Đề thi HSG huyện môn toán 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Bài 1(2,0 điểm):
Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9
số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá.
Bài 2(2,0 điểm):
a. Giải phơng trình:
8x 11 4 6 11 4 6 + =
.
b. Cho biểu thức: A =
( )
(
)
3
3 3
3
2 1 2 1
3
+
. Chứng minh rằng A là một số
nguyên.
Bài 3(2,0 điểm):
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x
3
+ (2 - x)
3
.
b. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau:
2 2 2
x y z xy 3y 4z 6+ + < + +

(
)
3
3 3
3
2 1 2 1
3
+
. Chứng minh rằng A là một số
nguyên. (1,25đ)
Giải
a) Phơng tình đã cho tơng đơng với:
( ) ( )
= + +
= + +
= + +
= + +
=
=
2 2
8x 11 4 6 11 4 6
8x 2 2 3 2 2 3
8x 2 2 3 2 2 3
8x 2 2 3 2 2 3
2 2x 4 2
x 2
b) Đặt B =
( )
(
)

3 3 3 3
B 2 1 2 1
2 3 2 2 1 1 2 1
3 2 3 2 3 2 1
3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3
Do đó
=
3
B 3
. Suy ra
3 3 3
A B : 3 3 : 3 1
= = =
l số nguyên.
Bài 3(2,0 điểm):
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x
3
+ (2 - x)
3
. (0,75đ)
d. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau: (1,25đ)
2 2 2
x y z xy 3y 4z 6+ + < + +
.
Giải
a) Ta có
( )
( )
( )
= + = + +

x y z xy 3y 4z 7 0
Do đó:
( )

+ +
ữ ữ

2 2
2
y y
x 3 1 z 2 0
2 2
(2)
Suy ra

=



=


=



y
x 0
2
y



OM. Trong tam giác AOM vuông tại A có AN l đ ờng cao nên ON. OM = OA
2
= R
2
(không đổi).
Gọi H l chân đ ờng vuông góc hạ từ O đến (d) v K l giao củ a AB v
OH. T hai tam giác đồng dạng ONK v OHM (g- g) có
ON OK
OH OM
=
Suy ra
ON.OM
HK
OH
=
Vì ON.OM, OH không đổi nên OK không đổi. Mặt khác K nằm giữa O
v H nên suy ra K cố định. Vậy khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một
điểm cố định.
(3)
b) Ta có
( ) ( )
MOP
1 1 1
S MP.OA MA AP .OA MA AP .R
2 2 2
= = + = +
(1)
p dụng bất đẳng thức Côsi có

3 4
Suy ra b = 3k, c = 4k
p dụng định lý Pitago v o tam giác vuông đang xét có:
( ) ( )
+ =
2 2
2
3k 4k 140
hay
( )
=
2
2
5k 140
Suy ra 5k = 140, do đó k = 28. Từ đó các cạnh b, c của tam giác l 84cm
v 112cm.
Từ
= =
bc
ah bc h
a
. Do đó đờng cao thuộc cạnh huyền l
= =
84.112
h 67,2cm
140
Hết