PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm :
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ :
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
6. Đặc biệt khi M là trung điểm của AB thì ta có :
A B A B A B
M M M
x x y y z z

+ +

=



Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r
a) Tìm tọa độ các vecto đó
b) Tìm cosin của các góc
( ) ( )
; , ;u i v j
r r r r
c) Tính tích vô hướng của
. , . , .u v u w v w
r r r ur rur
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Tính tích vô hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)

⊥
AD, AD
⊥
AB
10. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2

2
+3x + 4y – 5z +6 = 0
2 2 2
2 2 2 8 4 12 100 0x y z x y z+ + + − − − =
f) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z – 2)
2
= 49
g) x
2
+y
2
+z
2
–2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a. Có tâm I(1 ;0 ;-1) , đường kính bằng 8.
b. Dường kính AB với A(-1 ;2 ;1 ) , B(0 ;2 ;3).
c. Có tâm O(0 ;0 ;0 ) và tiếp xsc với mặt cầu (S) có tâm (3 ;-2 ;4) bằng kính bằng 1.
d. Có tâm I(3 ;-2 ;4) và đi qua A(7 ;2 ;1).
e. Có tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xy).
f. Có tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xz)

u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
2
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
2.
u v v u∧ = − ∧
r r r r
3.
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
5. A, B, C , D không đồng phẳng hay lập thành một tứ diện
; . 0AB AC AD
 
≠
 

uuur uuur uuur
Bài tập:
Bài 1.
a. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ;1 ;0) , B(0 ;2 ;1), C(1 ;0 ;2), D(1 ;1 ;1)
b. Chứng minh rằng bốn điểm trên lập thành tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện đó.
c. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
d. Tính diện tích tam giác ABC. Tính đường cao AH của tam giác ABC.
e. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
f. Viết phương trính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2.
a. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1 ;0 ;0), B(0 ;0 ;1), C(2 ;1 ;1).
b. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
c. Tính chiều cao AH của tam giác ABC.
d. Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành.
e. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
f. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
a. Định nghĩa .
Cho vecto
0n ≠
r
có giá vuông góc với mặt phẳng được gọi là vecto pháp tuyến.
chú ý . Để viết phương trình mặt phẳng cần VTPT và điểm đi qua .
Nếu mp
α
có 2 VTCP là
,AB CD
uuur uuur
có thể VTPT bằng cách

2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
3. Các trường hợp đặc biệt:
Chứa trục Ox ( chứa
1
(1;0;0)e =
ur
)
Chứa trục Oy ( chứa
2
(0;1;0)e =
uur
Chứa trục Oz chứa
3
(0;0;1)e =
ur
3
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
c) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ

a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ.
9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ
10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2;
-1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD

≡ ⇔ ⇔
 
=
=




r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=

a) (
α
) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z
− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (

( )
≠
r ur
n= A;B;C 0
của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x - x +B y- y +C z - z = 0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D=0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m=0
,

n MN MP
∈



 
=

 

r uuuur uuur

2)mp(P)đi qua 2 điểm A;B và song song trụcox PP:
3)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song oy PP:
4)mp(P) đi qua 2điểm A;B song song oz PP:

5)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song d PP:
6)mp(P) đi qua 2 điểm A;B và vuông góc mp(Q) PP :
7)mp(P) đi qua 2điểm A;B và song song đường thẳng CD pp:
8)mp(P) đi qua điểm A song song mp(Q) PP:
9)mp(P) đi qua A và vuông góc với d PP:
( )
P
d
A P
n u
∈




r uuuur uur
14)mp(P) chứa d và vuông góc (Q)
( )
M d∈
PP:
( )
,
P d Q
M P
n u n
∈



 
=

 

uur uur uur
15)mp(P) chứa
1 2
àd v d
cắt nhau tại M PP:
16)mp(P) chứa 2 đường thẳng
1 2
d songsongd
(biết M
1 2
àNd v d∈ ∈

( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính
khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia.
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng
cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
6
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .

a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt
cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm
D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là
gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0;
0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt
phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )

0
x x y z
y z
− + − +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
không cắt mặt cầu (S) .
21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).

+z
2
- 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
Định ngĩa : Vecto có giá nằm trên đường thẳng hoặc song song với đường thẳng gọi là veto chỉ phương
(VTCP) của đường thẳng đó.
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

2. Chú ý.
Để viết phương trình đường thẳng ta phải VTCP và điểm đi qua
a)
Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

α
B1: Tìm VTPT của (α) là
n
α
uur
.
B2: Vì
( )d
α
⊥
nên
d
u n
α
=
uur uur
.Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 4: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
B1: Tìm
1 2
,
d d
u u
uur uur
B2:Vì d vuông góc với d
1

2.H là hình chiếu của M (
1 1 1
( ; ; )M x y z
trên đường thẳng d :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
B1 :Tìm VTCP của d.
B2 : Lấy
0 0 0
( , ; )H x at y bt z ct+ + +
∈
d. ; Tính
MH
uuuur
.
B3 : H là hình chiếu của M lên d
d

H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

b/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt(d) :
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (d) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :

/
/
/
2
2
2
H M

x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
3
2
1 5
x t
y
z t
= −


∆ =


= − +

4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vng góc

( ) : 3 27 0
1 2
1
2
x y z
x y z
x t
y t
t
α
α
− + + =
+ − − =
= +


= − −



( ) : 2 2 11 0x y z
α
− + + =
11. Cho điểm M ( 2;1;0) và mặt phẳng
( ) : 3 27 0x y z
α
+ − − =
. Tìm tọa độ M
’
đối xứng với M qua



= +

10
Xét hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
0
0
0
1
2
3
0 4
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +


= +


= +




= + + − − =


= +

b)
( )
1
: 2 ; : 3 1 0
1 2
x t
d y t P x y z
z t
= +


= − + + + =


= +

c)
( )
1
: 1 2 ; : 4 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho
∆
qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r∆
’ qua M’(x’
0
; y’
0
; z’
0
) và có vectơ chỉ phương
( )

11
TH1:
'M ∈∆
thì hai đường thẳng trên trùng nhau
TH2:
'M ∉∆
thì 2 đường thẳng trên song song
*) Nếu thấy
'u ku≠
r ur
thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
0 0
0 0
0 0
' ' '
' ' '
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
+ = +


+ = +


+ = +

TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau


∆ = ∆ = =

− −

= − −

c)
1 7 3 6 1 2
: ; ':
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− − − − + +
= = = =
−
d)
1
2 3
: ; ': 2
1 2 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= +

+ +


b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
16. Cho 2 đường thẳng
1 3 '
4 2 ; ' 3 2 '
3 2
x x t
d y t d y t
z t z
= = −
 
 
= − + = +
 
 
= + = −
 
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
12
13