Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

PHẦN I:
MỞ ĐẦU
A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
1/ Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là
một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương
pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút
gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài
toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau
này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học
sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải
những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và đònh hướng được
một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành
nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử” để dạy cho học sinh .
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả,
bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện
và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân
tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận đònh một số sai sót khi làm bài tập và
hướng khắc phục cho học sinh.
2/ Thực trạng vấn đề:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

25/10/07 5 Chiều Phương pháp đặt nhân
tử chung và luyện tập.
4 Trường Tiến Thành
27/10/07
7 Chiều Phương pháp dùng 4
”
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
hằng đẳng thức và
luyện tập.
1/11/07
5 Chiều Phương pháp nhóm
và luyện tập.
4
”
3/11/07
7 Chiều Phương pháp tách và
luyện tập.
4
”
8/11/07
5 Chiều Phối hợp các phương
pháp trên và luyện
tập.
4
”
10/11/07
7 Chiều Phương pháp dùng hệ
ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung
theo công thức sau : A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y.
Giải : Ta có : 3x – 6y = 3 .x – 3 .2y
= 3 ( x – 2y) .
•
Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung
theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác đònh được
nhân tử chung .
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x).
Giải :
Ta có : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y)
= (x – y)(3 + 5x) .
•
Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x)
nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để
xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung .
Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện
cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích.
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

– 21xy
2
+ 28x
2
y
2
.
Bài 2: Tìm x biết x
3
+ x = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả như sau:
Bài 1:
a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) .
b, x
2
+ xy – x = x(x + y -1 ) .
c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y
= 2(x –y )(5x + 4y).
d, 14x
2
– 21x y
2
+ 28x
2
y
2

∀
x).
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 5
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Vậy x = 0 .

Bài 3: Ta có n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1)
= n( n + 1)(n + 2).
Khi n
∈
Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên
M
2; 3 mà(2,3) =1 do
đó n( n + 1)(n + 2)
M
6.

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2

3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB + B
2
)
Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh
phải học thuộc các hằng đẳng thức .

a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– 6xy + 9y
2
.
Giải :
Ta có : x
2

)(x +
7
).
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 6
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
•
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được
viết dưới dạng một lũy thừa 7 = (
7
)
2
.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình
phương.
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)
2
– (y – t)
2
.
Giải :
Ta có : (x – y)
2
– (y – t)
2
= [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
= (x – y + y – t )(x – y – y + t)
= (x – t )(x – 2y + t).
•

2
– 25
b, 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80.45.
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a, ( 3x – 1)
2
+ 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)
2
b, (6x + 1 )
2
+ (6x -1 )
2
– 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả:
Bài 1 : a, x
2
– 4y
2
= x
2
– (2y)
2
= (x + 2y)(x – 2y).

2
– 25 = 105
2
– 5
2
= (105 + 5)(105 – 5)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 7
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= 110.100
= 11000.

b , 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80.45 = (45
2
+ 2.40.45 + 40
2
) – 15
2
= (45 + 40)
2
– 15
2
= 85

= 4.
NHÓM CÁC HẠNG TỬ
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + 2.
Giải :
Ta có : 5x(x – 2) – x + 2 = 5x(x – 2) – (x – 2 )
= (x – 2) (5x – 1) .
•
Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba
với nhau ta được nhân tử chung là x – 2.
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– x – y
2
– y .
Giải :
Ta có : x
2
– x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x + y )
= (x + y ) (x – y) – (x + y )
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 8

, 6x , 9 thành một
nhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương để ta phân tích.
Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a.
x
2
+ 4x – y
2
+ 4.
b.
3x
2
– 3xy – 5x + 5y.
c.
x
3
– 2x
2
+ x – xy
2
.
d.
x
2
– 4 + (x – 2)
2



+ y ) (x + 2 – y).
b. 3x
2
– 3xy – 5x + 5y = (3x
2
– 3xy) – (5x – 5y)
= 3x (x – y) – 5 (x – y)
= (x – y) (3x – 5) .
c. x
3
– 2x
2
+ x – xy
2
= x(x
2
- 2x + 1 – y
2
)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 9
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= x[(x
2
- 2x + 1) – y
2
]
= x[(x – 1)

