Phương pháp giải phương trình bậc 4:
4 3 2
0
ax bx cx dx e
    

Trình bày: Thầy Võ Thanh Bình
Số đt: 0917.121.304
PP đặt biệt theo dạng
Dạng 1: nhẩm được nghiệm đẹp ( dùng sơ đồ hoocne)
4 3 2 3 2
( )( ) 0
ax bx cx dx e x ax x x
   
         
3 2
0
x
ax x x

  




   


Vd:
4 3 2
4 16 12 0

t x t PT at bt c
     

Vd:
4 2
2 4 0
x x
  
. Đặt
2 2
, 0 : 2 4 0
t x t PT t t
     
1 5 (L)
1 5
t
t

 


 


1 5
x   
Dạng 3: trùng phương tịnh tiến:
4 4
( ) ( )
x a x b c

t t t t
   
       
   
   
.
Dạng 4: đối xứng:
4 3 2
0
ax bx cx bx a
    
2 2
2 2
1 1
0 0
b a
ax bx c a x b x c
x x x x
   
           
   
   

Đặt
2 2
2
1 1
2
t x t x
x x

2
6 2 13 12 0
t t
    
0
13
6
t
t







2
2
1 0
3 2
;
2 3
6 13 6 0
x
x
x x

 
 
  

2
k k
t x t x
x x
     
. Lúc này thế vào pt ta được pt bậc 2.
Vd:
4 3 2 2
2
25 5
2 21 74 105 50 0 2 21 74 0
x x x x x x
x x
   
          
   
   

Đặt
2 2
2
5 25
2
t x t x
x x
     
.
PT



 

  
 


Dạng 6: cân bằng hệ số cộng: ( )( )( )( ) ;
x a x b x c x d k a b c d
       

Đặt
( )( )
t x a x b
  

Vd:
( 4)( 5)( 7)( 8) 4
x x x x
    
( 4)( 8)( 5)( 7) 4
x x x x
     
2 2
( 12 32)( 12 35) 4
x x x x
     

Đặt
 
2

x a b x ab x c d x cd kx
   
      
   
( ) ( )
ab cd
x a b x c d k
x x
   
       
   
   

Đặt
ab
t x
x
  lúc đó thu về pt bậc 2.
Vd:
2
( 1)( 2)( 4)( 8) 4
x x x x x
    
2
( 1)( 8)( 2)( 4) 4
x x x x x
     
8 8
9 6 4
x x

  



PP hằng số biến thiên
Vd:
4 2
2 3 3 3 0
x x x
    
( chọn
3
làm biến, x làm tham)
2
2
2 4
2
2
(2 1) (2 1)
3
3 0
1 1 4 3 1 4 3 3
2
3 (2 1) 3 ( ) 0 ;
2 2
(2 1) (2 1)
1 3 0
3
2
x x



4 3 2 2 2
0 0
x ax bx cx d x Ax B x Cx D
          

4 3 2 4 3 2
( ) ( ) ( )
x ax bx cx d x A C x AC B D x AD BC x BD
             

A C a
AC B D b
AD BC c
BD d
 


  



 




từ đây ta giải hệ tìm A,B, C, D
Vd:

  
    
  
 
 
 
 

PP hệ số bất định giải được tất cả các bài bậc 4 nhưng để thực hiện ta có công cụ chính: tách số;
hàm chẵn; máy tính…. ở đây ta trình bày cách giải bằng máy tính.
4 3 2
0
ax bx cx dx e
    
. Ta đi tìm số
max( )
n
a
 . Nhập vào máy PT rồi ấn SHIFT SOLVE. Máy hiện X? . lúc đó ta
nhập
max( )
n
a
 thu được
1
x
. Tương tự nhập
max( )
n
a

3,701562119
x
x



 

1 2
1 2
1
10
x x
x x
  



 

lấy
4 3 2
2 8 9 10
x x x x
   
chia cho
2
10
x x
 

2 3 4 3 0
x x x x
    
;
4 3 2
5 10 4 32 0
x x x x
    
;
4 3 2
2 13 16 2 1 0
x x x x
    
Thiết lập cách giải phương trình:
4 3 2
8 32 28 7 1 0
x x x x
    Cách 1: phân tích thành nhân tử.
4 3 3 2 2 2
8 12 20 4 30 2 10 3 1 0
x x x x x x x x
         



2
2
3 17
2 3 1 0
4
4 10 1 0
5 21
4
x
x x
x x
x





  

 


  






Cách 2: hệ số bất định.

  




 







giải hệ 4 ẩn ta được
3
2
1
2
5
2
1
4
A
B
C
D

 



5 21
0
2 4
4
x x x
x x
x



   



 




  






Cách 3: hổ trợ máy tính. ( máy tính chỉ là công cụ vì cách này là cách 2: hệ số bất định)
tìm
max( )
4

x x


Lấy
4 3 2
8 32 28 7 1
x x x x
   
chia cho
2
5 1
2 4
x x
 
ta thu được
2
8 12 4
x x
 
. Vậy
 
4 3 2 2 2
5 1
8 32 28 7 1 8 12 4 0
2 4
x x x x x x x x
 
         
 
 




Thực chất dựa vào vi-et đảo ta chỉ cần tìm được
5
2
C
 
là ta có thể nhanh trống tìm được A, B, D mà không cần phải
chia đa thức.

Quá trình trên máy :
- nhập PT rồi ấn máy báo: . Nhập
4
ta
được. . Ghi ra giấy:
1
2,395643924
x

.
- Tương tự ấn máy báo: . Nhập
4

ta được.
Ghi ra giấy:
2
0,104356076
x
