Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Phơng pháp tọa đọ trong không gian
Bài 1. hệ tọa độ trong không gian
Bi tp 1. Trong Oxyz, cho 4 im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tỡm ta v di ca cỏc vect sau:
=
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA
.
b) Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CD, DA. Tỡm ta ca M, N,
P, Q.
c)Chng minh A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc. Tỡm ta trng G tõm ca
ABC.
d) Tỡm ta im E sao cho t giỏc ABCE l hỡnh bỡnh hnh. Tớnh din tớch ca
hỡnh bỡnh hnh ABCE.
e) Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng. Tớnh th tớch ca t din
ABCD.
f) Tớnh tớnh di ng cao h t cỏc nh tng ng ca t din ABCD.
g) Tỡm cụsin gúc to bi cỏc cnh i din ca t din.
h) Tỡm ta im B i xng vi B qua im D.
i) Tỡm ta ca im K nm trờn trc Oz ADK vuụng ti K.
Bi tp 2. Cho 3 im A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) v C(x; y; 6). Tỡm x, y A, B, C thng
hng.
Bi tp 3. Trong khụng gian Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C

.
a) Tỡm ta hỡnh chiu ca cỏc im A, B, C trờn cỏc trc ta , trờn cỏc mt ta
.
b) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc mp ta .

( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A

a) Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 1
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
b) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh hp.
c) Tớnh th tớch V ca hỡnh hp.
d) Tớnh di ngcao ca hỡnh hp k t A.
Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit
( ) ( )
1 1 1 3 3 3
; ; , ; ; ,A x y z C x y z

( )
, , ,
2 2 2
' ; ; ,B x y z
( )
, , ,
4 4 4
' ; ;D x y z
. Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
Bi tp 8. Trong kg Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D

a)CMr: a
1
/ 4 im A, B, C, D khụng ng phng.

=
uur
2
1; 3;4u
.
Bi tp 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(1;0;2), C(1;3;1).
a) Vit pt mt phng (ABC).
b) Vit pt mt trung trc ca on AB.
c) Vit pt mp qua A v vuụng gúc vi BC.
d) Vit pt mp qua B v vuụng gúc vi Oz.
e) Gi A
1
, A
2
, A
3
ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc trc Ox, Oy,Oz. Vit pt mt
phng (P) qua A
1
, A
2
, A
3
.
Bi tp 3. Trong kg Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C
.
a) CMr: A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc.
b) Tỡm D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh.

3 2 4 0x y z
+ + =
, ():
3 4 6 0x y z
+ + =
. Lp
pt mt phng () qua giao tuyn ca (), () v qua A(2;1;1).
Bi tp 9. Trong Oxyz, cho ():
4 0x y z
+ + =
, ():
3 2 1 0x y z
+ =
. Lp pt
mt phng () qua giao tuyn ca (), () ng thi vuụng gúc vi mt phng ():
2 3 1 0x y z
+ =
.
Bi tp 10. Lp pt mp i qua gc ta v vuụng gúc vi 2 mp:():
7 0x y z
+ =
,
():
3 2 12 5 0x y z
+ + =
Bi tp 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) v D(-1; 1; -2).
a. Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi BC.
b. Vit phng trỡnh mt phng (ABC).
c. Vit phng trỡnh mt phng () qua B v song song vi (): 3x 2y + z +7 = 0.
d. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua AC v song song vi BD.

a
mt
khong bng 5.
b. Vit phng trỡnh mt phng
( )
g
i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt
phng
( )
a
.
c. Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 3
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 14. Vit phng trỡnh mt cu i qua 3 im A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2;
3) v cú tõm nm trờn mt phng (Oxy).
Bi tp 15. Vit phng trỡnh mt cu i qua 2 im A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) v cú
tõm thuc trc Oz.
Bi tp 16. Vit phng trỡnh mt cu i qua 4 im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1;
2), D(2; 2; 1).
Bi tp 17. Cho mt mt phng
( )
: 3 2 6 14 0x y za - + + =
v mt cu
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
. Chng minh rng

