Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
0
234
=++++
dcxbxaxx
Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại
phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên
trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng
phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
0
234
=++++ dcxbxaxx
trong đó
dcba ,,,
là các số thực khác không.
1. Với các phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể, nếu ta
có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lí và sáng tạo, ta có thể giải đuợc
chúng không khó khăn gì.
Ví dụ 1 . Giải phương trình

( )
0246
2
2
2
=++−− axxax
(1)
Phương trình (1) được viết thành


22
−±−=
+−±−=
xx
xxx
Giải các phương trình bậc hai đối với x

022
2
=−−+ axx
(4)
Và
02
2
=−− axx
(5)
Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a.
Điều kiện để (4) có nghiệm là
03
≥+
a
và các nghiệm của (4) là

ax +±−= 31
2,1
Điều kiện để (5) có nghiệm là
01
≥+
a
và các nghiệm của (5) là

=−−−
=−−−−−
=−−−−−
xxx
xxxxx
xxxxx
Vậy (1) có 4 nghiệm là

.
2
51
;
2
51
;2;2
4321
+
=
−
==−= xxxx
Ví dụ 3. Giải phương trình

0521104832
234
=++−− xxxx
(1)
Ta viết (1) dưới dạng:

( ) ( )
05347924162

xxy 34
2
−=
):

0134
2
=−− xx
Và
0568
2
=−− xx
Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).
Ví dụ 4. Giải phương trình

0231632
234
=++−+ xxxx
(1)
Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi
2
e d
a b
 
=
 ÷
 
)
Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho

2
1
2y x
x
− = +
Phương trình (1) đuợc biến đổi thành:

( )
2
2 2 3 16 0y y− + − =
hay
2
2 3 20 0y y+ − =
Phương trình này có nghiệm là
1 2
5
4,
2
y y= − =
Lê Duơng Trường Giang – T*G*M Trang
Tháng 12/2009
2
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11
Vì vậy
1
4x
x
+ = −
và
1 5

2
x rx s+ +
,
trong đó
, , ,p q r s
là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14x x x x x px q x rx s+ − + − = + + + +
(2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức
ta có hệ phương trình sau

4
10
37
14
p r
s q pr
ps qr
qs
+ = −


+ + = −


+ =


Thay các giá trị
, , ,p q r s
vừa tìm được vào (2) thì có:

( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14 5 2 7x x x x x x x x+ − + − = − + + −
Phương trình (1) ứng với
( ) ( )
2 2
5 2 7 0x x x x− + + − =
Giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1):

5 17 1 29
;
2 2
x x
± − ±
= =
Lưu ý: Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vì nhiều
khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên
không có nghiệm nguyên.
3. Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn
Lê Duơng Trường Giang – T*G*M Trang
Tháng 12/2009
3
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11

( )
4 3 2

       
= + + − + − + − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
(2)
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng:
2
Ax Bx C+ +

2
Ax Bx C+ +
có thể viết dưới dạng:
( )
2
2
Ax Bx C Px q+ + = +
(3)
Khi và chỉ khi
2
4 0B AC− =
hay
2
4 0AC B− =
Ta có:
2
2 2
1 1 1
4 0

= −
. Công thức được viết như sau:
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q q p q q p
x = − + + + − − +
trong đó mỗi căn thức bậc ba ở vế sau có
ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng
3
p
−
để cộng với nhau)
Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng:
( ) ( )
2
2
2
1 1
2 2
f x x ax t px q
 
= + + − +
 ÷
 
(4)
Vậy:
( )
2 2
1 1 1 1

1 1 1
4 2
2 2 2
x a p a p q t
   
= − + ± + − −
 ÷  ÷
   
Lê Duơng Trường Giang – T*G*M Trang
Tháng 12/2009
4
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11
Và
2
3,4
1 1 1
4 2
2 2 2
x a p a p q t
   
= − − ± − + −
 ÷  ÷
   
Ví dụ 6. Giải phương trình:
4 3 2
7 6 0x x x x− − + + =
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc
h
:


2 2
1 5 7 1
0
2 2 2 2
1 5 7 1 1 5 7 1
0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x x
   
− + − − =
 ÷  ÷
   
  
⇔ − + + − − + − + =
 ÷ ÷
  
Thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là:
{ }
1; 2;3;1− −
4. Ta còn có thể giải phương trình bậc bốn bằng cách sử dụng đồ thị.
Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn

4 3 2
0x ax bx cx d+ + + + =
(1)
bằng đồ thị, ta hãy đặt
2
x y mx= −
Phương trình (1) trở thành:

Thay
2
x
bởi
2
a
y x−
và biến đổi thì (2) trở thành

3 2
2 2
1 0
2 8 2 4
a a ab a
x y c x b y d
   
+ + + − + + − − + =
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình

4
3 2
2 2
,(3)
2
1 0,(4)
2 8 2 4
a
y x x

2
1
2
a
y x x
m m
= +
Và
2
2 2
3 3
4
2 8 2 3
a
m b y
m y
x d
ab a ab a
c c
 
−
 ÷
 
= + +
− − − −
Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc
bốn sau:
4 3 2
4 3 2
4 3 2