Chuyên đề:
GIẢI NHANH tổng hợp dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
A.KIẾN THỨC:
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số như sau:
x
1
= A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) thì: x = x
1
+ x
2
thì ta được x = Acos (ωt + ϕ) . Với:
A
2
=A
1
2
+ A
2
2
+2A
1

1
cos (ωt + ϕ
1
), x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) và x
3
= A
3
cos (ωt + ϕ
3
) thì dao động tổng hợp cũng là dao động
điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được: A
x
= Acos ϕ = A
1
cos ϕ
1
+

A
2
cos ϕ
2
+

2 2
x y
A A
+
và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ =
y
x
A
A
với ϕ ∈ [ϕ
Min
, ϕ
Max
]
3.Khi biết dao động thành phần x
1
=A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao
động thành phần còn lại là x
2
=x - x
1 .
với

x
2
= A

1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
4.Nhược điểm của phương pháp trên khi làm trắc nghiệm:
-Xác định A và ϕ  của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc
biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên.
-Xác định góc ϕ hay ϕ
2
thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tanϕ  luôn tồn tại hai
giá trị của ϕ (ví dụ: tanϕ=1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán!.
B. PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx – 570MS.
1. Cơ sở lý thuyết :
+Dao động điều hoà  x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay
ur
A
có độ dài tỉ lệ với biên
độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới
dạng: z = a + bi
+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A=
2 2
a b+
) hay Z = Ae
j(
ω
t +

0
hay 8∠π/3 ta làm như sau:
-Chọn mode: Bấm máy: MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D
Bấm: MODE 2 xuất hiện chữ CMPLX
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60
-Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠
1
π
3
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad
nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad
cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị
rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn,
ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)
Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=
φ(D).π
180
Đơn vị góc (Độ) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 18
0
360
Đơn vị góc
(Rad)
1
π
12
1
π
6


ϕ
).
-Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A∠ ϕ , bấm SHIFT 2 3 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4
3
i .Ta bấm phím SHIFT 2 3 = kết quả: 8∠
1
π
3
-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠
1
π
3
, ta bấm phím SHIFT 2 4 =  kết quả :4+4
3
i
4. Tìm dao động tổng hợp xác định A và
ϕ
bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng :
a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
-Nhập A
1
SHIFT (-) φ
1,
+ Nhập A
2

t (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình
A. x = 5
3
cos(
π
t -
π
/4 ) (cm) B.x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
C. x = 5cos(
π
t +
π
/4) (cm) D.x = 5cos(
π
t -
π
/3) (cm) Đáp án B
Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức
Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên
Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ )
Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi )
( đang thực hiện phép tính )
Biên độ:
2 2

Giải 1: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2
-Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3
Nhập: 5 SHIFT (-)∠ (60) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 =
Hiển thị kết quả: 5
3
∠30
Vậy :x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
(Nếu Hiển thị dạng đề các:
15 5 3
2 2
+ i
thì
Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5
3
∠30 )
Chọn B
Giải 2: Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5
3
∠
1
π
6

2
3
A A A A A cm
HD
A A
A A
ϕ ϕ
π
π
ϕ
π
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
π
ϕ

= + + − =




=
+


+
= = = − ⇒ ⇒ =

1 1 2 2
2 cos 2
2
3 sin 1.sin 0
:
sin sin
3
2
tan 3
s s 3
3 cos 1.cos0
2
3
A A A A A cm
HD
A A
A co A co
ϕ ϕ
π
π
ϕ
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
ϕ

= + + − =


1
= 2
3
cos(2πt +
3
π
) cm, x
2
= 4cos (2πt +
6
π
) cm ;x
3
= 8cos (2πt -
2
π
) cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao
động lần lượt là:
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
AA
AA
+
+
A. 12πcm/s và
6