= (x + 3 + y )(x + 3 – y).
Do đó (x + 3 + y )(x + 3 – y) : (x + 3 + y ) = x + 3 – y .
b. Ta có: x
2
– 3x + xy – 3y = (x
2
– 3x) + (xy – 3y)
= x (x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3) (x + y) .
Do đó (x
2
– 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – 3 .
Bài 3 : Ta có : x
2
- 2xy + y
2
+ 1 = (x
2
- 2xy + y
2
) + 1
= (x – y)
2
+ 1
Vì (x – y)
2
≥
0 với
∀
x, y

b
1
. b
2
= a. c
Trong thực hành ta có thể làm như sau :
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 10
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b .
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
-10x +16.
Giải : Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 2x – 8x + 16
= (x
2
– 2x) – (8x – 16)
= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
= (x – 2)(x – 8).
•
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và
đặt nhân tử chung.

2
+ 2x )+ (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3) .
Nên x
2
+ 5x + 6 = 0
⇔
(x + 2)(x + 3) = 0

⇔
x + 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
+ x + 2 = 0
⇔
x = -2 .
+ x + 3 = 0
⇔
x = -3 .
Vậy x = -2; -3.
* Nhận xét:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 11
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều
chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành
giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện được kỹ
năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử
dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức
thành nhân tử.

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực hiện được:
Bài 1 : a. – 5x
2
+16x

– 3 = -5x
2
+ 15x + x – 3
= (-5x
2
+ 15x) + (x – 3)

= -5x(x – 3) + (x – 3)
= (x – 3) (-5x + 1).
b. x
2
– 7x + 12 = x
2
– 3x – 4x + 12
= (x
2
– 3x) – (4x – 12)
= x(x – 3) – 4(x – 3)
= (x – 3 )(x – 4 ).
c. 2x
2
+ 3x – 5 = 2x
2
+ 5x – 2x – 5

∀
x.
b. Ta có -x
2
- x - 1 = -[( x
2
+ 2.x.
1
2
+(
1
2
)
2
+
3
4
]
= – [(x +
1
2
)
2
+
3
4
] < 0 .
Bài 3 : a. Ta có : A = x
2
– 6x + 11 = x

2
)
2
–
25
2
–1.
= –
27
2
+ 2(x +
5
2
)
2

≥
–
27
2
.
Vậy B
min
= –
27
2
tại x = -
5
2
.

=
25
4
tại x =
5
2
.
* PHỐI HP CÁC PHƯƠNG PHÁP:
MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯC NHIỀU CÁCH
HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 13
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x
2
+ 6xy + 3y
2
– 3z
2
.
Giải :
Ta có 3x
2
+ 6xy + 3y
2
– 3z
2
= 3(x
2

= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
(x – 2)(x – 8).
Cách 2: Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 4 – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 và 20 )
= (x
2
– 4) – (10x – 20)
= (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 – 10)
= (x – 2) (x – 8).
Cách 3: Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 4x + 4 – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và -6x ;
= (x
2
– 4x + 4) – (6x – 12) 16 thành 4 và
12)
= (x – 2)
2
– 6(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 – 6)
= (x – 2) (x – 8 ).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x
2
– 3x – 1.

2
– 4 – 3x + 3 (Tách -1 thành -4 và 3)
= 4(x
2
– 1) – 3( x –1)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 14
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).
* Nhận xét :
Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có chung
một kết quả. Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải một số
bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so
sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.
Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
3
– 2x
2
y + xy
2
– 9x
b. 2x – 2y – x
2
+ 2xy – y
2

Giải : Ta có 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3
– x
2
– 4 x
2
+ 2x + 6x – 3
= (2x
3
– x
2
) –

(4 x
2
– 2x) + (6x – 3)
= x
2
(2x – 1) –

2x(2x – 1) + 3(2x – 1)

