1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1)
b) x 1 + x
n + 3
x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) = ax
2
a
2
x + a x = ax(x a) (x a) = (x
a)(ax 1).
b). x 1 + x
n
(x
3
1) = (x 1)[1 + x
n
(x
2
+ x + 1)] = (x 1)(x

y xy x xy x y xy x y + +
= + = =
ữ
ữ

+ Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y
).
+ Xét 4 trờng hợp:
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B
x y x y
+

Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
HD:
a). P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6 = 2x
4
6x

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+
=
+
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120
cm. Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

+ + + +
ữ

Câu 6: Cho 3 số dơng a, b, c.

2
b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta
kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4 Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9
A
2 6

nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và
AD. Cho
AB DC
MN
2
+
=
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca
2
+ bc
2

(a + 1) b
2
(b 1) + ab 3ab(a b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3


ữ

x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2
2a a


+ +
ữ
+ +


a)Tìm x để B có nghĩa.
b)Rút gọn B.

Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF
và EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:
1)Chứng minh rằng phơng trình x
4
x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8
Câu 1: Cho phân thức:
4 2
3
x 2x 1

2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x
2
9x + 6.
1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.
9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
9 Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a
2


+ + = + +
ữ

(Trong đó x là
ẩn)
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +
=
+
10 Câu 3:
Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:
2
4
5 0
x 2x 2


+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào
biến x
11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
11
Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =
+

11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C
xy 2z yz 2x xz 2y

= = =
+ + +

+ (3x 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam
giác đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM =
FE.
12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J.
Chứng minh rằng:
AB AC
6
AI AJ
+ =

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc
+ ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
góc FAE = 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông
ABCD.
13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + =
.
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
( )
1 1 1
a b c 1
a b c

+ + + + =
ữ

Tính giá trị của biểu thức: (a


=
.
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các
tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc
COD = 90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.
16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:
5n 11
A
4n 13

=

.
16
Câu 5:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên
đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại
P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
7x 6
17 Câu 2: (6đ)
Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây
và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số
cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ
nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau.
Hỏi trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây?
17 Câu 3: (4đ)
Cho biểu thức:
3

+ + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1
=
+ +x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dơng n để: n
1988
+ n
1987
+ 1 là số nguyên tố.
18 Câu 5: (3đ)
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm

+
z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng
thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng
minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m


= + + + +
ữ ữ


20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985
1986
. Hỏi tổng của haio số đó có
phải là bội của 1986 hay không?
20 Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3
.
21
Câu 3: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
21 Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
+ 8x
2
+ 10x + 15 = 0.
21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của
góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt
đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD.
21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20
0

2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
+ +
=
+
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.
23
Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:
2
2
x 2x 1995
A (x 0)
x
+
= >
23

1
a b c
3
+ +
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và
OBC đồng dạng.
2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD
sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của
tổng các chữ số của nó.
25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
tam giác để biểu thức sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ + +
đạt giá trị nhỏ
nhất.
25 Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x 1)
1995
+ y
1996
+ (z + 1)

12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao
cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân
giác của góc DIB.
26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lợt là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD.
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
27 Câu 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2
c + 2bc
2

4abc.
27 Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x
2
+ x 6.

28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N
sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).
28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh
và Q là trung điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a
2
b
2
= c
2

d
2
.
Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số.
29 Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dơng thoả mãn điều kiện a + b = 1
thì:
3 3 2
a b 2(b a)
b 1 a 1 (ab) 3

=
+

+ n
4
chia hết cho 16, với
mọi n là số nguyên.
30 Câu 3:
1). Giải phơng trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

+ =

2). Giải bất phơng trình:
x 1 4 x
2
2 2
+

30 Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau

x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)
+ +
=

Trong đó a, b là hằng số.
30 Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh
xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đờng thẳng
vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM.
2). Chứng minh rằng: BC

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)

