Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Một vật tự do, khi bị tác dụng thì trạng thái chuyển động của vật thay
đổi. Sự thay đổi trạng thái chuyển động này phụ thuộc vào lực tác dụng lên
vật. Với các lực khác nhau chuyển động của vật cũng hoàn toàn khác nhau.
Chuyển động của các vật rất phong phú nhưng đều tuân theo các quy luật của
cơ học. Động lực học là khoa học nghiên cứu sự chuyển động của vật rắn
dưới tác dụng của các lực.
Trước khi nghiên cứu động lực học vật rắn chúng ta hệ thống hoá lại
các kiến thức về động lực học chất điểm.
2.4. CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
2.4.1.CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN
2.4.1.1. Chất điểm,cơ hệ
Định nghĩa: Chất điểm là vật có kích thước nhỏ so với các vật khác
hoặc các khoảng cách mà ta đang khảo sát.
Như vậy chất điểm chỉ mang tính tương đối, phụ thuộc vào các quan hệ giữa
vật với các đối tượng khác. Trái đất là chất điểm khi so sánh với mặt trời
hoặc khoảng cách từ trái đất đến mặt trời. Còn so sánh với các thành phố, các
dãy núi thì không thể coi trái đất là chất điểm được.
Đôi khi để đơn giản, người ta còn định nghĩa “ Chất điểm là điểm hình
học có khối lượng”
Định nghĩa: Cơ hệ là tập hợp các vật có tương tác cơ học với nhau .
2.4.1.2. Lực và khối lượng
Trong phần tĩnh học ta đã đưa ra khái niệm lực, lực đặc trưng cho tác
dụng của vật này lên vật khác. Trong phần động lực học chúng ta có điều
kiện nghiên cứu nhiều hơn ảnh hưởng của lực đến chuyển động của vật rắn.
Tuy nhiên sự thay đổi trạng thái của vật không những phụ thuộc vào lực tác
dụng mà còn phụ thuộc vào khối lượng của vật. Khối lượng của một vật thể là
một khái niệm phức tạp. Chúng ta thường được biết các biểu hiện của khối
lượng ở các mặt quán tính và hấp dẫn. Trong phần động lực học cổ điển này

Định luật 1 Newton ta chỉ nghiên cứu chuyển động của một vật cô lập
hoặc mở rộng hơn một ở trạng thái cân bằng; còn trong định luật 2 chúng ta
nghiên cứu sự thay đổi trạng thái của một vật khi bị tác dụng lực. Trong phần
này chúng ta nghiên cứu lực tác dụng tương hỗ giữa 2 vật .
“Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật cùng phương ngược chiều cùng
độ lớn.”

1221
FF

−=
(2-25)
Định luật thứ 3 của Newton cho phép thay các liên kết bằng các các lực
tác dụng tương hỗ.
2.4.2.4. Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà định luật 1 Newton thoả
mãn. Mặt trời và những vật thể chuyển động thẳng đều với mặt trời có thể coi
14
m
1
21
F

12
F

m
2
Hình 2-12 Tương tác giữa hai vật
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn

=
=
∑
∑
∑
ziz
yiy
xix
Fma
Fma
Fma
với
ni
FkFjFiF
ziyixii
÷=
++=
1



(2-27)
2.4.3.3.Phương trình vi phân chuyển động chất điểm trong hệ toạ độ tự nhiên








Đây cũng chính là biểu thức toán học của định luật 2 Newton viết trong
các hệ tọa độ Đề các hay trong hệ tọa độ tự nhiên.
2.4.4.HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
2.4.4.1.Bài toán thuận
Biết khối lượng chất điểm và quy luật chuyển động của chất điểm , xác
định lực tác dụng lên chất điểm ( lực chủ động hoặc các lực liên kết).
2.4.4.2.Bài toán ngược
15
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Biết lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của chất điểm và các điều
kiện đầucủa chuyển động. Tìm quy luật chuyển động của chất điểm.
2.4.4.3. Ví dụ
Bài 3 : Tìm quy luật chuyển động của vật nặng khối lượng m chuyển động
trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát trượt k dưới tác dụng của lực không
đổi F, hợp với phương chuyển động một góc
α
. Với điều kiện nào của k thì vật chuyển
động đều?
Giải:
amFPFN
ms


