I- Dạng toán tìm BCNN và ƯCLN:
1- Tìm ƯCLN(a;b)
+Cách 1:
Lấy : a = b.m + r
b = r.m
1
+ r
1
; r = r
1
.m
2
+r
2
; r
n
= r
n-1
.m
n-1

Tức r
n
chia hết cho r
n-1
. Khi đó ƯCLN(a;b) = r
n-1
.
+ cách 2: Sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử:
+Tìm ƯCLN(a;b;c)
Gọi cln(a;b) = d. Thì cln(a,b,c)= cln(c;d)

+ cách 3: ấn 18901896 : 2382001 = 7,93 7 =
ì
2382001 (số d)
*Ví dụ: Tìm số d: 7
35
: 2005
Ta viết; 7
35
= 7
11.3
7
2
.
ấn
7

15 SHIFT STO A
ấn 2005 SHIFT STO B
ấn ALPHA A : ALPHA B =986187,87
ấn ALPHA A = ALPHA B
ì
986197 = 1758.
Ta suy ra: 7
11


1758(mod2005)
(7
11
)

3
: 2005 d 357
Lấy 357
ì
7
2
: 2005 d 1453 vậy 7
35
: 2005 d 1453.
Tìm 5 chữ số tận cùng: 4
2048

Chính là tìm số d khi chia 4
2048
cho 100000
Phân tích 2048 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2
5

4
16
= 4294967296 = (42949.10
5
+ 67296)
67296
2
= 45287.10
5
+ 51616
51616
2

+ lập công thức: 2 alpha B alpha A. Shift sto A
2 alpha A alpha B. Shift sto B
Dùng phím đẩy lên tìm công thức: 2B A shift sto A
2A B shift sto B ( Đến 20)
* Ví dụ: Cho dãy số :
3
1
1
3
n
n
x
x
+
+
=
Biết x
1

= 1/2. tìm x
30
.
Khai báo: ấn 1/2 =
Lập công thức: ( Ans x
3
+ 1): 3 = = = Tính đến lần 30.
+ Một số bài toán: cho dãy số:

1
2

=3; Tính u
10
. KQ: 2;3; 22; 103; 522; 2603;
13022; 65130
d. Cho dãy số : a
n+2
= 2a
n+1
- a
n
+ 3 biết a
1
= 1; a
2
= 2 tìm a
100
.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+ Dạng tuần hoàn đơn:

{
1 2
1 2
9

0,( )
99 9
n
n
n so

m +n)
a
2
= (c + d)
2

a
3
= ( c + d)
3

Chia không ghi hết trên máy.
a : m nếu số; a ghi không hết trên máy ta viết: a = (b + c) : m
Nếu b : m d R
1
c : m d R
2
. Thì số d: a : m là (R
1
+R
2
) : m.
Ví dụ : Tìm số thập phân thứ 2001 khi chia 1 cho 49.
Lấy 1: 49 = 0,020408163
Lấy : 0,020408163
ì
49 - - 1 = 0,000000013 ( lá số d thứ nhất)
Tức là: 1 = 0,020408163
ì
49 + 0,000000013.

b + c
2
. Thì số d a
1
.a
2
: b chính là: c
1
.c
2
: b
- Ví dụ : Tính kết quả; 52906297178,48 : 565,432 = 52906279178480 : 465432
= (5290627917.10
4
+ 8480) : 565432
=(565432
ì
9356.10
4
+ 46125.10
4
+ 8480) : 565432
=(565432
ì
9356.10
4
+ 461258480) : 565432
=(565432
ì
9356.10

chia 2001 d 1132
7
8
chia 2001 d 1486
Vậy só d 7
15
: 2001 chính là số d 1132
ì
1486 :2001 d 1486.
+ Cách khác 7
15
= 7
5
.3
= (16807)
3
= (2001
ì
8 +799)
3
mà 799: 2001 d 1486.
Các bài toán về đa thức.
Bài toán 1; tìm số d chia đa thức: f(x) = x
27
+ x
9
+ x
3
+ x chia cho x
2

Mặt khác x
1992
1 = (x
12
)
166
1 chia hết x
12
1 vậy số d là 1.
*Bài toán 3: Tìm a, b sao cho f(x) = x
4
x
3
3.x
2
+ a.x + b, chia đa thức: x
2
x 2
d 2.x + 3.
Giải:
Ta có f(x) = (x
2
x 2).q(x) + 2.x + 3 Tìm các giá trị riêng sao cho x
2
x 2 có giá
trị bằng 0.
Với x = -1 ta có a + b = 4
Với x= 2 ta có 2a + b = 5, giải ra ta có a = 3; b= -1.
Bài toán 4: Tím số d khi chia x
100

Giải;
- Ta có (x 1).g(x) = x
6
1 và : g(x
12
) = (x
12
)
5
+ (x
12
)
4
+ +x
12
+ 1
- g(x
12
) = (x
6
)
10
+ (x
6
)
8
+ (x
6
)
6

4
1) +((x
6
)
2
1)
Với p(x) là đa thức theo x
6
Thay x
6
1= (x 1).g(x) ta đợc g(x
12
) = (x 1).g(x).p(x) + 6
Vậy số d là: 6.
Một số công thức toán học:
1- các công thức hình học:
- Gọi A, B, C làcác đỉnh của tam giác
- a; b; c là các cạnh của tam giác
- h
a,
h
b
, h
c
là các đờng cao tơng ứng của các cạnh trong tam giác.
- L
a
, L
b
, L

= = =
+ Định lý hàm số cô sin.

