ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
o0o
TRẦN THANH LỘC
VỀ SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN
TẮC TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

thành công này như món quà tinh thần cho gia đình của tôi.
Thành phố H o à Ch í Minh, tháng 5 năm 2011
Tác giả
Trần Thanh Lộc
MỤC LỤC
1 TỔNG QUAN 3
2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 6
2.1 Ánh xạ Valuati o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Đại số chia và vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Nhóm chia được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Nhóm Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TẮC TỐI Đ A ÏI TRONG V A ØN H CHIA 24
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35
Chương 1
TỔNG QUAN
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sự tồn tại của các nhóm con tối đại chuẩn
tắc trên vành ch i a và một số tính chất của các nhóm này qua các bươ ùc sau:
Cho D là một đại số chia hữu hạn chiều có tâm F , D

là nhóm hoán tử của nhóm
nhân D
∗
= D − {0}. Trong luận văn này chúng tôi sẽ chứng minh sự to àn tại của
các nho ùm con tối đại trong F
∗
có li e ân hệ chặt chẽ đến sự tồn tại của chúng trong
D
∗
. Bước đầu tiên của quá trình này là khảo sát sự tồn tại nhóm con tối đại trên

3
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 4 Chuyên ngành Toán Đại số
hữu hạn chiều th ì D
∗
cũng có nhóm con tối đại. Sau đó, kết quả sẽ được phát trie ån
thành F chỉ cần có Krull valuation và nhóm giá trò của nó có nhóm con tối đại , khi
đó mo ïi đại số chia hữu hạn chiều D trên trường F đều có nhóm con chuẩn tắc tối
đại. Từ tính chất này, ta có thể kết luận là trong mọi đại số chia D có tâm F với F
là trường số học hay trường đòa phương đều tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tiếp
theo, t a sẽ xét trường hợp cụ the å với D là vành chia quaternion thực. Khi đó trong
D
∗
không tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tuy nhiên nếu D là vành chia kho ân g
giao hoán t h ì D được xem là Z (D) đại số chia nên đươ ïc dự đoán là sẽ tồn tại nhóm
con tối đại trong D
∗
. Cuối cùng ta se õ đi đến đònh lý, với D là vành chia hữu hạn
chiều trên tâm F , nếu nhóm G (D) không cyclic thì mọi phần tử của D
∗
được chứa
trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại; còn ngược lại, nếu F
∗
tồn tại nhóm con tối
đại chứa Z (D

) thì mọi phần tử của D
∗
cũng đươ ïc chứa trong một nhóm con chuẩn
tắc tối đại nào đó.
Để thực hiện cụ thể các ý tưởng trên, phần còn lại của lu ận văn này được chia

a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0;
b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F;
c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F .
Im (υ) được gọi là nhóm giá trò.
Hệ quả 2.1.3. Cho υ : F → G ∪ {∞} là một Kru ll valuation, khi đó ta có các tính
chất sa u :
a) υ (1) = 0;
b) υ

a
−1

= −υ (a), với mọi a ∈ F ;
c) υ (−a) = υ (a) ;
6
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 7 Chuyên ngành Toán Đại số
d) Nếu υ (a) = υ (b) thì υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) với mọi a, b ∈ F .
Chứng minh. (a) Ta có
υ (1) = υ (1.1) = υ (1) + υ (1) ,
suy ra
υ (1) = 0.
(b) Vì a.a
−1
= 1 nên
υ