+ + = + +

31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đờng
phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.
1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ
dài của đoạn thẳng IG.
31 Câu 6:
1). Cho tam giác ABC có góc A = 30
0
. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng: AD
2
= AB
2
+ AC
2
.
2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số
đo là 47058,5
0
. Tính số cạnh của đa giác?.
32 Câu 1:
1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn n thì: n
3
+ 20n chia hết cho 48.
2). Phân tích đa thức thành nhân tử: (x a)b
3

chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.
Chứng minh rằng AO vuông góc với IB.
32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia
AB và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC.
33 Câu 1:
1). Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
4x + 3 bằng hai cách.
2). Cho A(x) = 8x
2
26x + m và B(x) = 2x 3. Tìm m để A(x) chia hết cho
B(x).
33 Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
(x a)(x 5) 0
33
Câu 3: Giải phơng trình:
2
x 1 a(x 1) 0
+ =
33 Câu 4: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên
tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI
cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh K, M, H thẳng
hàng.
33 Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 45
0
.
Gọi O là giao điểm hai đờng chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai
cách.
34 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x

3
= = =
Chứng minh rằng a = b = c.
34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng đ-
ờng thẳng song song với đờng chéo AC, đờng thẳng này cắt AD tại E. Chứng
minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.
35 Câu 1:
1). Chứng minh rằng: 8351
634
+ 8241
142
chia hết cho 26.
2). Chứng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A có dạng:
{


999 so 6
1998 so 1 1000 so 1
A 11 1 11 1 66 6 8


= + + +
1442 443 1442 443
35
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
4
4 2
x 1
B

A 1 1 1 1
2 3 4 1998

=
ữ ữ ữ ữ

36 Câu 2: Phân tích đa hức thành nhân tử:
1). x
2
x 12
2). x
2
+ 8x + 15
36
Câu 3: Chứng minh rằng:
(x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1 +
36 Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0.
36 Câu 5:
Cho tam giác ABC (BC < AB). Từ C vẽ đờng vuông góc với đờng phân giác
BE tại F và cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G.
Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE.
37 Câu 1: (3,5đ)
Cho biểu thức:
2 2

+ 2BH
2
+ DH
2
37 Câu 3: (1,5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E
và F lần lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM. Xác định M trên
BC để tổng BE + CF lớn nhất.
37 Câu 4
37 Câu 5:
38 Câu 1:
1). Xác định giá trị của m để bất phơng trình sau vô nghiệm:

2
(m 3m 2)x 3 2m +
2). Giải và biện luận phơng trình ẩn x sau:
x 2 x 1
x m x 2

=38
Câu 2: Cho
a b c 0 >
. Chứng minh rằng:
a b c b a c
b c a a c b
+ + + +
38 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ


5.
39 Câu 1:
1). Rút gọn biểu thức:
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
A
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
= + + + + +
+
+ + + +
2). Cho biểu thức:
2
2 2
2
2 2
1 1
x 9
x 9 x 9
B
1 1
x
x 9 x 9

+
+
=
+
+

2
+ 3
2
4
2
+ + 99
2
- 100
2
+ 101
2
.
1). Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53. Tính P = ab + ac + bc.
40 Câu 2: Cho a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn: a + b + c + d = 0.
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)(ab cd).
40 Câu 3: Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì:

1). Tính:
ab bc ac
S
(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
= + +

2). Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c
2
(b c) (c a) (a b)
+ +

.
41 Câu 3: Cho ba số dơng có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ
trong ba số đó không bé hơn tích của ba số đó.
41 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90
0
). Từ B kẻ BM vuông góc với AC.
Chứng minh rằng:
2
AM AB
2 1.
MC BC

=
ữ

41 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đờng chéo. Gọi M,

2
+ y
2
+ 2z
2
18x + 4z 6y +
20 = 0.
42 Câu 5: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm
giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK.
Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC.
42 Câu 6: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không
phụ thuộc vị trí của điểm M.
43
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
A x x
3
= +
43
Câu 2: Cho biểu thức:
( )
2
2
3 3
2
1 x
1 x 1 x
B : x x

2
43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE và CF lần lợt
vuông góc với các đờng thẳng AB, AD (E thuộc AB và F thuộc AD).
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
43 Câu 5:
44 Câu 1:
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2
ab
P
4a b
=

