BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì
thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ
đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M
(C và D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của
đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng
AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH. OI không đổi.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O)
có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của
DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở
F. Chứng minh rằng:
a) Tam giác EBF là tam giác cân.
b) Tam giác HAF là tam giác cân.
c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và tiếp tuyến tại A
∈
(O; R), trên tiếp tuyến
này lấy đoạn AI = R
3
a) Tính độ dài OI theo R và số đo các góc của
∆
OAI.
b) Kéo dài đường cao AH của
∆
OAI cắt đường tròn (O) tại B. Chứng minh
rằng:
1/ IA = IB.
2/ IB là tiếp tuyến của đường tròn (O) và

b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với
nửa đường tròn, cắt By ở N.
a) Tính số đo góc MON.
b) Chứng minh rằng MN = AM + BN.
c) Chứng minh rằng AM.BN = R
2
( R là bán kính của nửa đường tròn).
Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax,
By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi
M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By
theo thứ tự ở C, D.
a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của D, C để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm,
biết AB = 4cm.
Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến
Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).
Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo
2
thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và
AB. Chứng minh rằng:
a) MN
⊥
AB.
b) MN = NH.

a
, d
b,
d
c
là các khoảng
cách từ O đến các cạnh a, b, c.
a) Chứng minh rằng:
a b c
a b c
d d d
+ + = 1
h h h
b) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a b c
1 1 1 1
+ + =
h h h r
Bài 16: Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định, M là một điểm cố định
nằm ngoài đường tròn sao cho OM = d > R. Từ M kẻ cát tuyến MAB với
(O).
a) Chứng minh rằng: MA. MB = d
2
– R
2
.
b) Xác định vị trí của cát tuyến MAB để MA + MB nhỏ nhất và lớn nhất.
3
Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC
tại H, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

và E
∈
(O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo góc DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 21: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một
điểm M tuỳ ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong
đó P, Q là các tiếp điểm. Qua O kẻ OH
⊥
xy, dây cung PQ cắt OH ở I, cắt
OM ở K. Chứng minh:
a) OI. OH = OK.OM = R
2
b) PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên xy.
4
Bài 22: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’
nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).
a) Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến của (O’).
b) Đường thẳng vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với
AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng
hàng.
Bài 23: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ
điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm
của AC và BM.
a) Chứng minh NE
⊥
AB.
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến
của (O).

2 2 2
r = r + r
1 2
5
Bài 27: Cho đường tròn (O; R), hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau,
và một điểm M di động trên cung nhỏ AB. Qua M kẻ một đường thẳng song
song với AB, cắt OA, OB tại A’, B’.
Chứng minh tổng MA’
2
+ MB’
2
không đổi.
Bài 28: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Đường cao BE
cắt (O) tại M . Hạ MI
⊥
AB và MK
⊥
BC.
a) Chứng minh: AH.KM = HE.BM
b) Chứng minh:
2 2
MI CE
+ =1
MB CM
   
 ÷  ÷
   
Bài 29: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi TT’
là một tiếp tuyến chung ngoài (O), (O’).
a) TT’ = 2