Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A: Đặt vấn đề

I. Lời mở đầu
Trong trờng phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ cho
các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên. Nội dung chơng trình và phơng
pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở phổ thông. Vì
vậy môn Toán đã đợc Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ trực
quan đến t duy trừu tợng để học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết,
đã tiếp thu đợc trong trờng phổ thông. Trong chơng trình toán nói chung và phân môn
Đại số nói riêng thì phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong
giảng dạy toán phổ thông. Phần này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội
dung lớn của chơng trình Đại số, xuyên suốt chơng trình toán phổ thông.
Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các em
học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc cần thiết
phải có cách t duy và những phơng pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó
có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà cho nhiều loại toán khác
có liên quan. Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về: Một số kinh nghiệm trong phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đa ra phơng án giải một bài
toán đúng thì đa số các em thờng bí trớc những vấn đề mới, chỉ một phần ít các em
giỏi có thể tự mình tìm ra đợc đờng lối đúng, vì vậy việc tìm ra một phơng pháp chung
cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công việc này ngời thầy đóng vai trò
là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức. Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về
kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
THCS.


hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.

B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1, Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản.
2, Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
- Các phơng pháp thông thờng.
- Một số phơng pháp phân tích đa thức khác.
- Một số bài tập áp dụng.

II . Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn2 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy
tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức
cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi
dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của
nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)


(Đặt NTC)

Để phối hợp nhiều phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các
bớc sau đây:

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn3 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử
chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn
điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy
làm gì để phân tích đợc. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng
phơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là
(a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .

Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích
thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm các bài
toán khó.
+ Phơng pháp tách hạng tử.
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ.
+ Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phơng pháp dùng hệ số bất định.
+ Phơng pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể:
2.2.1: Phơng pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp
làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn5 vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)



Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2
(thêm 4x2, bớt 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2

(nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2

(dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta
cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phơng của 1 tổng
hay hiệu hai bình phơng... thì mới phân tích triệt để đợc.
ở ví dụ 6, P1 đã có bình phơng hạng tử (x2) và bình phơng hạng tử (2). Vậy muốn là hằng

đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó. Do đó ta thêm 2.x 2.2 = 4x2 thì đồng thời
phải bớt 4x2.
2.2.3) Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

x2 + x + 6 = (x +

1 2
3
) + 5 . Do vậy không phân tích tiếp đợc nữa
2
4

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.2.4) Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta có:
Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x 2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp đợc
dựa vào các phơng pháp nêu ở trên.
Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1.
đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d (hệ số không
đổi). Nếu ớc nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2

Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b.

81a4 + 4

(thêm bớt hạng tử)

Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
1c:

(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).

Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
1d:

x3 - 2x2 - x + 2

(phơng pháp tìm nghiệm).

Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân
tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M=

a 3 4a 2 a + 4
với a = 102
a 3 7 a + 14a 8

Gợi ý:

Gợi ý:
+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên tiếp ắt
phải có một số chia hết cho 3 vậy: A 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong hai số
đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn10vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
4b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dơng tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:
+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích
A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7

Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp
thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho
phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích
học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì ngời thầy giáo cần phải
tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra
cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cách giải hay,
tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách
giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích
đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng
phân tích đa thức thành nhân tử. Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi
đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng
nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho
việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chơng trình mới THCS.
Thiệu Dơng, ngày 23 tháng 3 năm 2011
Ngời thực hiện

Kớnh cho quý thy cụ v cỏc bn.
Li u tiờn cho phộp tụi c gi ti quý thy cụ v cỏc bn li chỳc tt p nht.
Khi thy cụ v cỏc bn c bi vit ny ngha l thy cụ v cỏc bn ó cú thiờn hng lm
kinh doanh