23 23
4 sin 8sin
6 2
tan 3
3
4 cos 8 cos
6 2
π
 
= + + ∆ϕ = ⇒ = π −
 ÷
 
2 2
23 23
A 4 8 2.4.8.cos 4 3 x 4 3 sin 2 t
3

Tổng hợp x
23
vµ x
1
có:
π π
 
+ −
 ÷
 
ϕ = = −
π π
 

-3i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6 ∠-30 ) => vmax= Aω =12π (cm/s) ; ϕ=π/6
Ví dụ 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
x
1
= cos(2πt + π)(cm), x
2
=
3
.cos(2πt - π/2)(cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B. x = 4.cos(2πt + π/3) (cm)
C. x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D. x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm)
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4
-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠ π +
3
 SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠-
2
π
3
. Đáp án A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ
)()
2
2cos(
3
4
))(
6
2cos(
3

π
Đáp án A
Giải 1: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là radian(R): SHIFT MODE 4
Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/6) +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠
1
π
3
Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3
Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 30 +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60

C. x = 3a/2.cos(πt +π/4)(cm) D. x = 2a/3.cos(πt +π/6)(cm) Chọn
B
Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 ( Lưu ý : Không nhập a)
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy :
2
 SHIFT(-)∠45 + 1 SHIFT(-)∠180 = Hiển thị: 1∠ 90,
e. Trắc nghiệm vận dụng :
Câu 1: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x
1
=
3
cos(5πt +π/2) (cm) và
x
2
=
3
cos( 5πt + 5π/6)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 3 cos ( 5πt + π/3) (cm). B. x = 3 cos ( 5πt + 2π/3) (cm).
C. x= 3 cos ( 5πt - 2π/3) (cm). D. x = 4 cos ( 5πt + π/3) (cm) Đáp án B
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình:
x
1
= 4cos(πt )(cm) và x
2
= 4
3
cos(πt + π/2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 8cos(πt + π/3) (cm) B. x = 8cos(πt -π/6) (cm)
C. x = 8cos(πt - π/3) (cm) D. x = 8cos(πt + π/6) (cm) Đáp án A

Xác định A
2
và ϕ
2
?
a.Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là độ ta bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ
;
bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1 ,
nhấn = kết quả.
(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A
2
∠ ϕ
2
b.Với máy FX570MS : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1
nhấn =
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A
2.
bấm

SHIFT = hiển thị kết quả là: φ

2
 SHIFT(-) ∠ (5π/12) – 5 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 5 ∠
2
π
3
, chọn A
Ví dụ 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
= 2
3
cos(2πt + π/3) (cm), x
2
= 4cos(2πt +π/6) (cm) và x
2
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. 8cm và - π/2 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2. Chọn A
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x
3
= x - x
1
–x
2

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2

cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6
2
cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 3: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x
= a
2
cos(2πt - π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a
2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các

= 5 m/s
2
.
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 4  SHIFT(-)∠45 + 3 SHIFT(-)∠135 = Hiển thị: 5∠ 81,869,
Suy ra A = 5cm  v
max
= ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; a
max
= ωA = 500 cm/s
2
= 5 m/s
2
.
Bài 2. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5
3
cos(6πt +
2
π
) (cm).
Dao động thứ nhất có biểu thức là x
1
= 5cos(6πt +
3
π
) (cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: A
2

2
π
)(cm).
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 2: x
2
= x - x
1

Nhập: 5
3
 SHIFT(-) ∠ (π/2) - 5 SHIFT(-) ∠ (π/3 = Hiển thị: 5 ∠
2
π
3
.Vậy: x
2
= 5cos(6πt +
3
2
π
)(cm).
Bài 2. Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x
1
= 5cos5πt
(cm); x
2
= 3cos(5πt +
2
π

2
+ x
3
= 5
2
cos(5πt -
4
π
) (cm).
Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy:
5 SHIFT(-)∠ 0 + 3 SHIFT(-)∠ (π/2) + 8 SHIFT(-)∠ (-π/2) = Hiển thị: 5
2
∠ -π/4. Chọn A
D.TRẮC NGHIỆM :
Câu 1: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 3cm và 4cm. Biết độ lệch pha của 2
dao động là 90
0
, biên độ dao động tổng hợp hai dao động trên là :
A. 1cm B. 5cm C. 7cm D. không tính được
Câu 2: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và ngược pha nhau. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là :
A. 0 B. 5cm C. 10cm D. không tính được
Câu 3: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm. Biên độ dao động tổng
hợp hai dao động trên là 4cm khi độ lệch pha của 2 dao động là :
A. 2kπ B. (2k – 1) π C. ( k – ½)π D. (2k + 1 ) π/2 (k nguyên)
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10Hz và có biên độ lần
lượt là 7cm và 8cm. Hiệu số pha của 2 dao động là π/3 rad. Độ lớn vận tốc của vật khi vật có li độ 12cm là :
A. 314cm/s B. 100cm/s C. 157cm/s D. 120πcm/s
Câu 5: Một vật khối lượng m = 100g thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương :

