0
PT theo u :
3u
3
– 20u
2
+ 180u – 54 = 0

13
)N
⇔
2
3
7690(

⎧
⎨
−+=−
⎩

• y = 0 không thỏa hpt
• Với y≠0:
HPT⇔
2
2
2
4
4
72
x
x
yy
x
x
yy
⎧
++=
⎪
⎪
⎨
⎪
−+=−
⎪
⎩


⇔
2
2
4(
22
11 42 0 (2)
x
x
yy
xx
yy
⎧
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎪
⎨
⎛⎞⎛⎞
⎪
++ +−=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎝⎠⎝⎠
⎩
1)

Đặt u =
2

⎨
=
⎩
hay
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩15
• u = -14 ⇒
2
14
18
x
y
x
y
⎧
+
=−
⎪
⎪
⎨

−+
=
⎪
⎩
3
3
hay
71
71
18
x
y
3
3
⎧
=− −
⎪
⎨
−−
=
⎪
⎩Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
23 1
22
22
42 17(2
xy

PT(2) ⇔ x
2
+ 4(x-1)
2
+ 4x + 2 21x − =7
⇔ 5x
2
– 4x – 3 + 2 2x 1
−
= 0 (1b)
Xét HS g(x) = 5x
2
– 4x – 3 + 2 2x 1− trên
[1/2, +∞).
g’(x) = 10x – 4 +
2
21x
−
> 0 trên [1/2, +∞)
⇒ g đồng biến trên [1/2, +∞)

Mặt khác, vì g(1) = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm duy
nhất của PT(1b).
Từ (1a), x = 1⇒ y = 0.

Vậy (1, 0) là nghiệm duy nhất của HPT (I).
17

++− −=
⎪
⎨
++ −=
⎪
⎩
0

18
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ

Phương pháp “tham số”

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): 3x–2y+1=0.
Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua
M(1; 2) và tạo với (d) một góc bằng 45
0
.

d
M

Δ2

Δ
1


G
=
2
2

⇔
.
d
d
nn
nn
Δ
Δ
GG
GG
=
2222
32
2
2
32
ab
ab
+
=
++

⇔
(
)

20
M
O
x
y
A
B

Giả sử (d) cắt tia Ox tại A(a, 0) (a>0) và
B(0, b) (b>0) thì phương trình đường thẳng
(d) theo đoạn chắn:
1
xy
ab
+= (1)
Diện tích tam giác OAB: S =
11

22
OA OB ab=

(d) qua M(1, 4) ⇒
14
1
ab
+
= .
BĐT Chauchy cho 2 số dương:
1 =
14


23
t
cho điểm
A(1,-1, 1) và hai đường thẳng
x12
d: y t
z3t
=+
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=−
⎩
và
xt
d' y 1 2t
z2t
=
⎧
⎪
=
−−
⎨
⎪
=+
⎩
.

, AN
J
JJG
là VTCP của Δ
⇔ .AM k AN=
J
JJG JJJG
⇔
2'
12
2'
tktk
tk
tktk
't
=
−
⎧
⎪
+=−
⎨
⎪
−
=+
⎩

⇔ ⇔
2'
2' 1
'2

t
=−
⎧
⎨
=
⎩
t = –3/2 ⇒
AM
J
JJG
= (–3, –1/2, 7/2).
PT đường thẳng Δ qua A và có VTCP
AM
J
JJG
là:
11
31/27/
1
2
x
yz−+
==
−−
−
.

Lưu ý:
Nếu tính
M

⎪
−−−−=
⎨
⎪
+
−+=
⎩

⇒ Khó khăn

24
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz,
cho mặt cầu (S): (x – 1)
2
+ y
2
+ (z + 1)
2
= 1
và đường thẳng (d):
1
13
xt
y
z
t
=
⎧
⎪
=