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn12vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Ngh giỏo l mt ngh cao quý, c xó hi coi trng v tụn vinh. Tuy nhiờn, cú l

l mang v doanh thu cho Satavina, ng nhiờn h n cm thỡ chỳng ta cng phi cú chỏo
m n ch, khụng thỡ ai di gỡ m lm vic cho h.
Vy chỳng ta s lm nh th no õy. Thy cụ v cỏc bn lm nh ny nhộ:
1/ Satavina.com l cụng ty nh th no:
ú l cụng ty c phn hot ng trong nhiu lnh vc, tr s ti tũa nh Femixco, Tng 6,
231-233 Lờ Thỏnh Tụn, P.Bn Thnh, Q.1, TP. H Chớ Minh.
GPKD s 0310332710 - do S K Hoch v u T TP.HCM cp. Giy phộp ICP s
13/GP-STTTT do S Thụng Tin & Truyn Thụng TP.HCM cp.qun 1 Thnh Ph HCM.
Khi thy cụ l thnh viờn ca cụng ty, thy cụ s c hng tin hoa hng t vic c
qung cỏo v xem video qung cỏo( tin ny c trớch ra t tin thuờ qung cỏo ca cỏc
cụng ty qung cỏo thuờ trờn satavina)

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn13vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2/ Cỏc bc ng kớ l thnh viờn v cỏch kim tin:
ng kớ lm thnh viờn satavina thy cụ lm nh sau:
Bc 1:
Nhp a ch web: vo trỡnh duyt web( Dựng trỡnh duyt firefox,
khụng nờn dựng trỡnh duyt explorer)
Giao din nh sau:

nhanh chúng quý thy cụ v cỏc bn cú th coppy ng linh sau:
/>( Thy cụ v cỏc bn ch in thụng tin ca mỡnh l c. Tuy nhiờn, chc nng ng kớ
thnh viờn mi ch c m vi ln trong ngy. Mc ớch l thy cụ v cỏc bn tỡm hiu

+ Nhp mó xỏc nhn: nhp cỏc ch, s cú bờn cnh vo ụ trng
+ Click vo mc: tụi ó c k hng dn.....
+ Click vo: NG K
Sau khi ng kớ web s thụng bỏo thnh cụng hay khụng. Nu thnh cụng thy cụ v cỏc bn
vo hũm th ó khai bỏo kớch hot ti khon. Khi thnh cụng quý thy cụ v cỏc bn vo
web s cú y thụng tin v cụng ty satavina v cỏch thc kim tin. Hóy tin vo li nhun
m satavina s mang li cho thy cụ. Hóy bt tay vo vic ng kớ, chỳng ta khụng mt gỡ,
ch mt mt chỳt thi gian trong ngy m thụi.
Kớnh chỳc quý thy cụ v cỏc bn thnh cụng.
Nu quý thy cụ cú thc mc gỡ trong quỏ trỡnh tớch ly tin ca mỡnh hóy gi trc tip
hoc mail cho tụi:

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn15vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Dng Vn Dng
Email ngi gii thiu:
Mó s ngi gii thiu:
00022077
Quý thy cụ v cỏc bn cú th coppy Link gii thiu trc tip:
/>Di ng:
0168 8507 456
\
2/ Cỏch thc satavina tớnh im quy ra tin cho thy cụ v cỏc bn:
+ im ca thy cụ v cỏc bn c tớch ly nh vo c qung cỏo v xem video qung

Lu ý: Ch khi thy cụ v cỏc bn l thnh viờn chớnh thc thỡ thy cụ v cỏc bn mi c
phộp gii thiu ngi khỏc.

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh

Đơn16vị: Trờng THCS Thiệu Dơng


Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:

Một số kinh nghiệm trong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Hóy gii thiu n ngi khỏc l bn bố thy cụ v cỏc bn nh tụi ó gii thiu v hóy
quan tõm n nhng ngi m bn ó gii thiu v chm súc h( khi l thnh viờn thy cụ
v cỏc bn s cú mó s riờng).Khi gii thiu bn bố hóy thay ni dung mc thụng tin ngi
gii thiu l thụng tin ca thy cụ v cỏc bn. Chỳc quý thy cụ v cỏc bn thnh cụng v cú
th kim c 1 khon tin cho riờng mỡnh.
Nu cú gỡ cn h tr quý thy cụ v cỏc bn hóy gi in, hay gi Email cho tụi, tụi s
gii ỏp v h tr sm nht.
Dng Vn Dng
Email ngi gii thiu:
Mó s ngi gii thiu:
00022077
Quý thy cụ v cỏc bn cú th coppy Link gii thiu trc tip:
/>Di ng:
0168 8507 456
Website:
vandung80.violet.vn

Ngời thực hiện: Dơng Văn Thanh