Một số bài toán ôn tập
Bài 1 : (Đề 16)
a. Biết các số x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0, và các số dơng x
3
, x
4
là các nghiệm của phơng trình bậc hai : cx
2
+ bx + a = 0, trong đó a và c là các số dơng . Với điều kiện
nào của a và c thì biểu thức
1 2 3 4
M x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất ?
b. Chứng minh rằng nếu cặp giá trị (x, y) nghiệm đúng các phơng trình : x
2
- 3xy + 2y
2
+ x - y = 0
(1) và x
2
- 2xy + y
2
- 5x + 7y = 0 (2) thì cũng nghiệm đúng phơng trình : xy - 12x +15 y = 0 (3) .
c. Cho dãy số nguyên dơng lẻ tăng a
1

x
2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b
2
= 0.
Bài 3: (Đề 17)
a.Giải phơng trình :
x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2 + + + + =
b. Giải hệ phơng trình :
2
2
xy 4 8 y
xy 2 x

=


= +


Bài 4: (Đề 18)
a. Chứng minh rằng nếu :
2 4 2 2 2 4
3 3

- x
3
Bài 5: (Đề 19)
a. Giải phơng trình :
( )
( )
3
3
4 y 1 y 1 4
x 1
10
x
y 1
+
+
+ =

b. Giải hệ phơng trình :
2
2
2
5
x (y z)
3
y (z x) 3
1
z (x y)
3

=

a. Cho đa thức f(x) = ax
4
+ bx
3
+cx
2
+ dx + e . Biết rằng với x = 0 và x = 1 thì f(x) là số lẻ, trong đó
a, b, c, d, e Z . Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.
b. Với số nguyên dơng n nào thì các số dơng a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn hệ phơng trình sau : :
1 2 n
1 2 n
a a a 2
1 1 1
2
a a a
+ + + =



+ + + =


Bài 8: (Đề 24)
a. P(2) là giá trị của đa thức P(x) khi x = 2 . Chứng minh rằng P(x) - P(2) chia hết cho x - 2.

2
x x 3x x 1
2

+ + +
ữ
ữ

.
b. Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số lấy giá trị là số thực khác 0. Biết rằng
2
1
f (x) 3f x
x

+ =
ữ

với mọi số thực x khác 0. Tính giá trị của f(2) .
Bài 11: (Đề 29)
a. Tìm số nguyên x sao cho đa thức 19x + 93 nhận giá trị là số chính phơng.
b. Cho hai phơng trình : x
2
- (2m + n)x - 3m = 0 và x
2
- (m +3n)x - 6 = 0 .Tìm m và n để hai ph-
ơng trình trên tơng đơng với nhau .
Bài 12: (Đề 30)
a. Giải phơng trình :
16 4 1225


.
Bài 13: (Đề 32)
a. Cho a, b, c là ba số khác nhau và c khác 0. Chứng minh rằng nếu các phơng trình x
2
+ ax + bc =
0 và x
2
+ bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phơng trình
x
2
+ cx + ab = 0 .
b. Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
2 2 2
3 3 3
a b c 1
a b c 1

+ + =


+ + =


. Tính tổng M = a + b
2
+ c
3
.
c. Lập phơng trình bậc hai có các hệ số nguyên và có một nghiệm là




+ + =


Tính giá trị của biểu thức : xy + 2yz + 3 xz .
Bài 16: (Đề 15)
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn . Một đờng tròn tiếp xúc trong với đờng tròn
đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lợt ở D, E, F .Chứng minh :
a. EF // BC; DF // AC và DE // AB
b. CT = TA + TB
c. Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, Bn, và CP với đờng tròn nhỏ . Chứng minh CP = AM
+ BN.
2. Cho đờng tròn tâm O và tiếp tuyến PN (N là tiếp điểm). Gọi M là trung điểm đoạn PN. Đờng
tròn tâm O
1
qua P và M cắt đờng tròn tâm O ở A và B .Đờng thẳng BA cắt PN ở Q.
Chứng minh MQ : QN : PM : PQ = 1 : 2 : 3 : 4
Bài 17: (Đề 17) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C . Gọi AH và
BI là các đờng cao của tam giác .
a. Chứng minh HI // d
b. Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d . Chứng minh
MN = EF.
Bài 18: (Đề 19) Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng AB tiếp xúc với đờng tròn tại T sao cho T là
trung điểm của đoạn AB, P là một điểm trên đoạn BT (P không trùng với B và T). Từ P kẻ tiếp tuyến PMN
với đờng tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N . NB cắt đờng tròn (O) ở E , AM cắt đờng tròn (O) ở I, IE
cắt AB ở F . Chứng minh AF = BP.
Bài 19: (Đề 23)
1. Một hình vuông AMKE nội tiếp tam giác vuông ABC sao cho K thuộc cạnh huyền BC ; E, M