Câu 7: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
2
8 10 8 10
6 3
π π
π π
= − = −
cos( )( ); cos( )( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp
của 2 dao động trên là :
A.
8 10
2
π
π
= +cos( )( )x t cm
B.
5
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
C.
8 2 10
12
π
π

= +
cos( )( )x t cm
C.
4
3
π
ω
= −
cos( )( )x t cm
D.
4
ω
= cos ( )x t cm
Câu 9: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, dọc theo trục x’ox có li độ thỏa mãn phương trình :
4 4
2 2
3
3 3
π
π π
= − +
cos( ) cos ( )x t t cm
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là :
A. A = 4(cm); ϕ = - π/3(rad) B. A = 4 (cm); ϕ = - π/6(rad)
C. A =
4 3
(cm); ϕ = π/6(rad) D. A =
8
3
(cm); ϕ = 2π/3(rad)

π
π
= +
D.
2cos(5 )( )
3
x t cm
π
π
= +
Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Biết phương trình
của dao động tổng hợp là
5
3cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= −
, phương trình của thành phần dao động thứ nhất là
1
5cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
. Phương trình của thành phần dao động thứ hai là
A.
2

π
= −
Câu 12: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình
1 2
2cos(5 )( ), 2cos(5 )( )
2
x t cm x t cm
π
π π
= + =
. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại là
A.
10 2 ( / )cm s
π
B.
10 2( / )cm s
C.
10 ( / )cm s
π
D.
10( / )cm s
Câu 13: (ĐH-2009) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban
đầu là
3
π
và
6
π
−
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng

A. 100 cm/s. B. 50 cm/s. C. 80 cm/s. D. 10 cm/s.
Câu 15: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x =
4cos(πt -
6
5
π
) (cm).
Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x
1
=
5cos(πt
+
6
π
) (cm). Dao động thứ hai
có phương trình li độ là
A. x
2
=
9cos(πt
+
6
π
) (cm). B. x
2
=
cos(πt
+
6
π

bằng
A. 7 m/s
2
. B. 1 m/s
2
. C. 0,7 m/s
2
. D. 5 m/s
2
.
Câu 17: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động thành phần cùng phương, cùng tần số x
1
= 4cos100πt (cm)
và x
2
= 4cos(100πt +
2
π
) (cm) có phương trình tổng hợp là
A. x = 4
2
cos(100πt +
4
π
) (cm) B. x = 4
2
cos100πt(cm)
C. x = 4cos(100πt +
4
π

6
;3
π
A

Câu 19: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x
1
=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x
2
=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Câu 20: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm) và x
2
= A

x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π

/4) cm; x
2
=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Câu 24: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x
1
=4cos(10t+
π
/4) cm; x
2
=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s
2
D. 1m/s
2
Câu 25: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x
1
=2Acos(10
π
t+
π

π
/2) cm
Câu 26: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
8cos(2πt + π/2) (cm), x
2
= 2cos(2πt -π/2) (cm) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng
hợp có dạng x = 6
2
cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần
thứ 3:
A. 6cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 27: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
=
a.cos(2πt + π/2) , x
2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3