( )
b
i qua im A v song song vi mt phng
( )
a
.
b. Vit phng trỡnh mt phng
( )
g
i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt
phng
( )
a
.
c. Vit phng trỡnh mt cu tõm A v tip xỳc vi
( )
a
.
d. Tỡm cỏc giao im A, B, C ca
( )
a
vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh th tớch khi t
din OABC.
Bài 3. phơng trình đờng thẳng
Bi tp 1 Lp pt tham s ca ng thng (t) trong mi trng hp sau:
a) qua 2 im A(2;3;5) v B(1;2;3).
b) qua im A(1;1;3) v ssong vi BC, bit B(1;2;0), C(1;1;2).
c) qua im A(1;0;2) v vuụng vi mp():
7 0x y z
+ =

x y z +
= =
Bi tp 4 Cho
=


= +


=

: 11 2
16
x t
d y t
z t

= =
5 2 3
' :
2 1 6
x y z
d
. CMr: d ct
d.Vit ptmp cha d v d.
Bi tp 5 Cho
= +


=


= +


= +

: 1 2
6 3
x t
d y t
z t
v
= +


= +


=

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
.
a. CMr: d v d chộo nhau.
b. Lp pt mp qua O v song song vi d v d.
Bi tp 7 Lp pt mp() cha t :

Bi tp 9 Cho d:
1 1 2
2 1 3
x y z
+
= =
, (P):
1 0x y z =
. Vit ptct ca t qua
A(1;1;2), // (P) v d.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 5
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 10 Vit ptt qua A(0;1;1), d
1
:
1 2
3 1 1
x y z +
= =
v ct d
2
:
=


= +


= +




= +


=

2
2
2
2 3
3
x t
y t
z t
Bi tp 12 Cho ng thng d:
= +


= +


= +

12 4
9 3
1
x t
y t
z t

2 1 3
x y z

= =
a) Tỡm VTCP ca d.
b) CM d v cựng nm trong mt mp. Vit pt mp ú. Tỡm giao im I ca d v .
Bi tp 14 Cho 2 t d
1
:
1 1 3
3 2 2
x y z+
= =

v d
2
:
1 3
1 1 2
x y z +
= =
.
a) Hóy xột v trớ tng i ca d
1
, d
2
.
b) Tỡm ta giao im I ca d
1
, d

ca d ln lt vi d
1
, d
2
.
Bi tp 16 Cho 2 t chộo nhau cú pt l m:
1
4 2
3
x
y t
z t
=


= +


= +

, n:
3
3 2
2
x u
y u
z
=





=

2 2 '
3
'
x t
y
z t
a) Cm d, d chộo nhau. Tớnh khong cỏch gia 2 t chộo nhau.
b) Lp pt ng vuụng gúc chung ca d, d. Tỡm ta giao im ca ng vuụng
gúc chung vi d, d.
c) Vit phng trỡnh tng quỏt ca mp cỏch u d v d.
Bi tp 18 Cho 3 t d
1
:
2 2 1
3 4 1
x y z +
= =
; d
2
:
7 3 9
1 2 1
x y z
= =

; d

z t
=


= +


= +

Bi tp 20 Trong kg Oxyz, cho 2 ng thng d v d ln lt cú cỏc pt
1 1
:
2 1 1
x y z
d
+
= =


1 2
' : 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +



=
zyx
d
,
3
1
2
1
7
3
:
2


=

=


zyx
d
. Hóy lp phng trỡnh ng thng vuụng gúc chung
ca d
1
v d
2
.
Lp phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu: x
2

= =

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 7
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 22 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 ng thng
)(
,
)'(
ln
lt cú phng trỡnh
3
: 1 2
4
x t
y t
z
= +


= +


=

,
2
':
2 2
x t
y t



v tip xỳc vi mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z -67 = 0.
Bi tp 24 Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-6y-4z=0
1.Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu .
2.Gi A, B,C l giao im (khỏc O) ca (S) vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh khong
cỏch t tõm mt cu (S) n mt phng (ABC).
Bi tp 25 Trong khụng gian Oxyz, cho mt phng
( ) ( )
2
: 2 2 3 0 tham sốP x y z m m m
+ + =
v mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 9S x y z
+ + + =
. Tỡm m (P) tip xỳc vi (S). Vi m va

= +


a)Chng minh rng d
1
khụng ct d
2
nhng d
1
vuụng gúc d
2
.
b) Vit phng trỡnh mt phng
)(

cha d
1
,
)(

vuụng gúc d
2
, mt phng
)(

cha
d
2
v
)(

Bi tp 28 Cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z - 86 = 0 v mt phng
)(

: 2x
- 2y - z + 9 = 0.
a) nh tõm v bỏn kớnh mt cu .
b) Vit phng trỡnh ng thng (d) qua tõm mt cu v vuụng gúc vi
)(

