Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
CHƯƠNG 2 CƠ HỌC
Cơ học là một trong các môn học quan trọng của các trường đại học kỹ
thuật. Cơ học cung cấp những kiến thức nền tảng cho các môn kỹ thuật cơ sở và kỹ
thuật chuyên ngành. Với việc nghiên cứu các chuyển động có vận tốc nhỏ so với
vân tốc ánh sáng, môn cơ học cổ điển rất thích hợp. Đây là môn cơ học do các nhà
khoa học vĩ đại sáng lập dựa trên các quan niệm không gian và thời gian của Galilê
và các định luật của Newton.Thành tựu vĩ đại của khoa học và sự phát triển mạnh
mẽ của kỹ thuật khẳng định tính đúng đắn, khoa học của môn cơ học này. Chúng ta
sẽ nghiên cứu các phần động học và động lực học của môn cơ học cổ điển này.
Một vấn đề vô cùng quan trọng trong nghiên cứu cơ học nói riêng và khoa
học kỹ thuật nói chung đó là hệ đơn vị. Trong phần cơ học chúng ta sử dụng hệ SI.
Chất điểm là vật có kích thước nhỏ so với các khoảng cách hoặc các vật
khác mà ta đang khảo sát.
Vật rắn là tập hợp các chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm
bất kỳ là không đổi .
Hệ quy chiếu là vật chọn làm mốc để nghiên cứu chuyển động của các vật
khác.
Theo quan niệm của Galile và Newton khi nghiên cứu cơ học thì khoảng
không gian và thời gian là tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ quy chiếu, còn vị trí
chất điểm hay vật trong không gian là tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta
chọn .
2.1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Cơ học nghiên cứu chuyển động của các vật.Trong khi khảo sát chuyển động
của chất điểm, nguời ta thường sử dụng hai hệ toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự
nhiên ( toạ độ cong).

Trong hai hệ này các véc tơ gia tốc, vận tốc được được biểu
diễn dưới dạng khác nhau .
2.1.1.Chuyển động của chất điểm trong hệ Đề các
a/Phương trình chuyển động:

Biểu thức của vận tốc

dt
rd
V


=
(m/s
2
)









=
=
=
dt
dz
V
dt
dy
V
dt





==
==
==
2
2
2
2
2
2
dt
zd
dt
dV
a
dt
yd
dt
dV
a
dt
xd
dt
dV
a
z
z


,
n

.
Hệ tọa độ có các véc tơ đơn vị như trên
τ

,
n

,
b

được gọi là hệ đơn vị tự nhiên.
2.1.2.1.Phương trình chuyển động
2
A
x
z
y
r

•
•
M
M
/
(C)
O

dt
dS
V ==
(2-4)
“Vận tốc tại một thời điểm nào đó có giá trị bằng đạo hàm của toạ độ cong S của
chất điểm theo thời gian”.
Với quy ước trên, vận tốc tại :
'
. S
dt
dS
V
ττ


==
(2-5)
2.1.2.2.Véc tơ gia tốc trong hệ toạ độ tự nhiên
dt
Vd
a


=
(2-6)
Hay:

nt
aaa


2
R
V
n
dt
dv
aaa
nt

+=+=
τ
(2-7)
2.1.3.Tổng hợp vận tốc và gia tốc
3
Hình 2-4. Tổng hợp vận tốc và gia tốc
x’
x
y’
z
z’
O’O
•
M
Hình 2-3
n
a
t
a
a
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn

2.2.ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH
MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
2.2.1.Các đại lượng đặc trưng cho chuyển động
quay
Khi một vật quay quanh một trục cố định vị trí
của vật có thể xác định bởi
a/Phương trình chuyển động của vật :

)(t
ϕϕ
=
(2-9)
b/Vận tốc góc của vật : là đại lượng biểu thị tốc độ và chiều quay của vật đặc
trưng cho sự nhanh chậm trong chuyển động quay.
dt
d
ϕ
ω
=
( rad/s) (2-10)
nếu n là số vòng/phút thì trị số của vận tốc góc :
30
n
π
ω
=
,
c/Gia tốc góc của vật
dt
d

- Quay biến đổi đều
const=
β
β
t
βωω
+=
0
t
t
0
2
2
ωβϕ
+=
(2-12)
4
O
ϕ
d
M
M
′
∆
v
dS
R
β
ω
Hình 2-5. Các đại lượng đặc trưng cho