a.a
−1

= υ (a) + υ

Đònh nghóa 2.1.5 . Giá trò tuyệt đối trên trường F là một ánh xạ x → |x| từ F vào
tập các số thực, sao cho với mọi x, y ∈ F,
a) |x|  0, đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0;
b) |xy| = |x| |y|;
c) |x + y|  |x| + |y|.
Giá trò tuyệt đối được gọi là phi Archimed nếu c được thay bằng đie àu ki e än mạnh
hơn,
c') |x + y|  max (|x| , |y|)
Ngược lại t a go ïi F là Archimed
Đònh ngh ó a 2.1.6 . Valuation rời rạc của F là một ánh xạ υ : F → Z ∪ {∞}, sao cho
với mọi x, y ∈ F , ta có:
a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0;
b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F;
c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F .
Một valu at i o n rời rạc sẽ cảm sinh một giá trò tuyệt đối phi archimed bởi công thức
|x| = c
υ(x)
với c là hằng số và 0 < c < 1.
Đònh nghóa 2.1.7. F là trường đầy đủ và có valuation rời rạc được gọi là trường đòa
phương nếu và ch ỉ nếu trường của các lớp thặng dư của nó là hữu hạn.
Đònh nghóa 2.1.8. Cho A là một vành có đơn vò. Ánh xạï
ω : A → R
+
= {r ∈ R : r  0}
được gọi là chuẩn nếu nó thỏa các điều kiện sau:
a) ω (x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
b) ω (xy) = ω (x) ω (y) , ∀x, y ∈ A,
c) ω (x + y)  ω (x) + ω (y) , ∀x, y ∈ A.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 9 Chuyên ngành Toán Đại số
Điều kiện (c) được gọi là bất đẳng thức tam giác.

a

b

=
a
b
thì υ
p

a
b

= υ
p

a

b


.
Chứng minh. Ta có
a
b
=
k
1
p
r

1
, p) = gcd(k
2
, p) = gcd(l
1
, p) = gcd(l
2
, p) = 1.
Từ đó dẫn đến
k
1
k
2
=
l
1
l
2
và
p
r
p
t
=
p
r

p
t


(x) + υ
p
(y);
c) υ
p
(x + y)  min {υ
p
(x) , υ
p
(y)}, đẳng thức xảy ra nếu υ
p
(x) = υ
p
(y)
Chứng minh.
(a) Hiển nhiên.
(b) Ta có
υ
p
(xy) = υ
p

m
n
p
r
.
m

n

(ad + bc)
bd
từ đó ta được υ
p
(x + y)  r vì p không là ước của bd.
Giả sử r = s, khôn g mất tính tổng quát ta cho s > r. Khi đó
x + y = p
r

a
b
+ p
s−r
c
d

= p
r

ad + p
s−r
bc

bd
.
Do s − r > 0 và p không là ước của a.d nên
υ
p
(x + y) = r = min {υ
p

= |x|
p
|y|
p
,
c) |x + y|
p
 max

|x|
p
, |y|
p

, đẳng thức xảy ra nếu |x|
p
= |y|
p
Từ các điều kiện trên, ta thấy |.|
p
là một chuẩn phi Archimed trên Q.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 4] Bổ đề 2.6.
Đònh nghóa 2.1.14. F là trường to àn cục nếu nó là trường số học (mở rộng hữu hạn
trênQ) hoặc là trường đa thức một biến trên trường hữu hạn (mở rộng hữu hạn của
F
q
(T ) với q nào đó).
2.2 Đại số chia và vành chia
Đònh nghóa 2.2.1 . Cho F là một tr ư ơ øn g , A là khôn g gian vector tre ân trường F với
phép toán hai ngôi từ A × A → A, kí hiệu là ".". Khi đó, A được gọi là một F -đại số

Bổ đề 2.2.6 . Cho A là đại số chia trên F , nếu A là thay phiên thì A là unital.
Chứng minh. Ch o b ∈ A và b = 0. Do A là đại số chia nên phương trình yb = b
có nghiệm duy nhất là y = 1. Hơn nữa, 1 (1b) = 1b. Vì A là thay phiên nên 1
2
b = 1b
suy ra