lần lợt tại D và E . Các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và CDE cắt nhau tại hai điểm phân biệt là C và
M . Chứng minh góc OMC = 90
0
.
Bài 25: (Đề 35) Cho đờng tròn tâm O, dây cung AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Qua M kẻ dây
cung thay đổi cắt dây cung AB ở P và cắt đờng tròn tại Q.
a. Chứng minh rằng các đờng thẳng MA và MB theo thứ tự là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác APQ và đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ.
b. Chứng minh rằng khi dây cung kẻ qua M thay đổi thì tổng hai bán kính đờng tròn ngoại tiếp
tam giác apq và bpq không đổi.
B i 26 (B i 922) Cho tam giác ABC có phân giác AD.
1. Chứng minh hệ thức : AD
2
= AB.AC DB.DC
2. Tính độ dài AD theo độ dài ba cạnh a, b, c của tam giác .
Bài 27 (Bài 923) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên cung BC không
chứa A, D khác B và C . Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu của D lên các đờng thẳng BC, CA, AB. Gọi P là
trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh:
1. Ba điểm H, I, K thẳng hàng .
2.
3.
AC AB BC
DI DK DH
+ =
4. Đờng thẳng Hk đi qua trung điểm của đoạn DP.
Bài 28 : (Bài 924)
Cho tam giác ABC cân tại A . Một đờng tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC . Tiếp tuyến d
của đờng tròn (O) cắt AB tại P và cắt AC tại Q .
1. Chứng minh : BC
2

ã
ABC
cắt nhau tại điểm E thuộc cạnh CD.
1. Chứng minh : AD + BC = CD
2. Cho biết
1
CD
k
CB
= >
. Tính
ADE
BCE
S
S

Bài 31: (Bài 956)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Các đờng cao AD, BE, CF .
Gọi I là trực tâm .
1. Chứng minh rằng : I là tâm đờng tròn (I;r
1
) nội tiếp tam giác DEF.
2. Chứng minh rằng : S
ABC
=
2
R
(DE + EF + FD)
3. Chứng minh rằng :
1DEF

Cho hai số dơng a, b . Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 a b a a b b a b a b+ + = + +
Bài 2: (T - 33) Chứng minh rằng :
2 2 2 2
x y x y x x y x x y+ + = + +
Bài 3: (T - 36) Cho
3 3 3
1 1 1
1
ax by cz
x y z

= =


+ + =


. Chứng minh rằng :
2 2 2
3 3 3
3
ax by cz a b c+ + = + +
Bài 4:(T - 36)
Chứng minh rằng phơng trình x
5
+ x +1 = 0 có nghiệm duy nhất là :
3 3

n
n
P = + +
1 2 3
Bài 7 (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 99 100
M = + + + + + + + + +
Bài 8: (T -23) Chứng minh rằng số :
0
2 2 3 6 3 2 3x = + + +
là một nghiệm của phơng trình :
x
4
16x
2
+ 32 = 0
Bài 9: (T - 37) Chứng minh rằng số
(
)
3 3
9 4 5 9 4 5x = + +
là một nghiệm của phơng trình : x
3
3x
18 = 0. Từ đó hãy tìm x.
Bài 10 : (T - 37) Chứng minh rằng số
3 3

+ + =
Bài 13: (T 37) Cho
3
3
1
2 1
2 1
x =

. Tính P = x
3
+3x +2
Bài 14: (T - 37) Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2x
3
+2x
2
+ 1 với
3 3
1 23 513 23 513
1
3 4 4
x

+
ữ
= +
ữ

Bài 15: (T - 38) Tính tổng S = a
1

=
là số nguyên. Tìm tất cả các giá trị của n để a
n
chia hết cho 3.
Bài 17: (T - 48) Chứng minh rằng nếu số nguyên dơng a không phải là lũy thừa bậc n của bất kỳ số tự
nhiên nào, trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2, thì
n
a
là một số vô tỉ.
Bài 18: (T - 48) Cho hai số hữu tỉ tùy ý r và s. Chứng minh rằng nếu r và s không đồng thời bằng 0 thì
2 3r s+
là một số vô tỉ.
Bài 19 : (T - 50) Giả sử a, b là các số hữu tỉ dơng, không phải là bình phơng của bất kì số hữu tỉ nào.
Chứng minh rằng nếu r và s là hai số hữu tỉ sao cho
t r a s b= +
là một số hữu tỉ thì t = 0.
Bài 21(T - 51) Cho các số hữu tỉ a, b, c, m, n . Chứng minh rằng nếu : x = m + n
2
là một nghiệm của ph-
ơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thì x = m - n
2
cũng là nghiệm của phơng trình đó .
Bài 22: (T - 51)
a) Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho
2 5x = +
là nghiệm của phơng trình: x
3
+ ax

thì a
2
b là một số
hữu tỉ . Điều ngợc lại có đúng không ?
Bài 25 : (T - 66) Giải các phơng trình sau :
a. x
4
+ (x 1)(x
2
- 2x + 2) = 0
b.
( )
( )
( )
( )
4
4
2 2
2 2
2
1
1
3 3 2 5
1
3
x
x x x
x
x