β

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
2
0
2
2
ωωβϕ
−=
0>
β
khi chuyển động là nhanh dần đều
0<
β
khi chuyển động là chậm dần đều
2.2.3.Liên hệ giữa vận tốc gia tốc với vận tốc góc, gia tốc góc
Phương trình chuyển động của một điểm trên vật :
s = OM =
)(tR
ϕ

Vận tốc chất điểm :
với
RV



∧=
ω

2.2.4.Truyền động giữa các bánh xe
Khi hai bánh xe tiếp xúc với nhau vận tốc điểm tiếp xúc giữa 2 bánh
xe là như nhau : v
1
= v
2
tỷ số vận tốc góc giữa 2 bánh( tỷ số truyền) :
5
R

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn

1
2
1
2
2
1
12
z
z
r
r
i ===
ω
ω
(2-16)
2.3.CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG
2.3.1. Cơ sở lý thuyết
2.3.1.1.Định nghĩa : Chuyển động song phẳng

ϕϕ
=
(t) (2-18)
Các yếu tố đặc trưng cho chuyển động song phẳng :
,
A
V

A
a

: vận tốc,gia tốc điểm A trên vật
ω


β

, vận tốc góc và gia tốc góc của vật, chúng không
phụ thuộc vào điểm A
2.3.2. Xác định vận tốc và gia tốc của điểm trên hình phẳng
2.3.2.1. Quan hệ vận tốc giữa 2 điểm :
BAAB
VVV

+=
(2-19)
Trong đó
BAV
BA
⊥


BA
V

B
V

Hinh 2-8
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
ω
.BAV
BA
=
(2-20)
2.3.2.2. Hình chiếu của các vận tốc lên phương bán kính
AABBAB
VhcVhc

=
2.3.2.3. Tâm vận tốc tức thời P
Tại mỗi điểm trên hình phẳng bao giờ cũng có một điểm P mà v
P
= 0
Khi vật chuyển động song phẳng bao giờ cũng có một đểm P mà vận tốc của nó V
P
= 0. Tâm vận tốc tức thời P có thể nằm trên vật hoặc nằm ngoài vật.
2.3.3. Gia tốc của điểm thuộc vật
BA
aaa
AB


)232(
.
−



=
⊥
=
β
BAa
BA
a
t
BA
t
BA

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP
Bài M-1: Chất điểm M có phương trình chuyển động :
jtitr


)116(4
2
++=
(m/s)
Xác định :
a/ Quỹ đạo của chất điểm và vận tốc gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5 (s).

y
=32(m/s
2
)
Khi t = 0,5 (s):

)/(5,16
22
1
smVVV
yx
=+=
)/(32
2
smaa
y
==
)/(31
3242
.32.2
'
2
22
2
sm
t
t
Va
t
=


, gia tốc
2
a

. Ròng rọc có bán kính R. Tìm
vận tốc góc của ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C, gia tốc điểm B
Bài giải
1.Phân tích chuyển động: Vật I và II chuyển động tịnh tiến, hai ròng rọc nhỏ
quay quanh trục cố định,ròng rọc động chuyển động song phẳng. Khi không có
trượt giữa dây và ròng rọc thì:
V
1
= V
A
; a
1
=a
t
A
; V
2
= V
B
; a
2
=a
t
B
Như vậy trên ròng rọc động đã biết:

===
ω
(a)
Vận tốc tâm C:
22
12
VVVV
V
AB
C
−
=
−
=
(b)
Nếu V
2
> V
1
tâm C sẽ chuyển động lên, khi V
2
< V
1
tâm C hạ xuống; nếu
V
2
=V
1
thì V
C

12
aaVV
dt
d
V
dt
d
a
AB
CC
−
=
−
==
Nếu a
2
> a
1
thì
C
a

hướng lên.
Biết gia tốc điểm C, chọn C làm cực ta có thể xác định gia tốc điểm B:
n
BC
t
BCCB
aaaa


.
21
aa
BCa
t
BC
+
==
β
Hay:
n
BC
t
BCCB
aaaa

++= )(
R
VV
aa
n
BCBx
4
)(
2
21
+
==
2
1212

V
C

C
n
BC
a
B
a
t
BC
C
a

β
b)
Hình 2 -9
ω
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 2-1. Chất điểm chuyển động theo quy luật:



