PH NG TRÌNH B C B NƯƠ Ậ Ố
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Nh ng d ng đ c bi tữ ạ ặ ệ
1/ Ph ng trình trùng ph ng axươ ươ
4
+ bx
2
+ c = 0
Đ t t = xặ
2
(t ≥ 0), ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ
2/ (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Đ t t = x + ½(a + b), pt có d ng : (t + m)ặ ạ
4

2
/x
2
) + b(x ± k/x) + c = 0
Đ t t = x ± k/x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t)ặ ế ố ể ủ
5/ a[f
2
(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đ t t = f(x) ± 1/f(x) (t ng quát h n so v i d ng ph ng trình 4)ặ ổ ơ ớ ạ ươ
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- V i g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0ớ
- V i g(x) ≠ 0, chia 2 v ph ng trình cho gớ ế ươ
2
(x)
- Đ t t = f(x)/g(x), pt tr v d ng b c hai theo tặ ở ề ạ ậ
7/ x = f(f(x))
pt ↔ h đ i x ng lo i 2 : t = f(x) và x = f(t)ệ ố ứ ạ
* Chú ý : N u trong ph ng trình có ch a tham s , trong vài tr ng h p ta có th đ iế ươ ứ ố ườ ợ ể ổ
vai trò c a n và tham s (xét ph ng trình theo tham s a, tính a theo x r i suy ra x theoủ ẩ ố ươ ố ồ
a)
II. Ph ng trình b c b n t ng quát Xươ ậ ố ổ
4
+ AX
3

- 4(2m + a)(c + m
2
) : pt b c ba theo m → luôn có nghi m th cậ ệ ự
- Khi đó pt có d ng : (xạ
2
+ m
2
)
2
= f
2
(x)

PH NG TRÌNH B C BAƯƠ Ậ
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Ph ng trình b c l luôn luôn có nghi m th cươ ậ ẻ ệ ự
- Đ nh lý Viete : N u ph ng trình axị ế ươ
3
+ bx

1
x
2
x
3
= -d/a
I. Nh ng d ng thông th ngữ ạ ườ
1. N u x = xế
0
là m t nghi m, ta có th phân tích thành d ng :ộ ệ ể ạ
(x - x
0
)(ax
2
+ bx + c) = 0
Đ c bi t :ặ ệ
- N u a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghi mế ệ
- N u (d/a) = (c/b)ế
3
→ x = -c/b là nghi mệ
2. Ph ng trình d ng Aươ ạ
3
+ B
3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3

là nghi m duy nh tệ ấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ
3
- 3x = ½ (a
3
+ 1/a
3
) b ng cách :ằ
q = ½ (a
3
+ 1/a
3
) ↔ a
6
- 2qa
3
+ 1 = 0 (→ tìm đ c a)ượ
- CM x
0
= ½ (a + 1/a) là nghi m (duy nh t) c a ph ng trìnhệ ấ ủ ươ
2. Ph ng trình 4xươ
3
+ 3x = q
- Gi s ph ng trình có nghi m xả ử ươ ệ
0
, dùng đ o hàm ta CM đ c xạ ượ
0
là nghi m duyệ
nh tấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ

3
= q cho ta m t ph ng trình trùng ph ngộ ươ ươ
theo u (ho c v), t đó suy ra u,v và tìm đ c ặ ừ ượ m tộ nghi m x = u + vệ
Chú ý r ng trong lúc gi i ph ng trình trùng ph ng có th ta g p nghi m ph c (uằ ả ươ ươ ể ặ ệ ứ
ho c v) nên t đó ph ng trình b c ba còn cho thêm 2 nghi m ph c n a (đó m i làặ ừ ươ ậ ệ ứ ữ ớ
d ng đ y đ c a công th c trên)ạ ầ ủ ủ ứ
Ngoài ra, các ph ng trình 4xươ
3
± 3x = q nh trên cũng có th gi i đ c b ng PPư ể ả ượ ằ
này
4. Ph ng trình b c ba t ng quát Xươ ậ ổ
3
+ AX
2
+ BX + C = 0
Đ t X = x - A/3, pt tr thành xặ ở
3
+ px + q = 0 (#)
Cách 1 : Gi i tr c ti p theo công th c Cardan - Tartagliaả ự ế ứ
Cách 2 :
- Đ t x = kt (k > 0) , (#) tr thành : kặ ở
3
t
3
+ pkx + q = 0
(ch n k sao cho kọ
3
/4 = pk/3 n u p > 0 ho c kế ặ
3
/4 = -pk/3 n u p < 0)ế