SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH
Sáng kiến kinh nghiệm
M
M
Ộ
Ộ
T S
T S
Ố
Ố
PH
PH
ƯƠ
ƯƠ
NG PHÁP GI
NG PHÁP GI
Ả
Ả
I
I
PH
PH
ƯƠ
ƯƠ
NG TRÌNH B
NG TRÌNH B
Ậ
Ậ
C B
C B

sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bài tập về phương trình bậc
bốn, giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát
hoá qua các bài tập nhỏ, cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua
những năm giảng dạy, tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Các phương
2
pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10". Sáng kiến kinh
nghiệm này đã và đang phục vụ đắc lực cho tôi trong việc giảng dạy.
B. NỘI DUNG
I. Các phương pháp giải phương trình bậc bốn.
3
1. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích.
Cho phương trình: ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e =0 (a
≠
0) (1)
a) Phương pháp:
Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đưa vế trái về dạng
tích.
Cách 2:
- Bước 1: Đoán nghiệm x
0
của phương trình dựa vào các kết quả sau:
+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1.
+ Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1.
+ Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ


+ Giải phương trình (1.1) bằng cách:
- Đoán nghiệm x
1
của phương trình (1.1) dựa vào các kết quả sau:
+ Nếu a+b
1
+c
1
+d
1
=0 thì (1.1) có nghiệm x = 1.
+ Nếu a-b
1
+c
1
-d
1
=0 thì (1.1) có nghiệm x = -1.
+ Nếu a, b
1
, c
1
,d
1
nguyên và (1.1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ
tự là ước của d

x
0
).g(x).
Trong đó : f(x) = a
n
x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ + a
1
x + a
0

g(x)= b
n-1
x
n-1
+ b
n - 2
x
n - 2
+ + b
1
x + b
0
với :
n – 1

n
a
n - 1
a
i
a
0
x
0
b
n-1
x
0
b
i
x
0
b
0
x = x
0
b
n-1
=a
n
b
n-2
b
i-1
0

x
x
x

=

⇔ = −


= − ±

Vậy phương trình có 4 nghiệm : x=0, x= -4,
1 5x = − ±
.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
4
-4x
3
-x
2
+16x-12 =0 (1.3)
Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phương trình có 1 nghiệm x= 1.
Đưa phương trình về dạng: (x-1)(x
3
-3x
2
-4x+12)=0.
Phương trình x
3
-3x



= −

− − =


=

5
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= 3.
* Nhận xét: Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là phương pháp
thường được nghĩ đến đầu tiên khi giải phương trình. Nhưng nếu việc đưa
về dạng tích gặp khó khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phương
pháp khác.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
2.1. Dạng 1 (PT trùng phương): ax
4
+ bx
2
+c =0 (a
≠
0) (2)
a) Phương pháp:
- Đặt t = x
2
(t
≥
0), đưa (2) về phương trình bậc hai: at
2

2
hoặc t
1
=t
2
>0
- (2) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
(2') có nghiệm 0=t
1
<t
2
- (2) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2') có nghiệm 0< t
1
<t
2
b) Ví dụ:
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số
cộng: x
4
-2(m+1)x
2
+2m+1 =0 (2.3)
Giải: Đặt t = x
2
(t
≥
0) . Phương trình trở thành:


⇔ − = + > ⇔ − < ≠



= + >


Khi đó 4 nghiệm của (2.3) là : -
2
t
; -
1
t
;
1
t
;
2
t
6
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng
⇔
2 1 1
2 1 2 1
1 2 1
2
3 9
2
t t t

1
4
5 1
9 2( 1)
9 32 16 0
4
.9 2 1
9 2 1
9
m
t m
t t m
m m
t t m
m
t m
=

= +
+ = +



⇔ ⇔ − − = ⇔
 

= +
= −
= +


=


+ = +


(3)
a) Phương pháp:
- Viết lại phương trình dưới dạng:
[a
1
b
1
x
2
+(
1 2 2 1
a b a b+
)x+a
2
b
2
].[
1 1
c d
x
2
+(
1 2 2 1
c d c d+