=
=
):;:,(sin
2
stcmyxty
tx

b/
ba
=
lúc
bR
v
N
b
v
t
π
4
;
2
00
==
.
Bài 2-3. Hai chất điểm bắt đầu chuyển động từ một điểm trên vòng tròn bán kính
R=16(m) theo hai chiều ngược nhau. Điểm thứ nhất chuyển động theo quy luật

tbts
2
sin2
π
+=
với b = const; điểm thứ hai có gia tốc
2
4ta
n
=

π
2
)(1;)/(632 stsmb
=−=
π
10
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
Bài 2-4. Một chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R=8(m) với tâm C
có tọa độ (8,0)Vị trí chất điểm trên đường tròn được xác định bởi bán kính véc tơ
của chất điểm và trục ox.
t
2
sin
2
ππ
ϕ
=
a/ Lập phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ tự nhiên.
Xác định vận tốc, gia tốc toàn phần của chất điểm lúc đầu và lúc hướng của chuyển
động thay đổi.
b/Lập phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ Đề các.
Trả lời :
a/
)(
2
sin4 mtRs
π
πϕ
==
Bắt đầu t = 0; khi chuyển hướng vận tốc đổi dấu v = 0; .

2
cos(88
mty
mtx
ππ
ππ
Bài 2-5. Một bánh xe bắt đầu quay nhanh dần đều. Khi t =1(s), điểm cách trục
quay một khoảng r
1
=2(m) có gia tốc a=2
2
(m/s
2
). Tìm gia tốc của điểm cách trục
quay một khoảng r
2
=4(m) lúc t=2(s).
Trả lời: a
t
=4(m/s
2
) ; a
n
= 16(m/s
2
); a=
174
(m/s
2
).

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn

)/(1;)/(4,0
2
22
smasmv ==
Bài 2-7. Quả câu nhỏ A treo ở đầu sợi dây dài l=398(cm), dao động trong mặt
phẳng theo phương trình:
):;:()
2
sin(
8
stradt
ϕ
ππ
ϕ
=
Tìm:
a/ Tìm thời điểm đầu tiên để gia tốc pháp tuyến bằng không và thời điểm đầu
tiên để gia tốc tiếp tuyến bằng không.
b/ Gia tốc toàn phần lúc t=2(s).
Trả lời: t = 1(s) ; t = 2(s) ; a=282,95(cm/s
2
)
Bài 2.8.
Một đĩa phẳng bán kính R = 0,5m lăn trên một mặt
phẳng nghiêng. Tại thời điểm khảo sát tâm đĩa có vận
tốc V
A
= 1m/s và gia tốc a

2
); a
C
= 3,16(m/s
2
).
Bài 2.9.
Cơ cấu
hành tinh có tay
quay OA quay với
12
E
D
h
Hình 2-12
B
O
H
C
D
C
E
B
A
Hình 2-10
A
E C
O
D
B

= 3r
2
ω
10
;
Bài 2-9. Một đĩa phẳng được cuốn bằng sợi dây có đầu B cố định. Đĩa có bán kính
R rơi xuống thẳng đứng không vận tốc đầu và mở dần dây ra (Hình 2-12). Tâm đĩa
có vận tốc
ghv 3
3
2
=
; h là khoảng cách của tâm đĩa từ vị trí đầu đến vị trí khảo
sát.
Tìm vận tốc, gia tốc của các điểm D và E , biết DE
⊥
CH.
Trả lời:
atvgaahv ==→= ;
3
2
2
v
D
= 0 ; v
E
=
gh3
3
4

aaaaaaaa
n
OE
t
OEOE
n
OE
t
OEE



a
E
=
22
3
4
hr
r
g
+
Bài 2-10.
Con lăn hai tầng, bán kính R =20cm, r = 10cm
lăn không trượt trên mặt phẳng ngang (Hinh 2-
12) . Tầng trong được cuốn dây và buộc vào vật
M . Tìm gia tốc điểm cao nhất A lúc t = 1s khi
vật M rơi xuống với vận tốc v = 3t (m/s).
Hướng dẫn:
Điểm O chuyển động thẳng. Tâm vận tốc

2222
204)()( +=+++=
n
CA
n
C
t
CA
t
A
aaaaa
C
20
5
cos);/(264
2
==
β
sma
A
13
A
M
Hình 2-13
O
C
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương-PGS.TS.Lê Bá Sơn
14