=+++
Vật chuyển động đều a = 0, chiếu lên phương
chuyển động:
mgF
F
kmgFkF
+

1
1


(2-29)
Trong biểu thức trên
i
r
là bán kính véc tơ xác định vị trí của chất điểm
i
m
trong
hệ toạ độ
Các chú chú ý :
- Trong trọng trường đều, khối tâm trùng với trọng tâm.
- Vật rắn tuyệt đối có khối tâm không đổi( so với vật rắn).
2.5.2. Mô men quán tính
2.5.2.1.Mô men quán tính đối với một điểm
Mô men quán tính của cơ hệ đối với một điểm là đại lượng được xác định bởi
biểu thức :
16
N

P

ms
F

F


( )
∫
=
v
dVrI
2
0
.
ρ
( )
dVyxI
v
)(
22
0
+=
∫
ρ
Ở đây :
ρ
là khối lượng riêng của một đơn vị thể tích.
2.5.2.2. Mô men quán tính hệ chất điểm đối với trục
Là đại lượng vô hướng dương bằng tổng các tích số khối lượng các chất điểm
với bình phương khoảng cách từ các chất điểm đến trục z.
∑
=
=
n
k
kkz

1
22
)(
Tương tự như vậy ta có công thức mômen quán tính của cơ hệ đối với trục
ox , oy
∑
=
+=
n
k
kkkx
yzmI
1
22
)(
∑
=
+=
n
k
kkky
zxmI
1
22
)(
Mômen quán tính của cơ hệ đối với trục nào đó đặc trưng cho sự phân bố khối
lượng của hệ quanh trục đó.
Trong trường hợp cơ hệ là vật rắn liên tục thì các tổng trên trở thành tích
phân.
( )

z
ρ
) là khoảng cách
đến trục z của một điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ (vật) và có
mômen quán tính bằng mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục z.
2
zz
MI
ρ
=
hay
MI
zz
/=
ρ
(2-33)
2.5.2.4. Định lý Huy ghen về mô men quán tính
Mômen quán tính của cơ hệ (vật) đối với trục nào đó, bằng mômen
quán tính của cơ hệ với trục đi qua khối tâm song song với trục đó, công với
tích số khối lượng cơ hệ (vật) với bình phương khoảng cách giữa hai trục:
2
'
MdII
czOz
+=
(2-34)
2.5.2.5. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
a/ Thanh đồng chất khối lượng m chiều dài l
12
2

R
2-14. Một số vật thể đối xứng
l
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
2.6.1. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
Xét cơ hệ bao gồm n chất điểm :
,, ,
21 n
MMM
khối lượng của các chất
điểm tương ứng là:
., ,,
21 n
mmm
Các lực tác dụng lên chất điểm có ngoại lực và
nội lực. Ta xét chất điểm
k
M
tuỳ ý của hệ, các ngoại lực tác dụng lên chất
điểm có hợp lực là
e
k
F
, nội lực tác dụng lên chất điểm là
.
i
k
F
Định luật cơ bản
động lực học viết cho chất điểm này có dạng:

Hệ phương trình trên là biểu thức toán học của phương trình vi phân
chuyển động cơ hệ. Đây là hệ n phương trình vi phân cấp hai, trong vế phải lại
chứa nội lực là những lực chưa xác định. Ta không dùng các phương trình này
để giải hai bài toán cơ bản động lực học chất điểm. Nhưng nó lại có ý nghĩa
quan trọng đối với toàn bộ phần động lực học cơ hệ. Từ đây ta suy ra được
các định lý tổng quát động lực cơ hệ, nguyên lý Đalămbe…
2.6.2. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ
Phát biểu :
Tích khối lượng của hệ với gia tốc khối tâm của nó bằng tổng véc tơ
các ngoại lực tác dụng lên hệ.
Biểu thức toán học của định lý :
)402( −Σ=
e
kc
FaM