=t-
a
2
b
2
+c
2
d
2
.
Ta đưa (3) về phương trình bậc hai ẩn t: t(t-a
2
b
2
+c
2
d
2
)=m
* Đặc biệt: Khi a
1
=b
1
=c
1
=d
1
=1, phương trình có dạng :
(x +a
2

+ 8t – 9 = 0
⇔
1
9
t
t
=


=

. Với t=1 thì x
2
+ 4x – 5 = 1
⇔
x
2
+ 4x - 6 = 0
⇔
x=
102 ±−
. Với t= 9 thì x
2
+ 4x – 5 = -9
⇔
x
2
+ 4x + 4 = 0
⇔
x

- Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (4), chia hai vế cho x
2

≠
0, ta
được:
2
2
1 1
( . ) ( . ) 0
e d
a x b x c
a x b x
+ + + + =

- Đặt t=
d
x
bx
+
, suy ra
2 2
2
1
. 2.
e d
x t
a x b
+ = −
, phương trình (4) trở thành:

≠
0, ta được phương trình:
2
2
25 5
2( ) 21( ) 74 0x x
x x
+ − + + =
8
Đặt t =
5
x
x
+
(
2 5t ≥
), suy ra
2 2
2
25
10x t
x
+ = −
. Phương trình (4.1) trở thành:
2
6
2 21 54 0
9
2
t

9
2
thì
5
x
x
+
=
9
2

2
2
2 9 10 0
5
2
x
x x
x
=


⇔ − + = ⇔

=

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt là: x=1, x=2, x=5, x=
5
2
.

2t ≥
). Phương trình trở thành:
t
2
+ 5t +4 = 0
1
4
t
t
= −

⇔

= −

Với
4t = −
thì
1
4y
y
+ = −
2
4 1 0⇔ + + =y y

⇔

2 3 3y x= − ± ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x=
3±

+ 12t
2
+ 2 = 16
⇔
t
4
+ 6t
2
– 7 = 0 ( Phương trình trùng phương)
2
2
1
7

=
⇔

= −

t
t

Với t
2
= 1 thì t = 1 hoặc t = -1. Từ đó suy ra x= -1 hoặc x= -3
Vậy phương trình có 2 nghiệm là : x = - 1; x = -3
2.5. Dạng 5: Phương trình có dạng :
m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx
2
, với ab = cd

⇔
4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x
2⇔
4(x
2
+16x+60)(x
2
+17x+60) = 3x
2
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6.1), chia hai vế cho x
2

≠
0, ta được:
4(x + 16 +
)
60
x
(x + 17 +
)
60
x
= 3 ( 6.2)
Đặt t = x + 16 +
60
x
, phương trình trở thành:

15
2
x
x
= −


⇔

= −


. Với t=-
3
2
thì 2x
2
+ 35x + 120 = 0
35 265
4
x
− ±
⇔ =
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=-8, x=-
15
2
,
35 265
4
− ±

2
-(x
2
+x+1)
2
- (x
3
-1) =0
Chia hai vế của (7.1) cho (x
2
+x+1)
2
≠
0 ta được:
2
2 2
1 1
2.( ) 1 0
1 1
− −
− − =
+ + + +
x x
x x x x
Đặt t =
2
1
1
x
x x

1
2
−
thì
2
1
1
x
x x
−
+ +
=
1
2
−
2
3 13
3 1 0
2
x x x
− ±
⇔ + − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
3 13
2
x
− ±
=
11
2.7. Dạng 7: Phương trình có dạng tổng quát: ax

1
, phương trình trở thành: at
2
+Bt+C=0.
b) Ví dụ:
Giải phương trình: x
4
-4x
3
+3x
2
+2x-20 =0
(8.1)
Giải: Phương trình (8.1)
⇔
x
4
-4x
3
+4x
2
-(x
2
- 2x) -20 =0