1
2
− 1

b = 0 và do đó 1
2
= 1.
Ta lại có 1 (1x − x) = 1
2
x − 1x = 0. Do 1 = 0 nên 1x − x = 0, suy ra 1x = x. Tương
tự ta được x1 = x với mọi x ∈ A. Do đó A là unital.
Đònh ngh ó a 2.2.7. Valuatio n của đại số chia D là ánh xạ υ : D
∗
→ R thõa các tính
chất:
a) υ (ab) = υ (a) + υ (b) ;
b) υ (a + b)  min (υ (a) , υ (b)) .
Đònh ngh ó a 2.2.8 . D được gọi là vàn h chia nếu nó l à unit al và với mọi a ∈ D khác
không, tồn tại x ∈ D sao cho xa = ax = 1.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 13 Chuyên ngành Toán Đại số
Hệ quả 2.2.9. Cho D là vành chia, cho x là phần tử khác không trong D, nếu
xy = zx = 1
thì

p
là trường có cấp p trong D. Đặt
K =


α
i
g
i
: α
i
∈ F,g
i
∈ G

vì G, F có hữu hạn phần tử nên K là một vành hữu hạn, suy ra K là trường. Vì G
là nhóm con của K
∗
nên G là cyclic.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 14 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.2.15. Cho D là va ønh chia, nếu phần tử y ∈ D giao hoán với tất cả các phần
tử cộng hoán tử trong D thì y ∈ Z (D).
Chứng minh. Giả sử tồn tại y ∈ D giao hoán với các phần tử cộng hoán tử của
D nhưng y /∈ Z (D), nghóa là tồn tại x ∈ D sao cho xy − yx = 0. Mà
x (yx − xy) = (xy) x − x (xy)
nên suy ra (xy) x − x ( xy) và xy − yx là các phần tử cộng hoán tử nên giao hoán với
y. Thành thử
y (xy − y x) = (xy − yx) y;
yx (yx − xy) = x (yx − xy) y.
Vì vậy nên ta được

∗
/M
∼
=
Z
p
, với p là số nguyên tố.
Chứng minh. Vì M là nhóm con chuẩn tắc của D
∗
nên D
∗
/M có dạng
D
∗
/M =

M, xM, x
2
M, , x
n
M,

với x ∈ D
∗
\M. Gọi y là phần tử khả nghòch của x tron g D
∗
, nghóa là xy = yx = 1 và
y /∈ M. Do M là n h o ùm con tối đại của D
∗
nên

∗
/M
∼
=
Z
p
với p nguyên tố, nghóa là chứng minh
n + 1 = p.
Giả sử n + 1 không l à số nguyên tố, gọi k là ước thật sự của n + 1, nghóa là
t.k = n + 1 với k là số nguyên dương. Vậy

x
t
, M

= D
∗
,
do đó ta có
D
∗
/M =

M, x
k
M, x
2k
M, , x
k(t−1)
M

α
, với G
α
chia được. Mỗi hệ số x
α
được chia bởi số nguyên dương n, nghóa là tồn tại y
α
sao cho ny
α
= x
α
. Do đó,
(ny
α
) = n (y
α
) = (x
α
) = x. S u y ra

G
α
chia được.
(b) Chứng minh tương tự (a).
(c) Cho f là một đồng cấu, đặt y = f(x) với x ∈ G, do G chia được nên tồn tại
z ∈ G sao cho nz = x. Suy ra, y = f(x) = f(nz) = nf(z), vậy f(G) chia được.
Bổ đề 2.3.3 . Cho G là nhóm giao hoán. Khi đó,
(a) G không có nhóm con tối đại khi và chỉ khi G chia được, khi và chỉ khi G = G
p
(G là p-chia được), với mọi p là số nguyên tố.

Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 17 Chuyên ngành Toán Đại số
Chứng minh. Giả sử tồn tại M
1
= M là nhóm con tối đại của G. Do M, M
1
là
các nhóm con tối đại nên ta được G = MM
1
và do đó G/M
1
∼
=
M/M ∩ M
1
, nghóa
là M ∩ M
1
là nhóm con tối đại của M. Vì M chia được nên M ∩ M
1
= 1. Do đó
G/M
1
∼
=
M
∼
=
C
p
, với p là số nguyên tố và C

a
i
⊗ b
i

=

(a
i
⊗ (xb
i
))
với x, b
i
∈ E vàa
i
∈ A. Tính chất n ày cho phép ta hì n h thành một E- đại số một
cách trực tie áp nh ất đối với mọi mở rộng của trường F.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 18 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.4.2. Cho M
i
(F ) là F -đại số với M
i
(F ) là các ma trận có kích thước i × i
trên trường F , khi đó
M
n
(F ) ⊗
F
M