Ở đây : M : Khối lượng của hệ

c
a

:Vectơ gia tốc khối tâm của hệ, nếu
c
r
có các thành phần trên trục
Oxyz (
ccc
zyx ,,
) phương trình trên có dạng hình chiếu:

,
c
y

,
c
z

)là gia tốc khối tâm ,
),,(
e
zk
e
yk
e
xk
e
k
FFFF

2.6.3.Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm
a/ Phát biểu
19
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
- Nếu ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì khối tâm của hệ chuyển động
thẳng đều
0
1
=
∑

x
=
: khối tâm của hệ chuyển động theo quán
tính trên trục ox .
c/ Ví dụ: Chiếc thuyền chiều dài l,
khối lượng m. Hai mũi thuyền có hai
người ngồi với khối lượng m
1
, m
2
.
Thuyền và người đang đứng yên thì hai
người đổi chỗ ngồi cho nhau. Xác định
độ dịch chuyển ngang của thuyền. Bỏ
qua lực cản.
Lời giải:
• Cơ hệ gồm thuyền và hai người.
• Ngoại lực tác dụng: các trọng lực
21
,, PPP

và phản lực
N

. Tất cả các
lực này đều vuông góc với trục ox nên :
0=
∑
i
xi

)2(0)()()(
21
=−−+−+− slmslmsm
20
1
P

P

2
P

m2 m1
N

2
P

P

1
P

m1 m2
N

Hình 2- 15.
s
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Hay:

i
n
i
i
sP

m
i
, P
i
là

khối lượng và trọng lượng vật thứ i trong cơ hệ.
s
i
là dịch chuyển tuyệt đối của chất điểm thứ i trên trục ox . Trục có
tổng hình chiếu tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không.
2.6.4. Định lý biến thiên động lượng.
Véc tơ vận tốc đặc trưng cho trạng thái chuyển động của một vật về mặt động
học nhưng về mặt động lực học thì véc tơ đặc trung cho chuyển động là véc tơ
động lượng.
Động lượng của cơ hệ
i
n
i
i
VmK

∑
=

1


(2-45)
21
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Độ biến thiên động lượng của hệ chất điểm bằng tổng véc tơ xung
lượng của các lực tác dụng lên hệ.
Định luật bảo toàn động lương
Nếu
0=
∑
i
F

thì
constK =

: véc tơ động lượng của hệ được bảo toàn
Bảo toàn động lượng theo một phương.
Nếu
0=
∑
x
i
F

thì
constK
x

“ Đạo hàm mô men động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố
định bằng tổng các mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục đó”.
2.6.6. Định lý biến thiên động năng của cơ hệ
Động năng của cơ hệ là phần cơ năng ứng với sự dịch chuyển của vật.
Biểu thức động năng trong các chuyển động:
a/Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
)(,
2
W
2
d
J
mV
=
(2-48)
b/Động năng của vật rắn trong chuyển động quay
)(,
2
W
2
d
J
I
ω
=
(2-49)
c/Động năng của vật vừa chuyển động phức tạp( vừa tịnh tiến vừa quay)
bằng tổng động năng tịnh tiến của vật và động năng quay của nó.
22
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn

chính là công của mô men lực:
∫
=
2
1
12
ϕ
ϕ
ϕ
dMA

(2-53)
Công suất
Công suất là công sinh ra trong một đơn vị thời gian
dt
dA
N =
(W) (2-54)
Liên hệ giữa công suất lực tác dụng và vận tốc :
VFN

.=
Công của trọng lực
A
MN
=
PhhhPPdhsdP
NM
h
h



(2-56)
Định lý ( biến thiên ) động năng
Dạng vi phân :
∑∑
==
+=
n
k
i
k
n
k
e
k
dAdAd
11
d
W
(2-57)
23
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Dạng hữu hạn
∑∑
==
+=−
n
k
i

