ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ ĐÌNH NGÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ ĐÌNH NGÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015


GQVĐ
GV
HS
L
SGK
THPT
VN

Chữ viết đầy đủ
Điều kiện xác định
Giải quyết vấn đề
Giáo viên
Học sinh
Loại
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
Vô nghiệm

ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ...................................................................................................... i
Danh mục các chữ viết tắt .............................................................................. ii
Mục lục ......................................................................................................... iii
Danh mục các hình ........................................................................................ v
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................. 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán .................................................................. 6

2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông ......................................................................... 26
2.1.2. Những chú ý khi dạy nội dung Phương trình lượng giác trong
chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thông ............................ 27
2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề "Phương trình lượng giác"
nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ............................................ 28
2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản .......................................................... 28
2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................ 35
2.2.3. Phương trình lượng giác có thể đại số hóa .......................................... 40
2.2.4. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích .................................. 55
2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn ...................... 67
2.2.6. Phương trình lượng giác không mẫu mực ........................................... 80
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 86
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm .................................. 86
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ....................................................... 86
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ......................................... 87
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm ..................................... 87
3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .......................................................... 87
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .......................................................... 103
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................. 103
3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................. 103
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................... 107
3.6. Tổng kết .............................................................................................. 110
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................... 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 112

iv


Nhằm thực hiện mục tiêu phát triển căn bản và toàn diện giáo dục,
trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi
mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu then
chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Thực tế cho thấy thói quen "cầm tay chỉ việc" đã trở thành "mẫu số
chung" của giáo viên ở nhiều trường học. Việc đổi mới nhằm khắc phục lối
truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, giáo viên tập
trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học theo phương châm "giảng ít,
học
nhiều", bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng
nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy.
Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư
duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc
chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tòi, sáng
tạo thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần


1


lấy học sinh làm trung tâm, với vai trò là người tự khám phá kiến thức cho
mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ không truyền thụ
kiến thức. Khoa học, công nghệ phát triển liên tục, ngành nghề, kỹ thuật
luôn đổi mới đòi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc
học phổ thông đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều
quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là phải rèn luyện phương
pháp tự học của học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh
với nhau, tương tác với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy
để chiếm lĩnh được tri thức.

toán cho học sinh mới chỉ là lý luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng
cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài.
Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội
dung Toán học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp
vectơ,… nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng
giải Phương trình Lượng giác cho học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài
tập chủ đề "Phương trình lượng giác" nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh Trung học Phổ thông qua chủ đề này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học
chủ đề "Phương trình lượng giác".
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý
luận khi dạy học chủ đề "Phương trình lượng giác".
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp
dụng vào giảng dạy.
5. Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
5.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học môn Toán ở một số trường Trung học phổ thông.
3


5.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.2.1. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình hình thành kỹ năng giải toán của học sinh.
5.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11 phần "Phương trình

Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng.
GPolya đã khẳng định rằng: "Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải
các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán
các lời giải và chứng minh nhận được, kỹ năng trong toán học quan trọng hơn
nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn".
Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng, do đó có thể đi
đến một khái niệm chung về kỹ năng. Tuy nhiên trong các cách phát biểu về kỹ
6


năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó là nói đến cách thức, thủ thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Khi
nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra.
Khi nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện các thao tác,
trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu về kỹ năng như sau:
Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có
một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả
một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến cách
thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,
nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù hợp
với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống. Kỹ
năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát triển trong
hoạt động và bằng hoạt động.
Để một người có kỹ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:
- Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung,
mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện… của hành động.
- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian tương ứng.