A. x = 2cos(
π
t –
6
π
) cm B. x = 2cos(
π
t +
2
π
) cm C. x = 2cos(
π
t +
3
π
) cm D. x = 2cos(
π
t –
3
π
)
cm
Câu 29: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu
π/6 và dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2
thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A

cos(ωt+π/3)(cm) và x
2
= A
2
cos(ωt- π/2)(cm).Phương trình dao động tổng
hợp là: x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm C. π/6; 10cm D. B hoặc C
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:
A
2
max khi góc đối diện với nó ( góc β) trong tam giác tạo bởi A
1
,A
2
,A là góc vuông
(tam giác vuông tại góc β mà A
2
là cạnh huyền)
Theo định lý hàm số sin ta có
A
Sin
A
Sin
αβ
=
2

max khi góc đối diện β =π/2 =>
cm
Sin
A
A 10
2
1
5
6
.1
max2
===
π
Hình vẽ dễ dàng ta thấy: ϕ = /β - ϕ
1
/= / π/2 - π/3 / = π/6
Vì ϕ <0 => ϕ = - π/6 . Chọn B
Câu 31: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất
điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là: x
1
= 4cos(4t +
3
π
)
cm và x
2
= 4
2
cos(4t +
12

OA
2
=π/4
Dễ thấy góc OA
1
A
2
= π/2 và tam giác OA
1
A
2
vuông cân tại A
1
.
Suy ra đoạn OA
1
=A
1
A
2
= 4cm (không đổi trong quá trình dao động)
A
1
A
2
là khoảng cách giữa 2 vật .
Khi đoạn A
1
A
2

có phương trình x
2
= 1,5cos(20πt) (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao động có phương trình nào thì ba vật luôn luôn
nằm trên một đường thẳng?
A.x
3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm). B.x
3
=
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
C.x
3
= 3
2
cos(20πt -
2
π
) (cm). D.x
3
= 3
2

2
1
2
2
)2( AA +
= 3
2
cm
Dễ thấy φ
3
= - π/4 rad → x
3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm).
(hoặc dùng máy tính tổng hợp dao động ).
Câu 33: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp
của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt
là x
1
=5cos(10
π
t) cm, x
2
=10cos(5
π
t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng

Hình
Câu 34: Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có
phương trình là
1 1
cosx A t
ω
=
và
2 2
cos
2
x A t
π
ω
 
= +
 ÷
 
. Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng:
A.
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
B.
2 2 2
1 2
E

2
2
1
2
ω
( )
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
Chọn D
Câu 35. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
1 1
os( )x Ac t cm
ω
=
và
2 2
5
os( )
6
x A c t cm
π
ω
= −
được
6 os( )x c t cm
ω ϕ

π
/4 C.
π
/6 D.
π
/12
Hd: Áp dụng công thức:
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
để ý A
1
=A
2
Từ đó tính được:
ϕ
=
π
/12
Bài 2*: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ

π
π
= +
(cm).
C.
2
5
2cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Hd: Ta có phương trình tổng hợp: x=x
1
+x
2
suy ra: x
2
=x-x

π
π
− +
5
5cos( )
6
t
π
π
−
=
5
8cos( )
6
t
π
π
−
(cm)
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A1=7cm;
A2=8cm độ lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x=12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π

±
m/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Hd: Qua VTCB thì V=V
max
=
A
ω
±
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được v=10cm/s.
Bài5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π

/3 =
π
Hai dao động ngược pha nên A= 8-6=2cm
Dùng công thức
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+
suy ra được
ϕ
=4
π
/3 chọn D
Cách 2: Để ý: x1= 6cos(5
π
t+
π
/3) x1= -6cos(5
π
t+4
π

=
A
ω
±
2
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=-3
π
/4-
π
/4=-
π
nên 2 dao động
ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được a=100cm/s
2
=1m/s
2
Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=2cos(5
π
t+
π
/2) cm, x2=2cos(5
π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10

đầu dao động này là
A. A=5cm;
ϕ
=0,93 rad B. A=1cm;
ϕ
=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Hd: Ta thấy x=x1+x2 =3cos
ω
t +4sin
ω
t=3cos
ω
t +4cos(
ω
t+
π
/2)
Do đó:
ϕ
∆
=

ϕ
∆
=0 nên 2 dao động cùng pha suy ra A=15cm=0,15m
Từ đó dễ dàng tính được W=0,1125J
Bài 10*: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10
π
t+
π
/6), x2=2Acos(10
π
t+5
π
/6) và x3=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên
là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5

x
y
A
A
nên
ϕ
=
π
/2 vậy chọn A.
Bài 11: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao
động lần lượt là x
1
= 10cos(
2
π
t + φ) cm và x
2
= A
2
cos(
2
π
t
2
π
−
) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(
2
π
t