= (2x – 1) (x
2
–


1
x + d
1
= (ax + b ) (cx
2
+ dx + m). (*)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 15
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


a
1
x
3
+ b
1
x
2
+ c
1
x + d
1
= cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
Đồng nhất các hệ số với nhau ta được:

– 5x
2
+ 8x – 3 = cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3.
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.
Xét a = 2
⇒
c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng
±
1;
±
3.
Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có :
2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = (2x – 1)(x
2
– 2x + 3).
Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x
3
+ 3x
2

+ =


+ =


=

Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1.
Xét a = 1
⇒
c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng
±
1 ;
±
2
Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :
x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2 = (x + 2)(x
2
+ x + 1).
* Nhận xét:
Khi sử dụng phương pháp hệ số bất đònh dựa vào mối quan hệ của các hệ số để ta đưa
ra các giá trò tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trò tiếp theo của các hệ số còn lại .
b/ Bài tập tự luyện :
…………………………………………………………………………….

⇒
c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b có thể bằng
±
1 ;
±
2
Xét b = -2 thì m = 1, d = -8, thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 1.
2x
3
– 12x
2
+ 17x – 2 = (x – 2)(2x
2
– 8x + 1).

b. Đa thức 3x
2
– 22xy– 4x + 8y + 7y
2
+ 1 phân tích được thành nhân tử có dạng
(3x + ay + b)(x + cy + d).
Phép nhân này cho ta kết quả 3x
2
+ (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy
2
+ bd.
Đồng nhất đa thức với đa thức 3x
2
–22xy– 4x + 8y + 7y

 

…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 17
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 3)(x – 4) với
x∀
.
Với x = 4 thì a = -2. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3).
*
5 2 7
5 1 6
b b
c c
+ = − = −
 
⇒
 
+ = − = −
 
Thay vào (1) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với
x∀
.
Với x = 6 thì a = -8. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6).
Bài 3:
Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải.
Kết quả: (x + 9)(x + 5) + 3 = (x + 8)(x + 6) với m = 9.
(x +1)(x + 5) + 3 = (x + 2)(x + 4) với m = 1.
ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ

phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau khi phân tích xong ta phải đổi về biến cũ.
* Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A* = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m .
- Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :
+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)]
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 18
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
và đặt y = x
2
+ (a + b)x +
2
ab cd+
.
+ Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)]
và đặt y = x
2
+ (a + c)x +
2
ac bd+
.
+ Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)]
Và đặt y = x
2
+ (a + d)x +
2
ad bc+
.
p dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :

2
– 10) – 72
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72
c. (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ (c – a)
3
Bài 2 : Giải phương trình
(6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) = 6
Bài 3 : Tìm giá trò nhỏ nhất của
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:
Bài 1:
a. Ta có : (x + 2) (x – 2)( x
2
– 10) – 72 = (x
2
– 4)( x
2
– 10) – 72
Đặt x
2
– 7 = y, đa thức trên trở thành :
(y – 3)( y + 3) – 72 = y
2

– 9x + 20) - 72
Đặt x
2
– 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau:
(x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x
2
– 9x + 26)( x
2
– 9x + 8).
= (x
2
– 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
c. Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y).
Từ đó đa thức có dạng :
x
3
+ y
3
+ z
3
= x
3
+ y
3
– (x + y)
3
= (x + y)(x
2
– xy + y

3
+ X
3
= 3XYZ
Bài 2 :
Giải phương trình
(6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) = 6
 (6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 (6x + 7 )
2
(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y
2
(y + 1)( y – 1) = 72
 y
4
– y
2
– 72 = 0
 y
4
– 9y
2
+ 8y – 72 = 0
 y
2

3
−
.
Bài 3 : Ta có :
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 20
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
= (x
2
+ 5x – 6)( x
2
+ 5x + 6)
Đặt x
2
+ 5x = y khi đó A = y
2
– 36
≥
-36
A
min
= -36
⇒
x
2
+ 5x = 0
⇔

n
thì f(x) được phân tích thành nhân tử là f(x) = a
n
(x –c
1
)(x –c
2
)….(x –c
n
) .
(Vì lý do sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai đònh lý trên ) .
Do máy tính Casio fx-570MS có chức năng giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinh
biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm của phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đa
thức thành nhân tử .
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 :
Cho đa thức P(x) = 2x
2
+ 4x – 6.

a/ Tìm x để P(x) = 0.
b/ Em hãy phân tích P(x) thành nhân tử.
Giải :
a/ P(x) = 0  2x
2
+ 4x – 6 = 0 .
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE
3
(EQN) 1

P(x) = 2(x – 1) (x + 3).