2 0
1
1
x x
x
x
x
+ + =


f. 2000(2001 2000x
2
)
2
= 2001 x
Bài 26: (T - 73) Giả sử các phơng trình x
2
+ px + 1 = 0 và x
2
+ qx + 2 = 0 có các nghiệm lần lợt là a, b và
c, b . Chứng tỏ rằng (b a)(b c) = pq 6
Bài 27 (T -74) Biết rằng m 0 và phơng trình mx
2
+ px + q = 0 (1) có hai nghiệm dơng x
1
, x
2
. Chứng
minh rằng :
a. Phơng trình qx

+ x
3
3
= 3x
1
x
2
x
3
Bài 29 (T - 76) Trình bày cách giải phơng trình bậc ba x
3
+ px
2
+ qx + r = 0 biết rằng giữa các nghiệm x
1
,
x
2
, x
3
của nó có mối liên hệ x
1
= x
2
+ x
3
.
Bài 30(T - 77) : Giả sử x
1
, x

là các nghiệm của phơng trình x
2
6x + 1 = 0. Chứng minh rằng : Với số n
tùy ý, số S
n
= x
1
n
+ x
2
n
là số nguyên và không là bội của 5.
Bài 33(T77) Chứng minh rằng a
1
a
2
2(b
1
+ b
2
) thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm x
2
+
a
1
x + b
1
= 0 (1), x
2
+ a

x
2
+ 3x b = 0 có ba nghiệm (không
nhất thiết phân biệt) . Chứng minh rằng :
3
3
27 28
a
b
b
+

Bài 36(T78) Giả sử
P abc=
là một số nguyên tố có ba chữ số . Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c
= 0 không có nghiệm hữu tỉ .
Bài 37(T78) Cho phơng trình bậc ba : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a khác 0) có ba nghiệm dơng là x
1
, x
2
, x
3
.
Chứng minh rằng x

1 1 3x x x x+ + + + =
d.
4 2
1 1x x x =
e.
( )
1
2 2003 2004
2
x y z x y z + + + = + +
g.
2
94 96 190 9027x x x x + = +
h.
4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = + +
i.
2
1 5
8
2
x
x
+ =
k.
4
3
2
8
x x= +
l.

8
4
x y z
xy yz zx

+ + =

+ + =

. Chứng minh rằng
8 8
; ;
3 3
x y z
.
Bài 41 (T154) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x, y thì
( ) ( )
2
1 3x y xy x y+ + +
.
Bài 42 (T155) Cho ba số thực x, y, z bất kì . Chứng minh rằng
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
.
Bài 43 (T156) Với a, b, c là ba số dơng bất kì, hãy chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b c b a c
a b c
ab cb ac

ữ
+
+

Bài 46 (T157) Chứng minh rằng nếu phơng trình 2x
2
+ (x + a)
2
+ (x + b)
2
= c
2
có nghiệm thì
4c
2
3(a
2
+b
2
) ab
Bài 47 (T157) Cho x, y là hai số thực và x, y >
2
. Chứng minh rằng x
4
x
3
y + x
2
y
2

2
+ z
2
.
Bài 49 (T159) Cho a, b, c [0; 1]. Chứng minh rằng a + b
2
+ c
3
ab bc ca 1
Bài 50 (T159) Cho x, y, z [0; 2] . Chứng minh rằng 2(x + y + z) (xy + yz + zx) 4
Bài 51 (T159) Cho x + y + z = 0 và x, y, z [-1;1] . Chứng minh rằng : x
2
+ y
4
+ z
6
2.
Bài 52 (T159) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dơng m, n thỏa mãn bất đẳng thức :
7 0
m
n
>
thì
1
7
m
n mn
>
.
Bài 53 (T159) Hãy xét xem khẳng định sau đúng hay sai : Với mọi số nguyên dơng m, n thì

+ y
2
2.
Bài 57 (T177). Cho x, y 0 và x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng
3 3
1
1
2
x y +

Bài 58 (T180). Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
1 1 1 6a b c + +
Bài 59 (T180). Chứng minh rằng nếu a, b là các số dơng và a + b = 1 thì
2 2
1 1 25
2
a b
b a

+ + +
ữ ữ


Bài 60 (T181). Cho n số dơng bất kì a
1
, a

= (a
2
+ b
2
)
3
. Chứng minh rằng
3 3
1
a b
c d
+

Bài 63 (T182). Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
a. 3abc(a + b + c) 1
b. Nếu a, b, c dơng thì
( )
2 2 2
1 1 1 2a b c a b c+ + + + + + +
Bài 64 (T199). Ba số không âm a, b, c thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện a, b, c 1; a + b + c = 2 . Tìm
giá trị lớn nhất của P = a
2
+ b
2
+ c
2
.
Bài 65 (T200). Cho a, b dơng cố định : x, y là hai số dơng thay đổi sao cho
1
a b

Bài 69 (T202). Cho x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1
2
P xy yz zx x x z y z x z x y

= + + + + +

Bài 70 (T202). Xét các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn xy + 4zt +2yz + 2xt = xy + 4zt +2yz + 2xt = 9 . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :
2A xy zt= +
Bài 71(218) Xác định các số thực p, q sao cho đa thức x
4
+ 1 chia hết cho đa thức x
2
+ ax + q.
Bài 72 (T221) Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c .Chứng minh rằng nếu
( )f x h
với mọi x [-1; 1], thì
4a b c h+ +