I.đặt vấn đề
Trong chương trình toán THCS , nhất là chương trình đại số 8 và 9 khi
giải một số phương trình đặc biệt là phương trình bậc bốn học sinh thường gặp
nhiều khó khăn trong viêc tìm kiếm lời giải vì đây là loại phương trình dành cho
học sinh khá giỏi , có nhiều cách biến đổi phức tạp và học sinh ngại tiếp cận.
Một số cách thường dùng trong việc giải phương trình bậc bốn là:
-Phân tích thành nhân tử ,cách khéo léo phân tích đa thức đó thành các
hạng tử có nhân tử chung.
- Quan sát dạng đặc biệt của phương trình để đặt ẩn phụ thích hợp sau
đó đưa phương trình bậc bốn về phương trình bậc hai.

Trong phạm vi đề tài này tôi xin đươc chia sẻ kinh nghiệm nhỏ cùng bạn bè
đồng nghiệp qua một số ví dụ về loại phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt.Đây
là những ví dụ thực tế mà trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy có hiệu
quả tốt trong việc rèn luyện khả năng nhận dạng và khả năng tư duy cho học
sinh. Vì phạm vi đề tài chỉ giới hạn bởi mội nội dung nhất định chắc chắn không
tránh khỏi những hạn chế ,rất mong đựơc sự góp ý của các cấp chuyên môn để
việc dạy và học toán ngày càng được nâng cao về chất lượng .
II. nội dung đề tài
Nội dung đề tài được trình bày thông qua 8 ví dụ với khoảng 7 cách giải .Mỗi
cách giải là một dạng toán được đề xuất .
Mỗi ví dụ có cách trình bày như sau:
Giới thiệu dạng toán .
Phân tích dạng toán tìm cách giải .
Giải các bài toán cụ thể
Phạm vi kiến thức : Đại số 9
Phạm vi ứng dụng : Học sinh khá giỏi
Dạng 1. Giải phương trình trùng phương.
Phương trình ax
4
+bx

+c =0
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
Nghiệm kép âm vô nghiệm
1nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau
2nghiệm dương 4 nghiệm
(2 cặp nghiệm đối nhau )
ví dụ 1: Giải phương trình :
3x
4
- 8x
2
+4 =0 (1)
lời giải:
Đặt: t = x
2
, với t
≥
0 . Ta có : (1)
⇔
3t
2
- 8t + 4 = 0 (2).
Giải phương trình (2)
,
∆
= 4
2
- 3.4 = 16 – 12 = 4
⇒

2
,x
4
=-
3
2
.
Dạng 2:Phương trình đưa được về dạng phương trình trùng phương
Phương trình : (x+a)
4
+ (x +b)
2
= c (*)
*Phương pháp giải :
Đặt : y = x +
2
ba +

⇒
x= y -
2
ba +
.
Suy ra: x+ a = y -
2
ba +
+ a = y +
2
ba −
Suy ra: x+ a = y -

2t
4
+ 3(a - b)
2
t
2
+
0)(
8
1
4
=−− cba
(1)
Giải (1) như dạng 1 .
⇒
t
⇒
y
⇒
x
ví dụ 2: Giải phương trình : (x+2)
4
+ (x +4)
2
= 82 (1)
lời giải:

Đặt : y = x +3
⇒
x+2= y – 1 , x + 4 = y+1 .

=0 .
*Phương pháp giải :
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương
trình cho x
2
.Ta có :
a(x
2
+
2
1
x
) + b(x +
x
1
) + c = 0 (*)
Đặt :t = x +
x
1
, Phươg trình (*)
⇔
x
2
- tx + 1 = 0 (1)
suy ra : t
2
= (x +
x
1
)

a(t
2
- 2) + bt + c = 0.
⇔
at
2
+ bt + c- 2a = 0 (2)
*giải (2). Giải sử (2) có nghiệm t = t
0
Thay t = t
0
Vào (1) : x
2
- t
0
x + 1 = 0 (1)
* Giải (1) :Điều kiện (1) có nghĩa là :

∆
≥
0
⇔
t
0
2
- 4
≥
0
⇔
t

2
+
2
1
x
) + b(x +
x
1
) + c = 0
vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm
Có 2 nghiệm
∈
(-2,2) vô nghiệm vô nghiệm
Có 1 nghiệm kép
∈
(-2,2)

vô nghiệm vô nghiệm
1 nghiệm
∉
(-2,2) 2 nghiệm 2 nghiệm
Có 2 nghiệm
∉
(-2, 2)
Hai phương trình
(2.2 = 4 nghiệm )
4 nghiệm
ví dụ 3: Giải phương trình : 4x
4
+ 12x

1
:
⇔
x
2
- tx + 1 = 0 (3)
Suy ra : x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2
Thay x +
x
1
= t và x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2. vào (2), ta có :
4(t
2
- 2) + 12t - 47 = 0.

