A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Toán học. Có
nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài
toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán giải phương trình có thể
áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp
nhiều phương pháp một cách hợp lí.
Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và
biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quá trình khảo sát hàm
số… Và được sử dụng nhiều trong quá trình ôn tập, đặc biệt là trong quá trình học
THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm được những kiến thức cơ bản về giải
phương trình.
Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số 10 nói
riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên các em học sinh
mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương,
phương trình quy hồi qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách
dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em
tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được.
Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân
dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng
phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt.
Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy lôgíc, khả
năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân
tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bất đẳng thức.
Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởng tượng, phát
huy được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong quá trình tìm tòi, tôi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết về vấn
đề phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và
chưa được tìm hiểu cụ thể. Sau đây tôi xin giới thiệu vài cách giải các phương trình
bậc bốn dạng
4 3 2

- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút ra
kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đề kiểm tra,
các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài liệu nâng cao và nó
cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tạp chí
toán học hiện nay.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Kỹ năng giải phương trình bậc bốn của học sinh còn nhiều hạn chế, chưa được
rèn luyện thường xuyên. Học sinh mới tiếp cận các phương trình bậc bốn dạng đơn
giản, như phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến đổi
học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc
bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải
được.
Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốn còn tản mạn, tuỳ thuộc
nhiều vào người viết cũng như cách hướng dẫn học sinh. Do đó chưa có những
phương pháp cụ thể, rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh.
Từ thực trạng như trên việc chọn chuyên đề “ Phân loại và phương pháp giải
phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn
Toán” là cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo
viên cũng như của học sinh.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Vấn đề nghiên cứu được trình bày thông qua nội dung 3 bài:
Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ1 : Giải phương trình

012164
234
=−+−− xxxx
(1)
Giải:
Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do đó phương trình (1) có
nghiệm
1=x
. Khi đó phương trình (1) viết được dưới dạng:
( )
( )
3 2
1 3 4 12 0 (2)x x x x
− − − + =

Ta thấy
2
=
x
là nghiệm của phương trình
01243
23
=+−−
xxx
.
Do đó :
( ) ( )
( )


Ví dụ2 : Giải phương trình
4 2
3 4 3 0 (1)x x x− − − =

Ta thấy phương trình (1) không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta
vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
(1) 2 1 4 4 0
1 2 0
3 1 0
3 0 (2)
1 0 (3)
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
⇔ − + − + + =
⇔ − − + =
⇔ − − + + =


S
 
− +
 
=
 
 
 
Ví dụ3 : Giải phương trình
4 3 2
2 3 16 3 2 0 (1)x x x x+ − + + =

Ta thấy hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, đây
là phương trình đối xứng bậc bốn.
Chia cả hai vế cho
2
x
( khác không ) ta có:
2
2
2
2
3 2
(1) 2 3 16 0
1 1
2( ) 3( ) 16 0
x x
x x
x x
x x

2
t t
t
x
x
x x
x
t
x x
x x
x
x
+ − =


= −
+ = −

= − ±


+ + =


⇔ ⇒ ⇔ ⇔




=

2
- 8x - 6 = 0.
Bài 3: x
3
– 2x
2
+ 6x – 12 = 6.
o0o 
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Dạng 1: Phương trình trùng phương
Giải phương trình:
4 2
ax 0bx c+ + =
(1)
Phương pháp:
• Bước 1: Đặt t = x
2
với t
≥
0.
Khi đó
2
(1) 0 (2)at bt c⇒ + + =
Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t.
• Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)
Nếu (2) có nghiệm t
0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
5x = ±
2. Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng

4 3 2 2
ax 0 ; ( 0; ( ) ; 0)
e d
bx cx dx e a e
a b
+ + + + = ≠ = ≠
Phương pháp:
• Bước 1:
Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế
của phương trình cho x
2

≠
0 ta được:
(1)
⇔

2
2
1 1
0
e d
a x b x c
a x b x
   
+ + + + =

*Chú ý:
- Trong trường hợp đặc biệt
1
e
a
=
tức là đối với những phương trình có dạng:
4 3 2
ax bx cx bx a 0+ + + + =
ta cũng có cách giải tương tự.
- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình hồi quy, tuy
nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi
quy. Từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình
4 3 2
9 28 36 16 0 (1)x x x x− + − + =
Giải: Nhận thấy
2 2
16 36
( ) 2
1 9
−
= =
−
do đó phương trình này là phương trình quy
hồi
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của
phương trình cho x ta có:
4 3 2 2
2

Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = 2; x = 4 
3. Dạng 3: Phương trình có dạng

( ) ( ) ( ) ( )
x a x b x c x d m
D : a b c dK
+ + + + =
+ = +
Phương pháp:
• Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
mcdxdcxabxbax
=++++++
])(][)([
22

• Bước 2:
( )
( )
2
2
t x a b x ab
x c d x cd t ab cd
= + + +
⇒ + + + = − +

Khi đó ta có:
( )

2 6 5 2 6 3 0
3 6
x
t x x x x
x

= − +
= ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔

= − −


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
3 6; 3 6x x= − + = − −
4. Dạng 4: Phương trình có dạng
( ) ( )
4 4
x a x b c+ + + =
Phương pháp: 
• Bước 1:
2
2
2
a b
x a t
a b
t x






−
+
4
2
2
4
2
2.
2
122
Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
• Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phương trình
4 4
( 4) ( 6) 0x x+ + + =
Giải:
Đặt
5 5t x x t= + ⇒ = −
Phương trình trở thành:
4 4 4 2
( 1) ( 1) 0 6 1 0t t t t− + + = ⇔ + + =
Đặt
2
( 0)t X X= ≥
ta được phương trình:

Bài 2: a)
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 1 x 1 x 2 6.+ + + + =
b)
( ) ( ) ( ) ( )
y – 6 y 5 y – 2 y 1 2.+ + = −
c)
( ) ( ) ( ) ( )
12 y y – 9 y – 6 y 9 7.+ + =
Bài 3: a)
( ) ( )
4 4
x 2 x 6 3.+ + + =
b)
( ) ( )
4 4
x – 2 x – 3 10.+ =

10

c)
( ) ( )
4 4
2 – x 3 – 6 100.+ =
Bài 4: Cho phương trình
4 3
x – 2x 6x – 5 m.+ =
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1.

Khi và chỉ khi :
2 2
2 2 2
4 0 4 0
1 1 1
4(h+ a -b)( ) ( ) 0 (2)
4 4 2
B AC AC B
h d ah c
− = ⇔ − =
⇒ − − − =
Đây là phương trình bậc ba đối với h nên có ít nhất một nghiệm thực. Khi đó:
2 2 2
2 2
2
2
1 1
( ) ( ax ) ( )
2 2
1 1 1 1
( ax )( ax ) 0
2 2 2 2
1 1
ax 0 (3)
2 2
1 1
ax 0 (4)
2 2
f x x h Px Q
x h Px Q x h Px Q

⇔ + − − =
Phương trình có 1 nghiệm là h = 5
Với h = 5, a = -1, b = -7, c = 1, d = 6 ta tính được:
7 1
;
2 2
P Q
−
= =
2 2 2
2 2
1 5 7 1
( ) ( ) 0
2 2 2 2
1 5 7 1 1 5 7 1
( )( ) 0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x x
− + − − =
⇔ − + + − − + − + =
2
2
2
2
1 5 7 1
0
2 6 4 0
2 2 2 2
1 5 7 1


Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -1, x= -2, x=1, x= 3
Như vậy với việc tìm ra số h từ công thức (2) ta có thể giải các phương trình
bậc bốn không có dạng đặc biệt như đã phân loại ở bài 1 và bài 2.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:

12

4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
1) 4 3 2 1 0
2) 2 5 4 12 0
3) 6 5 38 5 6 0
4) 5 12 5 1 0
5) 2 2 6 15 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + − =
+ + + − =
+ − + + =
+ − + + =
+ − + − =
o0o

Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách tham khảo và các
bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán.
Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi trên nhiều kênh
thông tin, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân.
Thường xuyên quan tâm đến việc giải các bài tập theo các dạng ở trên.

14

Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những cách
giải mới, các lời giải hay. Biết khắc sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp
nhằm đưa về dạng tổng quát hoá.
Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tập các lớp nâng
cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chuyên môn,
nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá
trị, đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo.
Đề tài này đã được các đồng nghiệp góp ý bổ sung, nhưng chắc chắn không
tránh khỏi thiếu sót. Trong pham vi khuôn khổ, đề tài còn ít ví dụ minh hoạ cũng
như chưa đi hết các cách giải. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến cũng
như các nhận xét của tất cả các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa
nhưng chỗ sai, những chỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề
nghiên cứu thành một chuyên đề thiết thực và có hiệu quả cao.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006
[2]. Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006