44 Câu 2:
Giải và biện luận phơng trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x.
44 Câu 3: Phân tích thành nhân tử: A = x
3
+ y
3
+ z
3
3xyz.
44 Câu 4: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai
trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km

45 Câu 3:
1). Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax
2
+ bx + c.
Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
2).Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
Tính
( ) ( ) ( )
25 25 3 3 2000 2000
a b b c c a+ +
45 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â < 90
0
). Dựng ra bên ngoài tam giác ABC các
hình vuông ABDE và ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh:
1)
ABC GIA
=
và CI = BF.
2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD đồng qui.
45 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy 2x + 4y +
2005
46 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x

2)
AD BE CF BC AC AB
=
+ + > + +
46 Câu 5:
47
Câu 1: Rút gọn phân thức:
3 3 3
a b c 3abc
A
a b c
+ +
=
+ +
47 Câu 2: Giải phơng trình: x
3
+ x
2
+ 4 = 0
47 Câu 3: Chứng minh rằng nếu: abc = 1 thì
a b c
1
ab a 1 bc b 1 ac c 1
+ + =
+ + + + + +
47
Câu 4:
5 5 4 4
Cho x,y 0 và x y 0. Chứng minh: x y x y xy + + +
47 Câu 5: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy

z + yz
2
+
2xyz
48 Câu 4:
Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y 2x + 2
= 0.
48 Câu 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD ngời ta lấy một điểm tuỳ ý E. Tia
phân giác của góc CDE cắt BC tại K. Chứng minh: AE + KC = DE.
49 Câu 1:
Giải phơng trình:
2
2 2 6
x 1 x 1 2(x 2)
x x 1 x x 1 x 1
+ +
=
+ + +
49 Câu 2:
Tìm giá trị của x để biểu thức
2
x
A(x)
(x 1999)
=
+

.
50 Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa số
táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả.
Cuối cùng trong hộp còn lại 12 quả. Hỏi trong hộp lúc đầu có bao nhiêu quả
táo.
50 Câu 2: Cho a > 0, b > 0 và c > 0. Chứng minh:
1 1 1 3
b c a c a b a b c
+ + >
+ + + + +
50 Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH. Cho biết AB = 5 cm, BH = 3
cm. Tính BC ?
50 Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AC tại E và
cắt đờng thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và
BF.
Chứng minh rằng: SC
2
= SE.SA
50 Câu 5:
51 Câu 1:
Giải phơng trình:
2 3
1 9x 1
x 3
x 3x 9 x 27
=
+
+ +
51 Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:

+ c
3
3abc.
52 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + xy x
2
y
2
và các giá
trị tơng ứng của x và y.
52 Câu 3:
1). Giải phơng trình: 3x
3
+ 4x
2
+ 5x 6 = 0.
2). Giải bất phơng trình:
x 3
2
x 2

>
+
.
52 Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B

A, B

C). Vẽ tia Bx vuông góc với AC, trên tia Bx lần lợt lấy các điểm D và E sao
cho BD = AB và BE = BC.
1). Chứng minh rằng: CD = AE và CD vuông góc với AE.


0.
2). Chứng minh rằng: (a + b c)(a b + c)(b + c a)

abc, với a, b, c là
độ dài 3 cạnh của một tam giác.
53 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và
AD. K là một điểm bất kỳ nằm giữa C và D. Gọi P và Q theo thứ tự là các
điểm đối xứng của K qua tâm M và N.
1). Chứng minh rằng Q, A, B, P thẳng hàng.
2). Gọi G là giao điểm của PN và QM. Chứng minh GK luôn đi qua điểm I cố
định khi K thay đổi tên đoạn CD.
53 Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H. Chứng minh rằng:
1). Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.
2). H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác FED.
54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
3
5x
2
+ 8x 4
2).
2 2
1 2 1
3x y y
3 3 3
+
54 Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x
2