Ví dụ2 :
Cho đa thức f(x) = 5x
3
– 10x
2
– 25x + 30 .
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ Để f(x) = 0 thì 5x
3
– 10x
2
– 25x + 30 = 0
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE
3
(EQN) 1
>
(Degree) 3
5

=

( )−

1
0

Cho f(x) = x
3
– 3x
2
– 3x – 4
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ f(x) = 0  x
3
– 3x
2
– 3x – 4 = 0.
Quy trình bấm phím giống như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm là x = 4.
b/ Theo câu a thì f(x) có nghiệm là 4.
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:
Vậy x
3
– 3x
2
– 3x – 4 = (x – 4)(x
2
+ x +1).
Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = 10x
5
– 81x
4
+ 90x
3

ALPHA

x

^

4

+

9

0

ALPHA

x

^

3

−

1
0

2

ALPHA

SHIFT

SOLVE

SHIFT

SOLVE
chờ một chút máy cho kết quả x =
1
2
.
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:
x 10 -81 90 -102 80 -21
1
2
10 -76 52 -76 42 0
Vậy f(x) = (x -
1
2
)(10x
4
– 76x
3
+ 52x
2
- 76x + 42).
g(x)
Sau đó nhập đa thức g(x) = 10x
4
–76x

+

5

2

ALPHA

x

^

2

−

7
6
ALPHA

x

+

4

2

ALPHA


2
+ 5x - 3)
= 2 (x -
1
2
)(x – 7)[ x
2
( 5x – 3) + (5x - 3)]
= (2x -
1
)(x – 7)( 5x – 3)( x
2
+ 1).
Chú ý:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 23
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Trong quá trình đi tìm nghiệm trên máy đôi khi thứ tự nghiệm máy cho kết quả không
giống nhau (thì ta cũng dùng sơ đồ Hoocne phân tích ứng với nghiệm mà máy đã tìm ra )
nhưng tập nghiệm của phương trình là như nhau .
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
5
– 4x
4
+ 2x
3
– x

Bài giải đúng
Bài toán 1: Phân tích đa thức
3x
2
– 6x thành nhân tử
Học sinh 1 :
Ta có: 3x
2
– 6x = 3(x
2
– x )
Học sinh 2 :
Ta có: 3x
2
– 6x = x(3x – 6 )
Thiếu sót :
Cả hai học sinh đặt được nhân tử
chung tuy nhiên vẫn còn thiếu.
Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân
tử x
Ởû học sinh 2 thiếu nhân tử 3.
Khắc phục :
Ta có: 3x
2
– 6x = 3x(x - 2)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 24
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Nhắc laiï cách tìm nhân tử

2
+ 4x) +
(4 – y
2
) = x (x + 4) + (2 – y)
(2 + y) .
Bài toán 2: Phân tích các đa
thức sau thành nhân tử.
a. x
2
– 9y
2
a.
b. (x –
y )
2
– (2y – z)
2
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có :
x
2
– 9y
2
= (x + 9y)( x

– 9y).
Học sinh 2 :
Ta có :

dạng một lũy thừa, 9y
2
≠
(9y)
2
.
* Khi hạng tử B trong hằng đẳng
Ta có : x
2
– y
2
+ 4x + 4 =
(x
2
+ 4x + 4) – y
2
= (x – 2)
2
– y
2
= (x – 2 + y)(x – 2 – y ).

Ta có : x
2
– 9y
2
= x
2
– (3y)
2