π
A
>
A = 2A
1
sinα. A = A
max
khi sinα = 1.=> α = π/2 (Hình vẽ)
Năng lượng cực đại khi biên độ A= 2A
1
= 20 cm.
Suy ra A
2
=
2
1
2
AA −
= 10
3
(cm). Chọn đáp án B
Bài 12: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li
độ lần lượt là x
1
= 3cos(
3
2
π
t -
2

2
π
t -
2
π
) =3sin(
3
2
π
t )
x
1
= x
2
=> 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) = 3
3
cos
3
2
π
t
=> tan
3

π
(
4
1
+
2
3k
) -
3
π
]
= 6cos(kπ -
6
π
) = ± 3
3
cm = ± 5,19 cm
Giải: Cách 2 Dùng giản đồ véctơ:
Với các số liệu đề bài ta vẽ được giản đồ
véctơ như hình trên
π/6
π/3
O
π/3
α
A
2
A
A
1

2
-x
2
π/6
Ta dễ dàng có: xhiệu = 6cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) ; xtổng = 6cos(
2
3
π
t
π
−
6
)
Nhận xét khi x
1
= x
2
thi x
1
-x
2

t
π
−
5
6
) ; xtổng = 6cos(
2
3
π
t
π
−
6
)
Khi x
hiệu
= 0 thì cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) = 0 =>
2
3
π
t

= -5,19cm
Thế t=0,5s vào xtổng: xtổng = 6cos(
2
3
π
0,5.
π
−
6
) = 6cos(
π
3
π
−
6
) =6cos(
π
6
) =3
3
= 5,19cm Chọn B
Bài 13. Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:x
12
=2cos(2πt + π/3)
cm, x
23
=2
3
cos(2πt +5π/6)mcm, x
31

1
+ A
2
+ A
1
+ A
3

A = 2A
1
+ A
2
+ A
3
= 2 A
1
+ A
23
Từ giản đồ ta tính được A
1
= 1 cm.
Xét tam giác OA
23
M: A
23
M

= 2A
1
góc A

cos(
ω
t -
π
/6) cm và x
2
= A
2
cos(
ω
t -
π
) cm. Dao động tổng hợp có phương trình x = 9cos(
ω
t -
ϕ
) cm. Để biên độ A
2
có giá trị cực đại thì A
1
có giá trị là:
A. 15
3
cm B. 9
3
cm C. 7 cm D. 18
3
cm
Giải: Xem hình vẽ
Khi A

=9
3
cm. Chọn B
10 BÀI TẬP HAY
CHUYÊN ĐỀ: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số và cùng biên độ có pha ban đầu là
π
/3 và –
π
/6. Pha của dao động tổng hợp là
A. –
π
/2 B.
π
/4 C.
π
/6 D.
π
/12
M
30
0
60
0
x
O
A
2A
1
A

π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ
hai có phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm).
C.

cm/s C.
π
±
m/s D.
π
±
cm/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình là: x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Bài 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm, x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=14cos(5
π
t+
π
/3) cm B. x=2cos(5
π
t+

π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Bài 8*: Một vật dao động trên một đường thẳng có phương trình x =3cos
ω
t +4sin
ω
t . Biên độ và pha ban
đầu dao động này là
A. A=5cm;
ϕ
=0,93 rad B. A=1cm;
ϕ
=0,93 rad
C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad

/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π
/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π
/2) cm
TRÁC NGHIỆM ÔN TẬP TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
I. Các bài tập không nên dùng máy tính
Câu 1: Một vật tham gia vào hai dao động điều hòa có
cùng tần số thì
A. dao động tổng hợp của vật là một dao động tuần hoàn
cùng tần số.
B. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số.
C. dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa
cùng tần số và có biên độ phụ thuộc vào hiệu pha của hai
dao động thành phần.
D. dao động của vật là dao động điều hòa cùng tần số nếu
hai dao động thành phần cùng phương.
Câu 2: Chọn câu đúng. Biên độ dao động tổng hợp của
hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
A. giá trị cực tiểu khi hai dao động thành phần lệch pha
π
/2.
B. giá trị bằng tổng biên độ của hai dao động thành phần.
C. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần cùng pha.

D. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số lẻ của
π
.
Câu 5 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương theo các phương trình sau : x
1
= 4sin(
t
π α
+
) cm và x
2
=
4cos( )
2
t
π
π
−
cm. Biên độ của dao
động tổng hợp lớn nhất là
A.
2
π
α
=
rad. B.
2
π

cm và chuyển động theo chiều dương.
Câu 8: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng
phương có phương trình :
1
2 3 os10 t(cm)x c
π
=
và
2
2 os(10 t + )(cm)
2
x c
π
π
=
.
Nhận định nào sau đây là không đúng?
A. Khi
1
2 3x
= −
cm thì
2
0x
=
.
B. Khi
2
2x =
cm thì

ω
= −
và
os( )
2 2
x A c t cm
ω π
= −

động tổng hợp có phương trình
9 os( )x c t cm
ω π
= +
. Để
biên độ A
2
có giá trị cực đại thì A
1
có giá trị
A.
9 3
cm. B.
2
9 3
cm. C.
15 3
cm. D.
18 3
cm.
II. Các bài toán nên dùng máy tính

π
) cm. B. x = 8sin(
π
t -
6
π
) cm.
C. x = 8cos(
π
t -
6
π
) cm. D. x = 8sin(
π
t +
6
π
) cm.
Câu 12 : Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số, cùng biên độ
2
cm và có các pha ban đầu lần
lượt là
2
3
π
và
6
π
. Pha ban đầu và biên độ của dao động

 ÷
 
cm; x
2
=3cos
5
6
t
π
 
−
 ÷
 
cm, s
Dao ®éng tæng hîp cã biªn ®é vµ pha ban ®Çu lµ
A. 3
3
cm;
6
π
rad . B.
2 3
cm; -
2
3
π
rad.
C.
3
cm;

cm và chuyển động theo chiều dương.
D. A = 10cm và chuyển động theo chiều dương.
Câu 16: Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng
chu kì T=2s. Dao động thứ nhất tại thời điểm t = 0 có li
độ bằng biên độ và bằng 2cm. Dao động thứ hai có biên
độ bằng 2
3
cm, tại thời điểm ban đầu có li độ bằng 0
và vận tốc âm. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao
động trên là
A. 4 cm. B. 3 cm. C. 5 cm. D. 2
3
cm.
Câu 17: Hai dao động điều hào cùng phương cùng tần
số, cùng biên độ và các pha ban đầu là
/ 3; / 6
π π
−
. Pha ban đầu của hai dao động tổng hợp
trên bằng
A.
2
π
−
. B.
12
π
. C.
4
π

t và x
2
= 4
3
cos
π
t cm.
Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t
1
= 0 đến thời
điểm t
2
= 2s là
A. 16cm. B. 32cm. C. 24cm. D. 8cm
Câu 20 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz với các biên độ
thành phần là 7 cm và 8 cm. Cho biết hiệu số pha của hai
dao động là
3
π
. Vận tốc của vật khi nó qua vị trí có li độ
x = 12 cm là
A. 314 cm/s. B. 100 cm/s.
C. 157 cm/s. D. 120π cm/s.
2. Bài toán tổng hợp nhiều dao động
Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hòa cùng phương cùng tần số sau:
1 2
3
1,5 os ( ); os( )( );

π
ω
= +
cm
C.
3 os( )
2
x c t
π
ω
= +
cm.
D.
3 os( )
3
x c t
π
ω
= −
cm.
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số với phương trình có dạng:
x
1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2

π
) cm. D. x = 2cos(
π
t –
3
π
) cm.
Câu 23: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)
cm; x
4
= 2cosπt (cm). Hãy xác định phương trình dao
động tổng hợp của vật
A.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

. Biên độ và pha
ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
4 2 ;
4
cm rad
π
. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad
π
−
. D.
3
4 3 ;
4
cm rad
π
−
.
Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình

ππ
−=
tx
.
Câu 26: Có bốn dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số có biên độ và pha ban đầu là A
1
=8cm; A
2
=6cm;
A
3
=4cm; A
4
=2cm và
1 2 3 4
0; 2; ; 2
ϕ ϕ π ϕ π ϕ π
= = = = −
.
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là
A.
4 2 ;
4
cm rad
π
. B.
3
4 2 ;
4

cm. Phương trình dao động tổng
hợp:
6cos(12 / 6)x t
π π
= +
cm. Giá trị của A
2
và ϕ
2
là
A. A
2
= 6cm,
2
2
π
ϕ
=
. B. A
2
= 6
3
cm,
3
2
π
ϕ
=
. C.
A

x t cm
π
ω
= −
. Phương
trình dao động của vật 2 là
A.
2
24cos( )( )
3
x t cm
π
ω
= −

B.
2
24cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= −

C.
2
8cos( )( )
6
x t cm
π

2
cm.
6
π
. B.
2 2
;
3
π
.cm.
C.
2 2
cm;
4
π
. D.
2
cm
2
π
.
Câu 30: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa x
1
; x
2
=
2 3 os(5 / 2)c t cm
π
+
. Biết phương trình dao động

D.
2
2cos5x t cm=
Câu 31: Hai dao động điều hào cùng phương cùng tần
số. phương trình thứ nhất:

2 2
4cos(10 ) ;
3
x t cm x
π
π
= +

. Phương trình dao động tổng hợp là
2 3cos(10 )
2
x t cm
π
π
= +
. Dao động x2 có phương trình
A.
2
2 3cos10x t cm
π
=

B.
2

;
5 os5x c t cm
=
. Phương trình dao
động thành phần thứ 3 là
A.
3
8 2 os(5 / 4) .x c t cm
π
= +
B.
3
8 2 os(5 / 2) .x c t cm
π
= +
C.
3
8 os(5 / 3) .x c t cm
π
= +
D.
3
8 os(5 / 6) .x c t cm
π
= +
Câu 33: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1 1
os(20 / 6) .x A c t cm
π

2 os(20 / 3)x c t
π
= −
cm. Năng lượng của vật là
A. 0,016 J. B. 0,038 J. C. 0,032 J. D. 0,040 J.
Câu 36 : Một vật có khối lượng 200g thực hiện hai dao
động điều hòa cùng phương:

2
5cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
;
2
2cos(2 )( )
6
x t cm
π
π
= −
Lấy
2
10
π
=
. Gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25s là
A. -1,4m/s2. B. 1,4m/s2. C. 2,8 m/s2. D. -2,8 m/s2.


1
6cos(2 )
2
x t
π
π
= +
cm. Vận tốc cực đại của vật là
A.
20
π
cm/s. B. 60cm/s. C.
4
π
cm/s. D. 120cm/s.
5. Tìm biên độ của dao động thành phần khi biết vận
tốc, gia tốc, năng lượng.
Câu 39 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hoà có phương trình: x
1
=A
1
cos(20t+
π
/6)cm,
x
2
= 3cos(20t + 5
π

A. 6cm. B. 8cm. C. 12cm. D.20cm.
Câu 41: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều
hòa cùng phương với
1
4cos(5 2 )
2
x t
π
= −
(cm) và
2 2
cos(5 2 )x A t
π
= +
(cm). Biết độ lớn vận tốc của vật
tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40cm/s. Biên
độ dao động thành phần A
2
là
A. 4cm. B. 4
2
cm. C.
3
cm. D. 4
3
cm.
Câu 42: Một vật khối lượng m=200g thực hiện đồng thời
2 dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao
động
1

x A t
π
= −

(cm). Biết vận tốc cực đại của vật là 140cm/s. Biên độ A
2
của dạo động thứ hai là
A. 8cm. B. 10cm. C. 12cm. D.2cm.
Câu 44: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông
điều hoà cung phương: x
1
= A
1
cos(ωt+π/3)(cm) và x
2
=
A
2
cos(ωt- π/2)(cm).Phương trình dao động tổng hợp là:
x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A
2
có giá trị lớn
nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A
2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm
C. π/6; 10cm D.B hoặc C
Câu 45: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số, dao động 1 có biên độ A
1