và GH đồng quy.
54 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K
lần lợt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông góc với MK.
55 Câu 1: Giải bất phơng trình:
1). x
2
3x > 0.
2).
x 2 1 >
55 Câu 2: Chứng minh cá bất đẳgn thức:
1). a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
2). a
4
+ b
4
+ c
4


a

56 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). ab + ac + b
2
+ 2bc + c
2
.
2). x
4
+ 2x
2
3.
3). (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + 1.
56 Câu 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức A với x + y = 2005.
x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)
A
x(x 6) y(y 6) 2xy
+ + + +
=
+ + + +
56 Câu 3: Thực hiện phép tính:
a b b c a c
(b c)(c a) (c a)(c b) (a b)(b c)
+ + +
+ +

56 Câu 4:
Cho a + b + c = 1 và
1 1 1
0
a b c

4
.
57 Câu 3: Tìm 3 số x, y, z sao cho:
2 2
x 5y 4xy 10x 22y x y z 26 0+ + + + + + =
57 Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1).
( ) ( )
2 2 2 2
a b a 1 4a b+ +
, với mọi a,b.
2).
1 1 4
a b a b
+
+
, với mọi a,b > 0.
3).
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
+ + + +
+ + + + + + + + +
,với a,b,c >
0.
57 Câu 5:
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD ta lần lợt lấy hai điểm E và F
sao cho:
AE CF
BE DF
=

+
=

2). Giải bất phơng trình:
4x 7
2
2x 1
+
<

.
58 Câu 3:
Chứng minh rằng nếu: xyz = 1 thì :
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
+ + =
+ + + + + +
58 Câu 4:
1). Chứng minh rằng: a
4
+ a
3
b + ab
3
+ b
4


0, với

64

59 Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2 2
2 2
xy (x y) x y(x y) 1
A với x 2;y
3
2y 2x
+ + +
= = =

59 Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
3 3 2 2
2 2
(27x y )(16y x ) 1
A với x 1; y .
2
(x 4y)(9x 3xy y )

= = =
+ + +
59 Câu 3: Xác định thơng và d của phép chia: (x
4
1) : (2x
2
+ 1).
59 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, AD. Đờng thẳng AN lần lợt cắt DM, BP tại I và J. Đờng thẳng
CQ lần lợt cắt BP, DM tại H, K. Hỏi tứ giác IJHK là hình gì?


1). Tìm các giá trị của x để A có nghĩa.
2). Rút gọn biểu thức A.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M thuộc cạnh CD),
vẽ phân giác CN của góc C (N thuộc cạnh AB). Các phân giác của góc A và C
cắt BD lần lợt tại E và F. Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN và CFEM
bằng nhau.
61
Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức:
3 2
2
6x 7x 5x 2
x 5
2x x 1
+ + +
=
+ +
61 Câu 2:
Rút gọn biểu thức:
2
2 2
2 3x x x
A 1
3 x
x x 2xy 2y xy 2y+
= +

=

có giá trị là số
nguyên.
62 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và hai đờng cao AM và BN cắt nhau
tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1). Chứng minh tứ giác BHCD la hình bình hành.
2). Chứng minh hai góc BDC và BAC bù nhau.
62 Câu 5:
63
Câu 1: Cho biểu thức:
2
2
3x 9 9 x
A :
5x 5
x 2x 1
+
=
+
+ +
.
1). Tìm x để A có nghĩa.
2). Rút gọn biểu thức A.
63
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
( )
x y z x x y
B : : x y, y z, x z
y z y z z x

Câu 2: Giải phơng trình:
2
3 2
1 2x 5 4
x 1
x 1 x x 1

+ =

+ +
64
Câu 3: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):
a x a
5
10 2

= +
.
64
Câu 4: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):
x a b x b a
b a a b
+
= +
64 Câu 5: Cho hình thang cân ABCD với AB//CD. Gọi I,J,K,L lần lợt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA.
1).Chứng minh tứ giác IJKL là hình thoi.
2). Cho biết diện tích ABCD bằng 20 cm
2
. Tính diện tích tứ giác IJKL.

2). Cho a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
.