(F ) ⊗ E
∼
=
M
n
(E) .
Chứng minh. xin tham khảo trong [6] t r an g 2.
Đònh nghóa 2.4.5. Cho A là một F -đại so á có đơn vò, ta nói, A là mo ät đại số Brauer
nếu và chỉ nếu A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E) với E là mở rộng Galois nào đó của F .
Bổ đề 2.4.6 . Nếu A là một đại số Brauer cu ûa F thì A có hữu hạn chiều trên F .
Chứng mi nh . Do A là một đại số Brauer nên tồn tại một mở rộng Galois E và
một số n > 0 sao cho
A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E) .
Theo Bổ đề 2.4.4, số ch i e àu của A như một không gian vector trên F bằng vơ ùi số
chiều của A ⊗
F

=
M
n
(E) .
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6] Đònh lý 2.6.
Bổ đề 2.4.11. A là F -đại số hữu hạn chiều có đơn vò, A là một đại số Brauer nếu
và chỉ nếu A là đại số trung tâm đơn hữu hạn chiều.
Chứng minh . A là một đại số Brau e r nên theo đònh nghóa ta được A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E), với E là mở rộn g hữu hạn trên F , áp dụïng Đònh lý 2.4.11, A là đại số trung
tâm đơn hữu hạn chiều. Ngược lại, nếu A là đại số trung tâm đơn hữu hạn chiều thì
tồn tại một mở rộng Galois hữu hạn chiều E trên F sao ch o A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E), từ
đó A là một đại số Brauer.
Cho A, B là các F -đại số trung tâm đơn. A và B là tương đương (A ∼ B) nếu
A ⊗ M
n
(F )
∼

n
(F ) là phần tử trung
hòa với mọi n, và A ⊗
F
A
opp
∼ M
n
(F ) với A
opp
là tập hợp đối của A (t h am khảo [5] ) ,
do đó Br (F ) là một n h o ùm .
Đònh ngh ó a 2.4.12. Nhóm gồm các lớp tương đương của các F-đại số tr u n g tâm đơn
như trên với phép toán nhân được gọi là nhóm B ra u er của F. Kí hiệu là Br(F ).
Đònh lý 2.4.13. (Đònh lý Wedderbu rn) Nếu A là một F -đại số đơn hữu hạn chiều
thì tồn tại một đại số chia hữu hạn chiều (như một F -không gian vector) và số n
dương sao cho A
∼
=
M
n
(D). Hơn nữa, D và n là duy nhất.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6] đònh lý 2.5.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 20 Chuyên ngành Toán Đại số
Đònh lý 2.4.14. Nếu F là một trường đóng đại số thì Br (F ) là nhóm tầm thường.
Chứng mi nh . Cho D là một đại số chia hữu hạn chiều trên F. Giả sử D = F , lấy
phần tử d trong D/F . Do D là một F-không gian vector hữu hạn chiều nên tập hợp
vô hạn phần tử

1, d, d



r
i
⊗ A
i

=

r
i
A
i
,
ta có thể kiểm tra rằng đây là m o ät đẳng cấu, nên suy ra
R ⊗ M
n
(F )
∼
=
M
n
(R) .
Bây giờ ta sẽ chứng minh mỗi lớp tương đương của nhóm Brauer chỉ chứa duy
nhất mo ät đại số chia. Giả sử D
1
, D
2
là 2 đại số chia trong cùng một lớp tương đương
của nhóm Brauer, ta có

