Chuyên đề 1
So sánh hai luỹ thừa
A. Mục tiêu.
- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài tập
mà các em thờng gặp là so sánh hai luỹ thừa.
- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa.
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
B. Nội dung chuyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc
cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lớn
hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ
lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính
chất đơn điệu của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách
đa 32
10
và 16
15
về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32

. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n N
*
)
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 5
23
và 6.5
22

b) 7.2
13
và 2
16

b) 3
39
và 11
21
.
Hớng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2

-72
43
.
Hớng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài5:Tìm x
N

biết:
a, 16
x
<128
4.

Hãy so sánh S với 5.2
8
.
Hớng dẫn: 2S=2+2
2
+2
3
+2
4
+....+2
10
.


2S-S=2
10
-1(2
10
=2
2
.2
8
=4.2
8
<5.2
8
).
Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 10.9
8

Bài9: So sánh a) 31
31
và 17
39
. b)
21
2
1
và
35
5
1

Hớng dẫn: a) 31
31
<32
31
=2
155
; 17
39
>16
39
= 2
156
.
b) So sánh 2
21
với 5
35

bằng 01 ; 25 ; 76 .
c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 001 ; 376 ; 625.
- Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng
bằng 0625.
3. Một số chính phơng thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.
II. áp dụng làm bài tập .
Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10.
a) 17
5
+ 24
4
- 13
21
.
b) 51
n
+ 47
102
.
Hớng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.
Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 7
4n
- 1 chia hết cho 5.
b) 3
4n+1
+ 2 chia hết cho 5.



N
*
)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của .
99
a) 51
51
b) 99
99
c) 6
666
d) 14
101
. 16
101
Hớng dẫn : đa về dạng (a
n
)
m
, trong đó a
n
có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 .
Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa
số ?
* Hớng dẫn : Dùng P
2
để loại trừ.
- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số
tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ

30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phơng.
Hớng dẫn: 2S = 3S - S =3
31
-1 =3
28
. 3
3
-1.
= ( 3
4
)
7
. 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6.


2S = ...6

S = ...3.
Số chính phơng không có tận cùng là 3

đpcm.
Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng 1
mà viết đợc dới dạng 8
m
+5
n
(m,n


+ 5
n
với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.

Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:
n
2
= 20072007... 2007không?
Hớng dẫn: n
2
= 20072007... 2006.
n
2
là số chính phơng có tận cùng là 6

2.


n
2


4. Mà 20072007... 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không
chia hết cho 4).
Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 5
1994
.
Hớngdẫn: 5

tận cùng là 0625

5
4m+2
tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2

5
1994
tận cùng là 5625
Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n
5
là nh nhau.
Hớng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n

chữ số tận cùng tơng ứng của
n
5
.
Cách2: Đa về chứng minh ( n
5
- n )

10
Biến đổi n
5
- n = n.(n-1).(n +1).(n
2+1
).