Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
T IĐỀ À
Sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng đường
cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt
cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline
Giáo viên h ng d n ướ ẫ :
Sinh viên th c hi nự ệ :
Học viên: Vũ Quang Lương

1
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
Học viên: Vũ Quang Lương
2
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
Học viên: Vũ Quang Lương
3
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay việc gia công cơ các bề mặt sản phẩm trong công nghiệp rất đa
dạng và phức tạp, vì vậy để thiết kế và mô tả nó thuận lợi người ta sử dụng các
phần mềm máy tính trợ giúp. Trong đó các phần mềm CAD/CAM đóng vai trò
quan trọng trong việc trợ giúp xây dựng các bề mặt bằng máy tính.
Môn học: "Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM" cung cấp cho
các học viên các phương pháp xây dựng bề mặt thường gặp trong sản xuất công
nghiệp, trên cơ sở đó giúp cho học viên hiểu thêm quá trình xây dựng các đường
cong và các mặt phức tạp trong hệ thống CAD/CAM/CNC
Trong quá trình tìm hiểu và học tập môn hoc, tác giả đã tiến hành làm tiêủ
luận để có thức riêng cho bản thân về môn học và thực hành lập trình sơ bộ cho
các biên dạng đường và mặt cơ bản, bước đầu biết được nguyên lý chung cho
quá trình xây dựng các bề mặt này.
Tiểu luận môn học sau được trình bày làm 2 phần:

3
Thể hiện dưới dạng ma trận:
( )
[ ]












=
d
c
b
a
uuuur
32
1
(1)
Hay r(u) = UA với 0≤u≤1.
Trong đó U là véc tơ cơ sở và A là véc tơ hệ số.
1.1. Mô hình toán học đường cong Berier.
Chúng ta trình bày cách xây dựng đường cong Bezier trên cơ sở đường
cong Ferguson với các điều kiện mút V

5
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
V
3
- Điểm cuối của đoạn cong ứng với đỉnh P
1
.
Điểm cuối của đường cong Bezier với điều kiện mút được viết như sau:
V
0
= P
0
; V
1
= V
0
+ t
0
/3; V
2
= V
3
- t
1
/3; V
3
= P
1
t
r(u)

V
V
2
Hình 1. Ví dụ đường cong Bezier bậc 3
Để có thể dùng phương pháp xây dựng đường cong bậc ba Ferguson vào
xây dựng đường cong Bezier khi biết các điều kiện mút của nó, chúng ta phải
tìm môtis quan hệ giữa điều kiện mút của đường cong bậc 3 Ferguson P
0
, P
1
, t
0
,
t
1
, và điều kiện mút của đường cong Bezier V
0
, V
1
, V
2
, V
3
có nghĩa là ta phải có:
V
0
= P
0

V

theo V
2
ta có:
V
2
= V
3
- t
1
/3
3V
3
= 3V
2
- t
1
t
1
= 3(V
2
-V
3
)
Kết quả biến đổi ta nhận được hệ phương trình tuyến tính:
V
0
= P
0

Học viên: Vũ Quang Lương

S =
























−
−
=














−
−−−
==
1122
1233
0100
0001
LCM






















3
2
1
0
V
V
V
V
Phương trình (5) được gọi là phương trình đường cong Bezier.
Phương trình trên cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm đa thức:
r(u) = (U M) R
= B
0,3
(u)V
0
+ B
1,3
(u)V
1
+ B

2,3
(u) = 3u
2
(1-u)
B
3,3
(u) = u
3
B
i,3
(u) được gọi là đa thức Bezier bậc 3
Đa thức Bezier tương đương với số hạng trong khai triển nhị phân (u+v)
n
,
với v = 1 - u.
Dạng chung của đa thức Bezier bậc n được viết như sau:
u)-(1u
!)!(
!
(u)B
i-ni
ni,
iin
n
−
=
Đa thức trên được gọi là hàm cơ sở Bezier dùng để định nghĩa đường
cong Bezier bậc n với n+1 điểm điều khiển.
∑
=


Học viên: Vũ Quang Lương
8
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
)*
!"&!#+!"(,&+(-
).*&"(
$ &'*($ &'*(&.'*(,/ "/#  &.'''(
"
"
&$ &*'('$ &*'('&*'('&*'('0+,0'01"20'(
&034"5"5$/#/#0(
5"
Ta sẽ có được biên dạng đường cong Berier bậc ba như sau:
1.2. Mô hình toán học đường cong B-spline đồng nhất
Để hiểu được đặc trưng hình học của một đường cong B-spline bậc 3 cần
phải biết cấu trúc hình học của đường cong này.Giả sử, bốn đỉnh điều khiển của
đường cong bậc ba này được ký hiệu V
0
, V
1
, V
2
, V
3
.Ta định nghĩa như sau:
2
10
0
VV

Học viên: Vũ Quang Lương
9
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
3
2
12
1
MV
P
+
=
Là điểm nằm ở một phần ba của đoạn thẳng V
2
và M
1
Ta xây dựng đoạn cong r(u) thoả mãn điều kiện sau:
-
Đoạn cong bắt đầu từ điểm P
0
và điểm cuối là P
1
-
Vectơ tiếp tuyến t
0
ở điểm P
0
là bằng ( M
0
-V
0