2 2 2
2 cosa b c bc A= + ì
+Định lý đờng trung tuyến.

2 2 2
2
2 2
2
2 4
cos
4 2
a
a
b c a
m
b c b
m A


+
=







R
s p p a p b p c
s p a r p b r p c r
s R A B C
a B C
s
A







=
=
= ì =
=
= = =
=
=

( ).
2
2. . .cos
2
a
A
S p p a tg
A


= =

+ Công thức tính các khoảng cách.

2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 9
(sin sin sin )
9 4
1
8 cos cos cos )
8
(1 8sin .s in .sin )
2 2 2
OG R A B C
OH R A B C
A B C
OI R

= + +
= + +=
*dạng toán Từ công thức truy hồi sang công thức tổng quát và ngợc lại.

( )
n
n
b
x C
a
=
với
0
1
3
x =
ta có:
0
1 1
(2)
3 3
C C = =
Vởy nghiệm tổng quát là:
1
.2
3
n
n
x =
- Phơng trình sai phân dạng:
1
. . (1.7)
n n
a x b x d

n
x C d
=
vào (1.7) tính đợc C
1
thay vào (1.8) kết hợp gá trị x
0
= ?
ban đầu đã cho để tính C. để hoàn thiện công thức (1.8)
- Ví dụ : x
0
= 1,5; 5x
n-1
+ 3x
n
= 2
n
(1.9)
- Ta có
3
5
b
a
=
và
/
1
.2
n
n

C
= +
Giải ra tìm đợc
12 12 3 1
.2
13 13 5 13
n
n
n
C x

= = +
ữ

Một số phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình:
1
. . (1.7)
n n
a x b x d
+
+ =
- Giả sử d
n
là một đa thức bậc k của n
- Nếu
0a b
+
thì : x
n
/

vì
0a b
+
và d
n
= n + 1 nên nghiệm riêng có dạng:
x
n
/
= C
1
.n + C
2
Thay vào phơng trình (1.10) 3.( C
1
.(n+1) + C
2
) 2. (C
1
.n + C
2
) = n + 1 đúng
mọi n suy ra C
1
= 1; C
2
=2. Vậy nghiệm tổng quát đã cho là:
2
( )
3

+ 2n
2
, với n

0
1
b
a
=
vậy nghiệm thuần
1 .
n
n
x C
=
Nghiệm riêng: vì a + b = 0 và d
n
= 2.n
2
nghiệm riêng x
n
/
= n(C
1
.n
2
+ C
2
n + C
3

3 3
C C C
= = =
Thay vào x
n
/
= n(C
1
.n
2
+ C
2
n + C
3
) để xác định x
n
/
sau đó thay x
n
/
vào công thức tổng quát và
kết hợp giá trị X
0
ban đầu tìm C từ đó có công thức nghiệm tổng quát.
+ Dạng sai phơng bậc hai:

2 1
. . . 0
n n n
a x b x C x

1 1 2 2
.
n n
n
x C C

= +
ta giải hệ phơng trình tìm C
1,
C
2

+ Nếu :
2
. . 0a b c

+ + =
có nghiệm kép thì
1 1 2 2
.
n n
n
x C C

= +
=
1 2
( )
n
n

= +
Tìm C
1,
; C
2
thay x
0
=7, x
1
=-6 vào
1 2
.( 4) 7
n n
n
x C C
= +
ta giải hệ phơng
trình tìm C
1
= 5; C
2
= 2 Thay vào
1 2
.( 4) 7
n n
n
x C C
= +
Ta có:
5( 4) 2 7

= d.p
/
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
/
2 1
. . . .
n n n
a x b x C x d p
+ +
+ + =
NghiÖm riªng lµ:
/
1 2
2
.
,
. .
n
d q
x khi q q
a q b q c
λ λ
= ≠ ≠
+ +
/
1 1 2 2
.
n n
n n
x C C x

λ λ
−
= − = =
+ vÝ dô: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh: x
n-2
- 8.x
n+1
+ 15.x
n
=2.5
n+1
Khi ®ã ph¬ng tr×nh:
2
8 15 0
λ λ
− + =
cã nghiÖm:
λ
1
= 3;
λ
2
= 5
- v× 2.5
n+1
= 10.5
n
vµ; q = 5 =
λ
2

/
n
d
x
a b c
=
+ +
( a+b+c
≠
0)
- Trờng hợp a + b+ c = 0 phơng trình có nghiệm kép: thì nghiệm riêng là:
/
.
2
n
d n
x
a b
=
+
Khi 2.a + b

0
Còn
/
( 1)
2
n
d
x n n