.
c) Chng t
)(

ct mt cu (S). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ng trũn giao tuyn.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 8
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 29 Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S) qua i gc to O v 3 im
A(2,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,3).
a. Xỏc dnh tõm v bỏn kớnh mt cu (S).
b. Lp phng trỡnh mt phng
)(

qua A, B, C.
c. Lp phng trỡnh ng trũn giao tuyn ca (S) v

qua M(1;2;1) v
d)(

c) Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca (d) lờn mt phng
)(

.
Bi tp 31 Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng
1
3
: 1
x t
y t
z t
= +


= +


=

v
5
4
1
3
2
1
:


: 3x - 2y +
5z + 6 = 0
a. Chng t A nm trờn
)(

.
b. Vit phng trỡnh ng thng (d) qua A v
)(

d

c. Tớnh sin ca gúc to bi OA v
)(

.
Bi tp 33 Trong khụng gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a. Vit phng trỡnh ca mt phng (ABC).
b. Vit phng trỡnh ng thng qua D v vuụng gúc vi mt phng (ABC).
c. Vit phng trỡnh mt cu tõm D v tip xỳc vi mt phng (ABC).
Bi tp 34 Trong khụng gian Oxyz, cho 4 im A, B, C, D cú to xỏc nh bi cỏc
h thc: A(2;4;-1),

+= kjiOB 4
, C=(2,4,3),

+= kjiOD 22
.
a. Chng minh rng
ACAB

1
B
1
C
1
D
1
cú cnh bng a
a) Tớnh theo a khong cỏch gia hai ng thng A
1
B v B
1
D.
b) Gi M, N, P ln lt l cỏc trung im ca cỏc cnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tớnh gúc gia
hai ng thng MP v C
1
N.
Bi tp 2 Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tớnh khong cỏch t im A ti mt
phng (BCD).
Bi tp 3 Cho hỡnh lp phng ABCD.A
1


x y z
v mt phng (P) :
2 5 0
+ =
x y z

a) Chng minh rng (d) ct (P) ti A . Tỡm ta im A .
b) Vit phng trỡnh ng thng (

) i qua A , nm trong (P) v vuụng gúc vi (d) .
Bi tp 5 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im M(1;0;5) v hai mt phng
(P) :
2 3 1 0
+ + =
x y z
v (Q) :
5 0
+ + =
x y z
.
a) Tớnh khong cỏch t M n mt phng (Q) .
b) Vit phng trỡnh mt phng ( R ) i qua giao tuyn (d) ca (P) v (Q) ng thi
vuụng gúc vi mt phng (T) :
3 1 0
+ =
x y
.
Bi tp 6 Trong khụng gian vi h to cỏc vuụng gúc Oxyz, cho mt phng
(P): 2x - y + 2 = 0 v ng th ng d

.
a. Tỡm ta giao im ca ng thng (d) v mt phng (P) .
b. Tớnh gúc gia ng thng (d) v mt phng (P) .
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 10
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
c. Vit phng trỡnh ng thng (

) l hỡnh chiu ca ng thng (d) lờn mt
phng (P).
Bi tp 9 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai ng thng
1
1 2
( ) :
2 2 1

= =

x y z
,
2
2
( ) : 5 3
4
=


= +


=

( )
060 ;;AC =
. Tớnh khong cỏch t trung im I ca BC n
ng thng OA.
Bi tp 12 Trong khụng gian vi h to cỏc vuụng gúc Oxyz cho ng thng:
d
k
:



=++
=++
01
023
zykx
zkyx

Tỡm k ng thng d
k
vuụng gúc vi mt phng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
Bi tp 13 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú
ỏy ABCD l hỡnh thoi, AC ct BD ti gc to O. Bit A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gi M l trung im ca cnh SC.
a) Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng SA v BM.
b) Gi s mt phng (ABM) ct SD ti N. Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABMN.
Bi tp 14 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho im A(-4; -2; 4) v
ng thng d:

theo a, b.
b) Cho a, b thay i nhng luụn tho món a + b = 4. Tỡm a, b khong cỏch
gia 2 ng thng B
1
C v AC
1
ln nht.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 11
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho ng thng d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

v mt phng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tỡm to im I thuc d sao cho khong cỏch t I n mt phng (P) bng 2
b) Tỡm to giao im A ca ng thng d v mt phng (P). Vit phng trỡnh
tham s ca ng thng nm trong mt phng (P), bit i qua A v vuụng gúc
vi d.
Bi tp 17 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hỡnh lng tr ng ABC.A
1
B
1
C
1
vi A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tỡm to cỏc nh A


v d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ =


+ =

a) Chng minh rng: d
1
v d
2
song song vi nhau. Vit phng trỡnh mt phng (P)
cha c hai ng thng d
1
v d
2
.
b) Mt phng to Oxz ct hai ng thng d
1
, d
2
ln lt ti cỏc im A, B. Tớnh
din tớch OAB (O l gc to )
Bi tp 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz. Cho hỡnh lp phng

v ct d
2
Bi tp 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai ng thng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z +
= =

v d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= +


= +


=

a) Chng minh rng: d
1

gúc vi mt phng (OAB).
b) Tỡm to im M thuc ng thng sao cho MA
2
+ MB
2
nh nht
Bi tp 24 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho ng thng
d:



=+
=+
0422
0122
zyx
zyx
v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0.
Tỡm m ng thng d ct mt cu (S) ti hai im M, N sao cho khong cỏch gia
hai im ú bng 9.
Bi tp 25 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho t din ABCD vi A(2;
3; 2), B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tớnh gúc gia hai ng thng AB v CD.
Tỡm to im M thuc ng thng CD sao cho ABM cú chu vi nh nht.
Bi tp 26 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho t din OABC vi A(0;




=++
=
022
032
zy
zx
a) Chng minh (
1
) v (
2
) chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng () song song vi trc Oz v ct cỏc ng thng
(
1
) v (
2
).
Bi tp 29 Cho hỡnh l p ph ng ABCD.A'B'C'D' v i cỏc c nh b ng a. Gi s M,
N l n l t l trung i m c a BC, DD'. Tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng
BD v MN theo a.
Bi tp 30 Trong khụng gian v i h to cỏc Oxyz cho t di n OABC cú O
l g c t a , A Ox, B Oy, C Oz v m t ph ng (ABC) cú ph ng trỡnh:
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 13
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
a) Tớnh th tớch kh i t di n OABC.
b) Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh c a m t c u ngo i ti p kh i t

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng

2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2
sao cho đoạn thẳng
MH có độ dài nhỏ nhất.
B i t p 32 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt
phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phơng trình mặt cầu có
tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bi tp 33 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0;
0; 8) và điểm C sao cho
( )
060 ;;AC =
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đ-
ờng thẳng OA.
Bi tp 34 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bi tp 35 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng
ABC.A
1
B

1
C
1

với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 14
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A
1
C
1

và d
2
mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện
tích OAB (O là gốc toạ độ)
Bi tp 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng
thẳng :
d
1
:
1 1
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +



b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất
Bi tp 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng:
1
:



=++
=+
0422
042
zyx
zyx
và
2
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 15
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bi tp 43 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh
A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A,
B sao cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P)
Bi tp 44 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5
= 0 v hai im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song
vi (P), hóy vit phng trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú
l nh nht.
Bi tp 45. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A (2; 1; 0), B(1;2;2),
C(1;1;0) v mt phng (P): x + y + z 20 = 0. Xỏc nh ta im D thuc ng
thng AB sao cho ng thng CD song song vi mt phng (P).
Bi tp 46 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng :
x 2 y 2 z
1 1 1
+
= =

v mt phng (P): x + 2y 3z + 4 = 0. Vit phng trỡnh ng
thng d nm trong (P) sao cho d ct v vuụng gúc vi ng thng .
Bi tp 47 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mp(
P

)

:

2

x

z

2



2

x



4

y



6

z



11

=

0.
Ch ng minh r ng

=

0
v hai ng th ng
1
1 9
:
1 1 6
x x z+ +
= =
v
2
1 3 1
:
2 1 2
x y z +
= =

. Xỏc nh M thu c

1
sao cho
kho ng cỏch t M n

1
v kho ng cỏch t M n mp(P) b ng nhau.
Bi tp 49
Trong

khụng

)

v

ng

th ng
1 2
:
2 1 2
x y z
d

= =
a)

Tỡm

ta



hỡnh

chiu

vuụng

gúc



sao

cho

khong

cỏch

t

A

n

()

l n

nht.
Bi tp 50
Trong

khụng

gian

v i

h

;



2

;1
)

,

C

(


2

;

0

;1
)
.
a)

Vi t

phng

M

thuc

m t

ph ng

2x

+

2y

+

z



3

=

0

sao

cho


i m
A(3; 3; 0),
B(3; 0 ; 3), C(0 ; 3; 3),
D(3; 3; 3).
1.

Vit

ph n g

trỡnh

m t

cu

i

qua

b n

i m

A,

B,

C,