PHÒNG GDĐT LY NHÂN

Tự chọn Toán lớp 7
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Học sinh được tìm hiểu về một số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4;
5; 8; 9; 11.
Học sinh biết cách chứng minh một số, một tích , một tông đại
số có chia hết cho một số hay không.
II. CHUẨN BỊ :
GV: Nội dung chuyên đề
HS: Theo hướng dẫn của gv
III. TIẾN TRÌNH
A. Một số kiến thức cơ bản
1.Định nghĩa:
Với mọi số nguyên a,b (b≠0) bao giờ cũng có duy nhất cặp số
nguyên q;r
sao cho:
a = bq +r với 0 ≤ r < b
a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương số, r là số dư. Số
dư r là một trong ‌‌|b| số:
0; 1; 2; …; ( ‌‌|b| - 1).
- Nếu r = 0 ,ta nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b, kí
hiệu a

b .
Người ta cũng nói rằng b chia hết a hay b là ước của a, kí hiệu
b/a.
- Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia còn dư.
2. Tính chất:

b và a

c và (b,c) =1 thì a.b

c (a,b,c ∈Z c≠ 0)
h) Nếu ab

c mà (b,c) =1 thì a

c (a ,b ,c ∈ Z ,c≠0).
3.Dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên
a, Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là số
chẵn
b, Dấu hiệu chia hết cho 3 (cho9)
Một số chia hết cho 3 ( cho9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của
nó chia hết cho 3 (cho9)
c, Dấu hiệu chia hết cho 4
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó
lập thành một số chia hết cho 4
d, Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó tận cùng bởi chữ số 0
hoặc chữ số 5
e, Dấu hiệu chia hết cho 8
Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó lập
thành số chia hết cho 8.
f, Dấu hiệu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số
“đứng ở vị trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng ở vị trí chẵn” (kể từ phải
sang trái) của số đó chia hết cho 11.

babbaaba
babbaaba
bababa
bababa
bababa
với mọi n∈Z và
n>2.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng
của số chục và 4 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 13.
Giải
Giả sử N đã cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b trong đó a,b
là các chữ số
và a≠0 . Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 khi và chỉ khi số
M = a+4b chia hết cho 13.
Ta có:
10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b là số chia
hết cho 13.
Do đó :
-Nếu M

13 thì 10M

13 mà 10M- N

13 nên N

13.
-Nếu N


a , a+1, a+2,… , a+n-1 (1)
Giả sử trong dãy (1) không có số nào chia hết cho n.
Như vậy khi chia mỗi số của (1) cho n thì số dư chỉ có thể là một
trong các số:1,2,3 ,n-1.
Vì có n số mà chỉ có n-1 số dư nên theo nguyên tắc Đirichlê ít
nhất phải có 2 số của (1) khi chia cho n có cùng số dư . Giả sử
2 số a+i và a+k trong đó 0 ≤ i ≤ k <n-1 chia cho n có cùng
số dư, khi đó
a+k –(a+i ) = k-i

n. Điều này vô lý vì 0 < k-i < n ,không thể
chia hết cho n.
Vậy trong (1) luôn luôn tồn tại một số chia hết cho n nên
tích của chúng chia hết cho n.
Chú ý: Câu a, câu b chỉ là trường hợp riêng của câu c khi n=2,n=3.
Vì vậyta có thể chứng minh câu c trước rồi áp dụng kết quả này với
n=2 để có a ,với n=3 để có b.
ví dụ 3. Tìm số dư trong phép chia
100
3
cho 7.
Giải
Ta có :
)7(mod1273
3
−≡=

nên
)7(mod1)3(3
33399

-Nếu N

17 thì 2N

17, do đó M+17a

17, suy ra M

17.
-Nếu M

17 thì M+ 17a

17 ,do đó 2N

17, suy ra N

17.
ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
a,
nn 11
3
+
chia hết cho6;
b,
nn 193
−
chia hết cho 6.
giải
a,

tổng các chữ số của nó chia hết cho 10 ?
Bài2. Cho N là số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm:
a,Hai chữ số tận cùng của số
20
N
b,Ba chữ số tận cùng của số
200
N
Bài 3. Chứng minh rằng số A=
105105
43
+
chia hết cho 13 nhưng
không chia hết cho 11
Bài 4, Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
22
nmnm
++

chia hết cho 9 là m,n chia hết cho3
CHUYÊN ĐỀ 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A –Một số kiến thức cơ bản
1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ:
22515;93
22
==
Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là

2
= (10b+4)
2
= 100b
2
+ 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục của số 100b
2
và 80b là số chẵn nên chữ số
hàng chục của N là số lẻ.
d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa
các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên
tố với số mũ lẻ .
Thật vậy ,giả sử A = m
2
=a
x
.b
y
.c
z
…trong đó a,b,c ,…là
các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương
thế thì ,
A = m
2
=

(a
x

2
là
số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k∈N) ,
Khi đó (2k+1)
2
= 4k
2
+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.
Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4
hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng
4n+2 hoặc 4n+3(n∈N)
b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k
±
1 (k∈ N)
khi đó bình phương của nó có dạng(3k)
2
=9k
2
là số chia hết
cho 3 ,hoặc có dạng (3k
±
1)
2
= 9k
2
±
6k +1 là số khi chia cho 3
thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới
dạng 3n+2(n∈N).
Ví dụ 2:

thời là 2 số chính phương
Trả lời
n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100,
do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ
nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121;
169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :
37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số trên chỉ có số 121=11
2
là một số chính phương.
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và
p+1 không thể là các số chính phương
Giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2
và p không chia hết cho 4 (1)
a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m
2
(m∈N)
Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m
2
là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .
Đặt m=2k+1 (k∈N)
Ta có m
2
= (2k+1)
2

Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang
theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số
chính phương không?