⇔
(x
2
- 2x)
2

3. Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc.
a) Phương pháp: Đưa phương trình về dạng: [f(x)]
2
= [g(x)]
2

⇔
f(x) =
±
g(x)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x
4
= 24x + 32 (9.1)
Giải: Phương trình (9.1)
⇔
x
4
+ 4x
2
+ 4 = 4x
2
+ 24x + 36
⇔
(x
2
+ 2)
2
= ( 2x + 6)
2

(t/m)
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x =
51+−
; x =
51−−
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
4
+ 4x -1=0
(9.2)
Giải: Phương trình (9.2)
⇔
x
4
+2x
2
+1 = 2(x
2
-2x+1)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1 2 1

2 4 2 2
2
− ± −
=x
4. Phương pháp dùng hệ số bất định:
a) Phương pháp: Xét phương trình x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
(10)
- Bước1: Giả sử (10) phân tích được thành (x
2
+ a
1
x + b
1
)( x
2
+ a
2
x + b
2
)=0
Khi đó ta có:




⇔
2
1 1
2
2 2
x a x b 0
x a x b 0

+ + =

+ + =


* Chú ý: Phương pháp này thường áp dụng khi việc nhẩm tìm các hệ số a
1
;
b
1
; a
2
; b
2
là đơn giản.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x
4
+ 4x
3
+3x
2

 
 
+ + = =
 
⇔
 
+ = =
 
 
=− =
 
Phương trình (10.1)
⇔
(x
2
+3x -1)( x
2
+ x +1) = 0
2
2
x 3x 1 0
x x 1=0 ( )VN

+ − =
⇔

+ +

3 13
2

tìm được a
1
=3, a
2
=1.
Ví dụ 2: Tìm a, b để phương trình x
4
- 4x
3
+(4+a)x + b = 0 (10.2)
có 2 nghiệm kép phân biệt.
Giải: Phương trình (10.2) có 2 nghiệm kép phân biệt x
1
, x
2
nên:
x
4
- 4x
3
+(4+a)x + b = (x-x
1
)
2
(x-x
2
)
2
⇔
x

+x
2
)x+x
1
2
x
2
2
Đồng nhất 2 vế, ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
4 2( )
2 (1)
0 x x 4x x
(x x ) 2x x 0 (2)
4 2x x x x
2x x x x 4 (3)
x x

x x 2
x 1 3
x x 2
+ =

⇒ ⇔ = ±

= −


Thế vào (3), (4) ta được a=b=4.
Vậy với a= b =4 thì phương trình có 2 nghiệm kép phân biệt.
14
5. Phương pháp đánh giá:
a) Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức, các bất đẳng thức để đánh
giá 2 vế của phương trình. Từ đó đưa ra kết luận về nghiệm của phương
trình.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình x
4
+ 8x
2
– 8x + 17 = 0
(11.1)
Giải: Phương trình (11.1)
⇔
x
4
- 8x
2


=−
=−
014
04
2
x
x

⇔





=
±=
4
1
2
x
x
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
8 9 1x x− + − =

(11.2)
Giải: Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (11.2)

( ) ( )
4 4
8 9x x− + −
< x – 8 + 9 – x = 1 nên (11.2) vô nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 8, x = 9.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
15
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2x
4
+ 3x
3
– 3x
2
+ 3x + 2 = 0 2) x
4
-8x
3
+7x
2
+36x-36=0
3) x
4
-4x
2
+ 12x -9 = 0 4) x
4
+(x-1)(x
2
+2x+2)=0

Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: (x
2
-1)(x+3)
(x+5)=m.
Bài 3: Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x
4
-k
2
x
2
+2kx-1=0
Bài 4 : Cho phương trình: x
4
-4mx
3
+(m+1)x
2
-4mx+1=0
a) Giải phương trình với m =1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Giải và biện luận phương trình: 2x
4
+mx
2
+2=0.
C. Ý NGHĨA THỰC TIỄN
16
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề
tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy
đã thu được một số kết quả nhất định sau :