5
x + 1 = 0
⇔
2x
2
- 5x + 2 = 0 (5).
Phương trình (5) có 2 nghiệm là : x
1
=2, x
2
1
2
= Với t = -
2
11
: (3)
⇒
x
2
+
2
11
x + 1 = 0
⇔
2x
2
+ 11x + 2 = 0 (6)


Dạng 4:Giải phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng lệch.
Phương trình ax
4
+ bx
3
+ cx
2
- bx + a =0
(Hệ số của x
4
bằng hệ số độc lập , Hệ số của x
3
bằng hệ số đối của x)
⇔
a(x
4
+ 1) + b(x
3
- x) + cx
2
= 0 .
*Phương pháp giải :
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương
trình cho x
2
.Ta có :
a(x
2
+

x
2
+
2
1
x
= t
2
+ 2
Thay x +
x
1
= t và x
2
+
2
1
x
= t
2
- 2. vào (**) ta có :
a(t
2
+ 2) + bt + c = 0.
⇔
at
2
+ bt + c+ 2a = 0 (2)
**giải (2). Giải sử (2) có nghiệm t = t
0

.Ta có :
(x
2
+
2
1
x
) - 3(x -
x
1
) - 6 = 0 (2)
Đặt :t = x -
x
1
,
⇔
x
2
- tx - 1 = 0 (3)
suy ra : t
2
= (x -
x
1
)
2
= x
2
+
2

2
- 3t - 4= 0 (4)
Ta thấy phương có hệ số là: 1 - (-3) + (-4) =0 .
Suy ra : t
1
=-1, t
2
= 4.
Với t = -1
⇒
phương trình (3)
⇔
x
2
+ x - 1 = 0 (5).
phương trình (5) có 2 nghiệm là : x
1
=
2
51−−
, x
2
=
2
51+−
.
Với t = 4
⇒
phương trình (3)
⇔
ví dụ 5: Cho phương trình : 3x
4
- 4x
3
+ mx
2
+ 4x + 3 =0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm .
b) Giải phương trình với m = -5.
lời giải:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương
trình cho x
2
.Ta có :
3(x
2
+
2
1
x
) - 4(x -
x
1
) + m = 0
Đặt: t = x -
x
1
, thì phương trình trên trở thành 3t

- x - 1 = 0 và 3x
2
- x - 3 = 0
Suy ra Phương trinh (1) có 4 nghiệm là :
x
1
=
2
51+
, x
2
=
2
51−
, x
3
=
2
371+
, x
4
=
2
371−
.
Dạng 5:Giải phương trình bậc 4 có hệ số đối xứng tỉ lệ .
Phương trình ax
4
+ bx
3

k
x
+ b






+
x
k
x
+ c = 0.
Đặt : t= x+
x
k
( có thể dương hoặc âm ), suy ra t
2
= x
2
+
2
2
x
k
+2k, phương trình
trên trở thành at
2
+ bt + c – 2ak = 0 (2) cách làm tương tự các ví dụ trên ta có



+
2
2
25
x
x
- 21






−
x
x
5
+34 = 0.
Đặt : t = x -
x
5
suy ra t
2
= x
2
+
2
25

Phương trình có dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m x
2
trong đó ad=bc .
*Phương pháp giải :
Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m x
2
(1)
⇔
[x
2
+ (a+d)x +ad][ x
2
+ (b+c)x+bc] = m x
2
.Vì x = 0 không phải là nghiệm
Của phương trình (1) nên chia cả hai vế với x
2
.Ta có :
(x + a + d +
x
ad
)(x+b+c+
x
bc
) = m
Đặt : y = x +
x
ad
( hoặc y = (x+a)(x+d) )
Phương trình trên trở thành (y +a+d)(y+b+c) =m. (2)


++
x
x
60
17






++
x
x
60
16
=3 (vì x
)0≠
(**)
Đặt :y = x +
x
60
thì (**) trở thành 4(y+17)(y+16) =3
⇔
4y
2
+4y- 3 = 0

⇔

= -
2
15
: x
4,3
=
4
26535 ±−
Dạng 7:
Phương trình có dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) trong đó:
a+d= b+d.

*Phương pháp giải :
Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m
⇔
[x
2
+ (a+d)x +ad][ x
2
+ (b+c)x+bc] = m
Đặt : y = (x+a)(x+d) = x
2
+ (a+d)x +ad phương trình (1) trở thành :
y ( y – ad +bc ) = m.
Đây là một phương trình bậc 2 ta dễ dàng giải được , cách làm tương tự các ví
dụ trên ta có :Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì phương trình (1) vô
nghiệm .Nếu (2) có nghiệm y thì thay vào cách đặt ẩn phụ ta tìm được nghiệm x
của phương trình (1).
ví dụ 8: Giải Phương trình : (x+5)(x+6)(x+8)(x+9) = 40 (**)
lời giải:

2
= -10
Dạng 8: Giải phương trình bậc bốn dạng :
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
*Phương pháp giải 1:
Có thể giải phương trình bậc bốn nói trên bằng cách phân tích vế trái của
phương trình thành các nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
ví dụ 9: Giải Phương trình x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = 0.(1)
Ta phân tích vế trái của phương trình ra hai nhân tủ bậc hai x
2
+ px + q = 0
Và x
2
+ rx + s = 0 , trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định .
Ta có : x
4
- 4x
3

q 1 2 7 14 -1 -2 - 7 -14
s -14 -7 -2 -1 14 7 2 1
Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q=2, s = -7 thì phương trình thứ 2
và thứ 3 của hệ cho ta hệ phương trình mới



=+−
−=
3727
5
rp
pr
Khử p đi ta được 2
2
r
- 37r – 35 = 0
Phương trình này cho nghiệm nguyên của r là 1 nên suy ra đượcp = -5
Thay vào các giá trị p, q, r, s vừa tìm được vào (2 ) ta có:
x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = (x
2
- 5x + 2)(x
2
+ x - 7) = 0 :