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ
năng tương ứng. Tuỳ theo nội nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành


8


thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là "mảnh đất" để rèn
luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh,
giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động
chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học
sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.

toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế
[6, tr 173].
Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học đối với mỗi học sinh. Kỹ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả
vào hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình họ tìm
tòi lời giải của bài toán.
Trong hoạt động giải toán cũng cần chú ý rèn luyện cho học sinh các kỹ
năng như:
- Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch;
- Kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau;
- Kỹ năng tính toán: đòi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý. Kỹ năng
này được rèn luyện thông qua bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, bảng số,
máy tính...
- Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, đồ thị hàm số...
- Kỹ năng ước lượng, đo đạc...
- Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn.
1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có
kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản
thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn.
10


1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Người học phải biết tự kiểm tra đánh giá bản thân mình để biết xem
mình đã đạt đến đâu, đạt được cái gì, điểm nào mạnh, điểm nào còn yếu… từ
đó có kế hoạch điều chỉnh hoạt động học tập của bản thân để đạt được kết quả
cao hơn.
Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra
từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy

hướng dẫn công việc học tập ở nhà. Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà
hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một hoặc một vài học sinh lên
bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra
lời giải mẫu và qua đó củng cố hiểu biết cho học sinh. Một số bài toán sẽ
được phát triển theo hướng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá cho đối
tượng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện tư duy lô gíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít
khi chú ý đến việc dạy toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất
các giải pháp. Còn nhiều giáo viên sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình,
đàm thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học.
Thực tế ở các trường phổ thông hình thức dạy học chưa phong phú, đa
dạng, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh,
học sinh nhiều khi tiếp nhận kiến thức còn bị động. Những kỹ năng cần thiết
của việc tự học chưa được chú ý đúng mức. Do vậy việc dạy học Toán ở
trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều khuyết điểm và cần đổi mới. Đó là
học sinh chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động sáng
tạo, chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng vào
thực tiễn còn yếu. Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức
dạy học sinh cách chứng minh, phán đoán và một số thói quen làm việc nhất
định chứ chưa kích thích học sinh tìm đoán, sáng tạo bài toán. Hơn nữa do thời
gian hạn chế, khối lượng kiến thức cần truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải
dạy đúng phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập, sáng
12


tạo học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, tìm tòi
và nghiên cứu.



13


ở lớp 11 dành cho phần này chỉ 16 tiết nên học sinh khó có thể mở rộng, tư
duy linh hoạt đối với các dạng bài tập khác. Do đó, để học sinh làm tốt các bài
tập lượng giác khi đi thi đại học thì giáo viên cần có chiến lược giảng dạy tốt
chủ đề này.
- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình
giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Theo chương trình cải cách giáo dục (từ năm 2007), các công thức
lượng giác được đưa xuống dạy ở cuối lớp 10; phương trình lượng giác được
dạy ở đầu lớp 11. Chính vì vậy đây là nội dung được nhiều thầy cô giáo và
các em học sinh quan tâm. Nhưng để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của
các bài toán lượng giác thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời
gian và công sức nghiên cứu. Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để
đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phần môn học này. Học sinh cũng mất
một khoảng thời gian để vừa ôn lại kiến thức cũ, vừa lĩnh hội kiến thức mới
để có thể làm chủ kiến thức lâu hơn khi học các nội dung khác.
Để tìm hiểu được thực trạng dạy học Phương trình lượng giác ở trường
THPT tôi đã tiến hành dự giờ quan sát, thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh
thu được kết quả như sau:
Khi dạy lý thuyết:
- Giáo viên vừa phải lồng ghép việc ôn kiến thức cũ với việc truyền đạt
kiến thức mới trong khi phân phối chương trình còn nhiều bất cập.
- Đây là nội dung khó nên giáo viên thường gặp khó khăn trong việc
phân hoá học sinh, chính vì vậy mất nhiều thời gian phân bậc kiến thức.

tập mở rộng hay phát triển bài toán mới…
1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
Phương trình lượng giác
Việc chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song
điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó.
Ngoài ra, theo chúng tôi bên cạnh việc chỉ ra những sai lầm, phân tích được
nguyên nhân, giáo viên cũng cần nghiên cứu và đề ra các biện pháp tích cực
nhằm sửa chữa các sai lầm đó, làm được điều này chính là đã nâng cao năng
lực toán học của học sinh. Để tiến hành tốt việc giải phương trình lượng giác,
15