A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Toán
học. Có nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặc
thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài
toán giải phương trình có thể áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải
khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp
lí.
Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài
toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quá
trình khảo sát hàm số… Và được sử dụng nhiều trong quá trình ôn tập,
đặc biệt là trong quá trình học THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm
được những kiến thức cơ bản về giải phương trình.
Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số
10 nói riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên
các em học sinh mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản như
phương trình trùng phương, phương trình quy hồi qua vài phép biến
đổi học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các
phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và
hầu như đều không giải được.
Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải
biết vân dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ
năng biến đổi từ dạng phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt.
Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy
lôgíc, khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích
đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bất
đẳng thức.
Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởng

kỹ năng cho học sinh.
- Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải phương trình
bậc bốn nhằm đưa ra phương pháp giải và dạng tổng quát cho các dạng
bài tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên tham
khảo và học tập.
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu cách giải
phương trình bậc bốn dạng tổng quát
4 3 2
0x ax bx cx d+ + + + =
(Trong đó a, b,
c, d là các số thực khác 0).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân
tôi đã tìm hiểu và tích luỹ được.
- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm
để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đề
kiểm tra, các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài
liệu nâng cao và nó cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề tài nghiên cứu
khoa học cũng như các tạp chí toán học hiện nay.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

=++++ edxcxbxax
(1). Ta có
thể đưa phương trình về dạng phương trình tích mà các nhân tử ở vế trái
của phương trình là các đa thức bậc nhất và bậc hai. Ta có thể dự đoán
nghiệm của phương trình (1) bằng cách như sau:
- Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1.
- Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.
- Nếu a, b,c ,d ,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ
tự là ước của e và a.
- Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng ta có thể vận
dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử.
Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng:
( )( )
00
22
=+−⇔=− BABABA
khi đó ta được tích của hai tam thức bậc hai.
Do đó việc giải phương trình bậc bốn quy về việc giải phương trình bậc
hai. Đây cũng chính là cách để giải mọi phương trình bậc bốn.
Ví dụ1 : Giải phương trình

012164
234
=−+−− xxxx
(1)
Giải:



2
1 0 1
2 0 2
3; 2
6 0
x x
x x
x x
x x

− = =



⇔ − = ⇔ =




= = −
− − =



Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}.
Ví dụ2 : Giải phương trình
4 2
3 4 3 0 (1)x x x− − − =



Giải phương trình (2) ta được
1
2
1 13
2
1 13
2
x
x

+
=



−
=


Giải phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là
1 13 1 13
;
2 2
S
 

Đặt
2 2 2 2
2
1 1 1
( ) 2t x t x x t
x x x
= + ⇒ = + ⇒ + = −10

Ta được phương trình:
2
2
2
2 3 20 0
1
4
4
2 3
4 1 0
5
1
1 5
2 5 2 0
; 2
2
2
2
t t



+ =





Vậy phương trình có nghiệm:
1
2 3; ; 2
2
x x x= − ± = =
Như vậy với các Ví dụ 1, 2, 3 ta giải được phương trình nhờ các phép
biến đổi sáng tạo phương trình để dẫn tới việc giải phương trình tích, và
phương trình quen thuộc.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: 2x
4
- 6x
3
- x
2
+ 12x - 10 = 0.
Bài 2: 2x
4
- 6x
2
- 8x - 6 = 0.

0

≥
0 thì (1) có nghiệm
0
x t
= ±
Ví dụ 1: Giải phương trình:
4 2
4 5 0 (1)x x− − =
Giải: Đặt x
2
= t với t
≥
0
Ta được:
2
4 5 0 (2)t t− − =
có 2 nghiệm:
1 2
1; 5t t= − =
Kết hợp với điều kiện t
≥
0 ta có: t
1
= -1 không thoả mãn
Với t
2
= 5 ta có:
2

a x b x c
a x b x
   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
(2)
• Bước 2:
Đặt
2 2
2
1 1
2
d e d
t x x t
b x a x b
 