1
, D
2
là các đại số Brauer nên cũng là các F -đại số trung tâm đơn hữu hạn
chiều. Áp dụng Đònh lý Wedderburn ta được n = m mà D
1
∼
=
D
2
.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 21 Chuyên ngành Toán Đại số
Để ho àn tất chứng minh, ta sẽ chứng minh sự tồn tại của các đại số chia trong
mỗi lơ ùp tươn g đương của nho ùm Braue r . Cho A là một đại số Brauer. Theo Đònh lý
Wedderburn, A
∼
=
M
n
(D), với D là một đại số chia hữu hạn chiều trên F . Mà
M
n
(D)
∼
=
D ⊗ M
n
(F )
nên D ⊗ M
n

E
(A

⊗
F
E)
∼
=
(A ⊗
F
A

) ⊗
F
E.
Đònh nghóa 2.4.17. Ta gọi Br(E/F ) là nhân của ánh xạ Br (F ) → Br (E). Một phần
tử A của Br(F ) là tách được trên E nếu nó thuộc Br(E/F ), nghó a là A ⊗
F
E là một
ma trận trên E.
Đònh nghóa 2.4.18. Cho E/F là mở rộn g cyclic (Galois), Gal (E/F ) = σ và dim
F
E =
n. Lấy một phần tử a khác không trong F và một kí tự x, đặt
D = E.1 ⊕ E.x ⊕ ⊕ E.x
s−1
,
với phép nhân t r o n g D thỏa qui tắc
x
n

1
< < i
r
< n − 1)
với r là chỉ số nhỏ nhất có thể. Vì thế, các b
i
j
= 0 nên b
i
j
là phần tử khả nghòch trong
E (do đó cũng khả nghòch trong D). Giả sử r = 1, ta có x là phần tử khả n g h ò ch
trong D (nghòch đảo là a
−1
x
n−1
), suy ra z = b
i
1
x
i
1
khả ngh ò ch , vậy I = D . Giả sử
r ≥ 2, do σ
i
1
= σ
i
r
nên tồn tại b ∈ E sao cho σ

i
1
σ
i
1
(b) x
i
1
+ + b
i
r
σ
i
1
(b) x
i
r
.
Vì thế
zb − σ
i
1
(b) z = b
i
2

σ
i
2
(b) − σ

i=0
b
i
x
i
∈ C
D
(E)
với b
i
∈ E. Với mỗi b ∈ E ta có bd = bd. Mà
bd =
n−1

i=0
bb
i
x
i
db =
n−1

i=0
b
i
x
i
b =
n−1


Cuối cùng, để hoàn tất chứng minh ta cần chứng minh F = Z (D). Cho b ∈ Z (D)
thì b ∈ C
D
(E) = E. Mà bx = xb = σ (b) x nên b = σ (b). Do b = σ (b) nên b ∈ F .
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 23 Chuyên ngành Toán Đại số
Đònh lý 2.4.20. Cho D = (E/F, σ, a). Ta có D
∼
=
M
n
(F ) khi và chỉ khi a ∈ N
E/F
(E
∗
).
Với n = |E : F | , N
E/F
(E
∗
) là ánh xạ chuẩn trên trường từ E đến F .
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 2] Đònh lý 14.7 trang 231
Đònh lý 2.4.21. (Đònh lý Wedderburn) Cho E là một mở rộng cyclic trên trường F,
|E : F | = n, nếu tồn tại một phần tử a ∈ E sao cho



a
n
∈ N
E/F

i=1
Z
(i)
r
cho bởi
công thức f
r
(x) =

υ
p
i
(x)

, với Z
(i)
r
∼
=
Z
r
là vành các số nguyên theo mô đun
r, với mỗi i, p
i
là số nguyên tố thứ i và υ
p
i
là p
i
- adic valuation trên Q và

υ
p
i
(x)

với sgn x là dấu của x. Nếu M là nhóm con tối đại của Q
∗
, thì tồn tại một số
nguyên tố q và một không gian con tối đại W của G
q
(G
q
là không gian vector
trên Z
q
) sao cho M = f
−1
q
(W ). Ngược lại, với mọi số nguyên tố q và không
gian con tối đại W của G
q
, f
−1
q
(W ) là nhóm con tối đại của Q
∗
.
b) R
∗
chỉ có một nhóm con tối đại.