Định luật bảo toàn và biến hoá cơ năng
W
2
-W
1
= (W
đ2
+W
t2
)

– (W
đ1
+W
t1
) =A
e
12
+A
i
12
(2-61)
“Độ biến thiên cơ năng của một hệ trong một quá trình nào đó bằng
công mà hệ nhân được trong quá trình đó”.
BÀI TẬP HƯỚNG DẪN
BÀI M- 1. Trên một đĩa tròn bán kính R , trọng lượng P có một chất điểm P
1
.
Đĩa đang quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω
0

0
0
2
1
+
=+=
ω
ω

VRmIL
zz 1
'
+=
ω

mà
uRV
+=
ω
)(
2
1
2
'
uRRm
mR
L
z
++=
ωω

3
và bán kính quán tính của nó là ρ.
Bài giải :
Cơ hệ gồm vật A,B và tời C
Lực tác dụng lên hệ: mô mem lực M các trọng lực
,,,
21
QPP


phản lực
1
R

Áp dụng định lý mô men động lượng đối với trục quay oz của tời C
MRPrPL
dt
d
z
++−=
21

mà
)()()( CLBLALL
zzzz
++=
Mô men động lượng của vật A đối với trục oz
ω
2
1

1
P

Q

M
Hình 2-17
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
ωρω
2
3
)(
g
P
ICL
zz
==
Vậy mô men động lượng của hệ đối với oz
g
PRPrPL
z
ω
ρ
)(
2
3
2
2
2
1

grPRPM
++
−+
=
BAÌ M-3 - Trong cơ hệ bên, con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng
nghiêng từ trên xuống dưới. Dây mảnh không dãn vắt qua ròng rọc B làm vật
C chuyển động từ dưới lên. Ròng rọc B cùng bán kính và trọng lượng P với
con lăn A. Vật C có trọng lượng P
C
. Biết góc nghiêng là
α
. Hãy xác định gia
tốc của trục con lăn A.
Bài giải :
Trong cơ hệ:
Vật B chỉ chuyển động quay quanh trục
ββ
2
T-R
2
'
C
'
Rm
IRT
B
B
A
==
Vật C chuyển động tịnh tiến

amPT
am
TT
am
TP
DCC
CA
AA
=−
=−
=−
2
2
3sin
B
A
α
26
A
C
B
Hình 2-18
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Vì m
A
= m
B
nên:

g

+ Đoạn CD chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng 2 lần vận tốc của trục
bánh xe.
+ Đoạn cuối gồm hai vành tròn kết hợp BIC và A II D chuyển động song
phẳng.
+ Công suất trung bình của động cơ:
t
A
N
∑
=
27
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
∑
A
tổng công của các lực thực hiện trong thời gian t .
Theo định lý động năng
∑
=
=−
n
k
e
k
A
1
d1d2
WW
Thời điểm ban đầu xe tăng đứng yên W
đ1
= 0

ω
ω
W
đ 2 xich
= 2W
đ, 2 DC
+ 2W
đ,vanh
)(2
4
)22(
W
2
3
2
3
DCd,
Rlg
lVP
V
Rlg
lP
ππ
+
=
+
=
2)22(
2
2)22(

π
+
=
Động năng của 2 bánh xích:
Động năng của xe tăng :
g
V
PP
P
V
g
P
V
g
P
g
VP
2
32
1
2
3
2
2
2
1
d
)23
2
(23

2
3
d,2.xich
2
)(
2
)(
2W
=
+
+
+
=
π
π
π
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
Bài 2-1. Một búa hơi có khối lượng m
1
= 2 tấn, đập vào mặt

đe với vận tốc
v
1
=5(m/s). Khối lượng của đe và của vật cùng với khối lượng của vật rèn là
m
2
=250 tấn. Tính công A
1
tiêu hao làm biến dạng vật rèn, công A

