§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ

1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x
n
) và (y
n
) và cho số thực . Khi đó
(i)
lim( ) lim lim
n n n n
x y x y

(ii)
lim( ) lim và lim( ) lim . lim .
n n n n n n
x x x y x y

(iii) Nếu
0
lim 0 và 0,
nn
y y n n
(n
0
là số tự nhiên nào đó) thì
lim
lim .
lim
nn
nn

,
n n n
x a y n n
thì
lim .
n
aa3) Tính chất bò chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số
đó bò chặn.
Như vậy, dãy số nào không bò chặn thì dãy số đó phân kỳ.

4) Các giới hạn cơ bản:
(i) Với r > 0, ta có
1
lim 0,
r
n
n

(ii) Với r > 0, ta có
lim 1,
n
n
r
(iii)
lim 1,
n
n

rr
np
np
Như vậy giới hạn được chứng minh theo
đònh nghóa.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2

(ii) Xét trường hợp r > 1 và xét dãy (x
n
) đònh bởi
1, .
n
n
x r n

Theo khai triển của nhò thức Newton thì
(1 )
n
nn
r x nx
(do
0
n
x
) nên
,0 .
n
r
nx

n
n
n x n
nên
2 2 2
( 1)
2, (1 )
2
n
n n n n
nn
n n x C x x
(khai triển nhò thức
Newton). Từ đó ta suy ra
1/ 2
2
2, 0 .
( 1)
n
nx
n
Dùng tiêu chuẩn
giới hạn kẹp và kết quả (i) ta suy ra
0.
n
x
Vậy
lim 1.
n
n

Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả câu (i), ta có đpcm.
(v) Khi x = 0 thì hiển nhiên. Nếu
01x
, chọn
1
0
x
r
x
thì
ta có
1
1
x
p
và
1
00
(1 )
n
n
n
xx
r
khi
.nBài tập
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến

,.
nn
n x x

Chứng minh rằng (x
n
) là dãy hội tụ.
4. Cho dãy số (x
n
) hội tụ về 0 và dãy số (y
n
) bò chặn. C/m rằng dãy
số (x
n
y
n
) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bò
chặn là một dãy hội tụ về 0).
5. Cho (x
n
) là dãy số dương hội tụ về x > 0. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
n
x
Nếu x = 0 thì kết quả còn đúng không?
6. Với số thực x tùy ý, chứng minh rằng có một dãy (q
n
) gồm các số

. Chứng minh rằng
a)
1
,.
nn
n e e
Hdẫn:
1
1
2
11
1
( 1)
n
n
n
e
n
en
n
, dùng
bất đẳng thức Bernouli.
b)
1
,.
nn
n E E
Hdẫn:
2
1

nn
n x x
Nếu chiều bất đẳng thức ngược
lại thì ta nói dãy số là đơn điệu giảm.
Dãy tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.

2. Đònh lý 7.1. Nếu (x
n
) là dãy số tăng và bò chặn trên thì nó hội tụ
về
sup
n
n
x
với
sup sup .
nn
n
x x n

Nếu (x
n
) là dãy số giảm và bò chặn dưới thì nó hội tụ về
inf
n
n
x
với
inf inf .
nn

n
), ta đặt
,
k
kn
y x k
, thì dãy số mới (y
k
) được gọi là dãy con của dãy (x
n
),
và thay vì viết (y
k
), ta viết
()
k
nk
x
. Ta xét các ví dụ đặc biệt sau đây:
Xét
,,
k
n k k
thì dãy con
()
k
n
x
cũng chính là dãy
()

* Với một dãy số là đơn điệu, nếu nó có một dãy con hội tụ
thì nó cũng hội tụ; nếu nó có một dãy con phân kỳ thì nó cũng phân
kỳ.
Sinh viên tự chứng minh mệnh đề trên.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
5 6. Đònh lý Bolzano-Weierstrass. Mọi dãy số thực bò chặn đều có ít
nhất một dãy con hội tụ.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh “dãy số thực (x
n
) bất kỳ luôn
có ít nhất một dãy con đơn điệu”. Thật vậy, xét tập hợp
,.
mn
A n m n x x

Các chỉ số n thuộc A được gọi là “đỉnh” (đỉnh cao). Có hai trường hợp
xảy ra:
(i) Nếu A có vô hạn đỉnh, ta đặt
1
minnA
và
11
min \ , , , .
kk
n A n n k


2
cũng không thuộc tập A, ta có n
3
> n
2
sao cho
32
nn
xx
v.v Nghóa là ta có thể đònh nghóa được dãy con
()
k
n
x
đơn
điệu giảm.

Tiếp theo, ta giả sử thêm dãy (x
n
) bò chặn. Từ bổ đề đã chứng
minh trên, ta có dãy con đơn điệu bò chặn, do đó dãy con này hội tụ,
ta kết thúc chứng minh đònh lý.

7. Đònh lý (về tính đầy đủ của ). Mọi dãy số trong hội tụ khi
và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Chứng minh. Trong bài tập trước, ta đã chứng minh nếu dãy số (x
n
)
là hội tụ thì nó là dãy Cauchy. Ta xét vấn đề ngược lại, giả sử (x

2
k k k
n n n n n
n p x x x x x x x x

Do tính chất bảo toàn thứ tự của giới hạn, ta cho
k
thì ta được
,,
2
n
n p x x

từ đây suy ra dãy (x
n
) hội tụ về x.

8. Nhận xét. - Nếu một dãy số không bò chặn thì nó phân kỳ.
- Nếu một dãy số có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác
nhau thì nó phân kỳ.
- Nếu một dãy số không phải là dãy Cauchy thì nó phân kỳ.

Bài tập
1. Chứng minh rằng nếu
()
k
n
x
là dãy con của dãy (x
n

x
x n x
x
.
1) Chứng minh
*
, 0.
n
nx

2) Chứng minh
*
, 3.
n
nx
(Gợi ý:
30
n
x
).
3) Khảo sát tính đơn điệu của dãy (x
n
) và tìm giới hạn (nếu có)
của dãy này.
4. Cho dãy số (x
n
) được đònh nghóa như sau:
1
0xa
và

2
1
1
, ( 6).
5
nn
n x x
Chứng minh dãy (x
n
) đơn điệu và bò
chặn. Tính
lim .
n
x

7. Cho dãy số (x
n
) được đònh nghóa như sau:
1
1x
và
1
1
,.
2 [ ]
n
n
n
x
nx

n
x

9. Cho dãy số (x
n
). Giả sử hai dãy con
2
()
k
x
và
21
()
k
x
hội tụ về
cùng một giới hạn x. Hỏi rằng dãy số (x
n
) có hội tụ không?