= + ⇒ + = −
 ÷
 

Khi đó:
2
(2) 2 . 0
d
at bt c a
b
⇒ + + − =
(3)
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.

trình quy hồi
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai
vế của phương trình cho x ta có:
4 3 2 2
2
2
2
36 16
9 28 36 16 0 9 28 0
16 36
9 28 0
x x x x x x
x x
x x
x x
− + − + = ⇔ − + − + =
⇔ + − − + =
Đặt
2
4
9 20 0 4; 5t x t t t t
x
= + ⇒ − + = ⇔ = =
Với
2
4
4 4 4 4 0 2t x x x x
x
= ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ =
Với

= + + +
⇒ + + + = − +

Khi đó ta có:
( )
( )
2
t t ab cd m
t ab cd t m 0
− + =
⇔ − − − =
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
• Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình
( 1)( 2)( 4)( 5) 10x x x x+ + + + =

16

Giải:

2 2
( 1)( 2)( 4)( 5) 10
( 6 5)( 6 8) 10
x x x x
x x x x
+ + + + =
⇔ + + + + =
Đặt:
2
6 5t x x= + +

2
a b
x a t
a b
t x
a b
x b t
−

+ = +

+

= + ⇒

−

+ = −


Khi đó phương trình đã cho có dạng:
c
ba
t
ba
t =





5 5t x x t= + ⇒ = −
Phương trình trở thành:
4 4 4 2
( 1) ( 1) 0 6 1 0t t t t− + + = ⇔ + + =
Đặt
2
( 0)t X X= ≥
ta được phương trình:
2
3 8 0
6 1 0
3 8 0
X
X X
X

= − − <
+ + = ⇔

= − + <


Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và
đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán, phương pháp được trình bày
ở trên chỉ minh hoạ được một vài dạng thường gặp.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: a)
4 2

4 4
2 – x 3 – 6 100.+ =
Bài 4: Cho phương trình
4 3
x – 2x 6x – 5 m.+ =
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1.
o0o
BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn

4 3 2
( ) 0 (1)f x x ax bx cx d= + + + + =

Trong đó a, b, c, d là các số thực.
Phương pháp:

19

Biến đổi đa thức về dạng
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ax ) ahx
2 2 4 4 2
1 1 1 1 1
( ax ) [(h+ a -b)x ( ) ( )]
2 2 4 2 4
f x x h bx cx d a x h hx

2 2
1 1 1 1
( ax )( ax ) 0
2 2 2 2
1 1
ax 0 (3)
2 2
1 1
ax 0 (4)
2 2
f x x h Px Q
x h Px Q x h Px Q
x h Px Q
x h Px Q
= + + − +
= + + + + + + − − =

+ + + + =

⇒


+ + − − =


Giải (3) và (4) để tìm tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình
4 3 2
7 6 0x x x x− − + + =


x x x x x x
− + − − =
⇔ − + + − − + − + =
2
2
2
2
1 5 7 1
0
2 6 4 0
2 2 2 2
1 5 7 1
2 8 6 0
0
2 2 2 2
1; 2
1; 3
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x

− + + − =


+ + =
⇔ ⇔


4) 5 12 5 1 0
5) 2 2 6 15 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + − =
+ + + − =
+ − + + =
+ − + + =
+ − + − =
o0o
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

22

I. Những kết quả đạt được
Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân
loại và phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10
nhằm nâng cao kết quả học tập môn Toán” đã tác động tích cực đến
học sinh. Phát huy được tính tích cực, sáng tạo tư duy logic của các em.
Học sinh không cảm thấy lung túng khi gặp các phương trình bậc bốn
không có dạng đặc biệt, từ đó các em các em thích thú hơn với bài toán
giải phương trình, đặc biệt là phương trình bậc bốn.
Đối với bản thân, nhờ quá trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồng
nghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng cao
chất lượng của chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu quả
và chất lượng.
* Thống kê kết quả lớp bồi dưỡng

các bài tập thường gặp nhằm đưa về dạng tổng quát hoá.

25