1
01
0
VVV
vV
V
MV
P
++
=
+
+
=
+
=
Hay
6
)(4
)0(
201
0
VVV
rP
++
==
(1-a)
Đánh giá r(u) tại điểm cuối P
1
ứng với u = 1
6

1
VVV
rP
++
==
(1-b)
Ta có
)(
.
0
urt =
, do đó ta xác định tiếp tuyến t
0
:
22
02
0
20
000
VV
V
VV
VMP
−
=−
+
=−=
Hay
2
)0(

−
=≡
(2-b)
Tử các phương trình (1-a), (1-b), (2-a), (2-b) ta có hệ phương trình tuyến tính
)04(
6
1
2400
+++= VVVP
Học viên: Vũ Quang Lương
10
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
)40(
6
1
3211
VVVP +++=
)0303(
6
1
200
+++−= VVt
)3030(
6
1
311
VVt ++−=
Chuyển sang dạng ma trận ta được:
KR
V


−
−
=












=
3
2
1
0
1
0
1
0
3030
0303
1410
0141
6

0363
0303
0141
6
1
N
R = [V
0
V
1
V
2
V
3
]
T

Trong đó N- hệ số đường cong B-spline bậc ba
Đường cong B-spline đồng nhất bậc ba viết dưới dạng biểu thức đại số như sau:
3
3
2
32
1
32
0
32
)(
66
3331

=
Học viên: Vũ Quang Lương
11
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
6
364
)(
32
3,1
uu
uS
−−
=
6
3331
)(
32
3,2
uuu
uS
−++
=
6
)(
3
3,3
u
uS =
Đường cong B-spline viết dưới dạng biểu thức đại số:
i

$ % &'(

)*
!"&!#+!"(,&+(-
).*&"(
$ &'*($ &'*(&.'*(,/ "/#  &.'"''(
"
"
&$ &*'('$ &*'('$ &*'('&*'('&*'('&*'('0+,0'01"20'(
# &(
&0$+7"/#/#0(
5"
Ta sẽ có một đường B-spline bậc ba như sau:
Học viên: Vũ Quang Lương
12
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
1.3. Mảnh mặt Berier
Bây giờ chúng ta xây dựng mảnh mặt Bezier từ các đường cong Bezier
tương tự như phương pháp hình thành mảnh mặt Ferguson đã nêu trên. Giả thiết
rằng chúng ta có mảng 4x4 đỉnh điều khiển
{ }
j,i
V
được bố trí như trên hình 4.
V
03
V
13
V
23

Bezier bậc 3 được xác định như sau:
Học viên: Vũ Quang Lương
13
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
∑∑
= =
=
3
0
3
0
33
i
)()(Bv)r(u,
i j
ijj
VvBu
∑∑
= =
−−
−
−
−
−
=
3
0
3
0
33










−−
−
−
1331
0363
0033
0001












=
33323130

uu
iim
m
uB
−
−
−
= )1(
!)!(
!
)(
jnjn
j
vv
jjn
n
vB
−
−
−
= )1(
!)!(
!
)(
Trong CAD/CAM người ta thường sử dụng mảnh mặt Bezier bậc m=n=5
hoặc m=n=7. Khi bậc m=n=5 số đỉnh điều khiển cần thiết là 36.
Chúng ta có thể tiến hành tăng hoặc giảm bậc của phương trình mảnh mặt
tam giác Bezier.
Học viên: Vũ Quang Lương
14

<&5'(<&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
=&5'(=&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
7&5'(7&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
"
"
"
"

4)&<'='7'0>5?0'0""0'0@#A#0'(
"
4)&&*'*'('&*'*'('&*'*'('0@#?0'0""0'01"20':(
&0$!#$%/##0(
Học viên: Vũ Quang Lương
15
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
1.4. Mảnh mặt B-spline đồng nhất
Mặt B-spline đồng nhất bậc ba của hai biến u và v được biểu diễn bởi
phương trình sau:
∑∑
= =
=
3
0
3
0
33
)()(),(
i j
ijji
VuNuNvur

13121110
03020100
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
B












−−
−
−
=
1331
0363
0303
0141
6
1
N

6
)(
3
3,3
u
uN =
Mặt B-spline đồng nhất được thể hiện dưới hình sau:
Măt cong B-spline đồng nhất bậc hai được em như là tích tensor của
đường cong B-spline đồng nhất bậc hai r(u) = U N
2
R. Mặt đồng nhất B-spline
có thể có bậc của hai biến u và v khác nhau. Ví dụ mặt B-spline có biến u hoặc
biến v bậc hai, phương trình được biểu diễn như sau:
r(u)= U N B N
2
T
V
T
Với 0 ≤ u ≤ 1
Trong đó:
U = [ 1 u u
2
u
3
]
V = [ 1 v v
2
v
3
]

33
V
32
V
22
V
12
V
02
V
01
V
00
V
10
V
11
V
21
V
31
V
30
V
20
v
u
17
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM




−
−=
121
022
011
2
N
Ví dụ mảnh mặt B-spline :

#!
% &''(
&''*(
&''*(
&''*(6
&''*(
&''*(+
&''*(+
&''*(8
&''*(
&''*(
&''*(B
&''*(+
&''*(
&''*(
&''*(
&''*(8



&0C#"!#$+7"0(
Học viên: Vũ Quang Lương
19