1
)1(
m
m
mm
m
W
W
d
+
=
+
−=
∆
=
η
Công làm vật biến dạng chính là năng lượng tiêu hao:
W
1
∆=A
= 143,080 (kJ)
Để búa có hiệu suất cao thì
12
m m>>
, tức là đe phải nặng hơn búa nhiều lần.
Công tiêu hao làm rung động móng là động năng hệ búa và vật sau va chạm
A
2
= W
đ2

Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
v
1
=
gh2
• Va chạm mềm giữa búa và đầu cọc:
21
1
21
11
21
2211
2
mm
ghm
mm
vm
mm
vmvm
u
+
=
+
+
=
+
+
=
Động năng hệ sau va chạm:
)(

211
2
1
mms
ghm
mms
ghm
F
C
+
=
+
=
=158,9(kN)
Bài 2-3. Lăng trụ A và các vật m
1
, m
2
,
m
3
có trọng lượng P
A
, P
1
, P
2
, P
3
. Ban đầu hệ

∑
ism
i
n
i
i
Gỉa sử m
3
đi xuống một đoạn l, A dịch chuyển sang bên phải một đoạn s:
:00 =→=
∑∑
i
n
i
ii
n
i
i
sPsm
0)cos()(
321
=−+−++
α
lsPlsPsPsP
A
30
A
P

1

P
v
A 21
2
cos
++
=
α
Bài 2-5. Một đĩa phẳng đồng chất có bán kính
R=0,2(m), khối lượng m=0,5(kg) lăn xuống theo một
sợi dây treo thẳng đứng được cuốn vào nó. Đầu B của
dây được buộc chặt và khi đĩa rơi không vận tốc đầu
thì mở dần dây ra (Hình 2-23).
Hãy xác định vận tốc điểm O của đĩa, sức căng
sợi dây và động năng toàn phần của đĩa sau 2(s) kể từ
khi bắt đầu chuyển động. Lấy g=9,8(m/s
2
)
Hướng dẫn:
Dưới tác dụng của lực căng
T

, trọng lực
P

đĩa
chuyển động song phẳng. Tâm đĩa O chuyển động
thẳng. Từ phương trình cơ bản chuyển động tịnh tiến
31
E

2
0
mr
ITr
maTP
==
=−
== mgT
3
1
1,63(N)
== gtV
3
2
0
13,07(m/s)
W
đ
= 64,02(J)
Bài 2-6. Hệ ròng rọc như hình 2- 12. Ở thời điểm vật I được nâng với vận tốc
1
V

, gia tốc
1
a

vật II hạ xuống với vận tốc
2
V


'
1
T

'
2
T

2
T


C
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
- Các vật I và II chuyển động tịnh tiến,hai bánh xe cố định chuyển động
quay quanh một trục cố định, bánh xe giữa chuyển động song phẳng.
Có
1212
,,, aaaaVVVV
ABAB
====
- Tâm C của bánh xe chuyển động thẳng có:

1212
aaaSSS
CC
−=→−=
- Các điểm trên bách xe có vận tốc góc và gia tốc góc:
R

β
ω
(1)
Phương trình cơ bản của chuyển động các vật:
R
I
TT
amPTT
amTP
amTP
C
β
=−
=++
=+
=+
''
12
21
1111
2222






(2)
Chiếu lên hướng gia tốc của các vật
R

12
2
12
1221
1111
2222
d
R
aa
R
mR
R
I
TT
caamPTT
bamPT
aamTP
+
==−
−=−+
=−
=−
β
Cộng (4a)+(4b)+(4d) với nhau và lấy (4a) - (4b) được:
33
Bài giảng Kỹ thuật Đại cương –PGS.TS. Lê Bá Sơn
PaaaaTTamamPP
aaaa
m
amamPP

a
C
===
[2] Lê Doãn Hồng, Đỗ Sanh ,” “Bài tập Cơ học”, Nhà xuất bản
Giáo dục 2002
34