Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

CHỦ ĐỀ 1 : PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số
3 2
3 1y x x= - +
có đồ thị (C).
a. Viết pt tt của (C) tại
i) điểm A(1; -1)
ii) giao điểm của (C) với trục Oy.
iii) điểm có tung độ bằng 1.
b. Viết pt tt của (C) tại điểm uốn của (C). CMr trong tất cả các tiếp tuyến của (C) tiếp tuyến tại điểm
uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
c. Viết pt các tt của (C) đi qua điểm B(-1;-3). Đáp số: c.
3; 9 6y y x= - = +
.
Bài 2. Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= - +
có đồ thị (C).Viết pt các tt của (C) đi qua điểm A(0 ; 3/2).
Đáp số:
3
2
y =
;
3
2 2.

có đồ thị (C). Viết pt các tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a. Tại điểm A(0 ; 1/2).
b. Song song với đường thẳng
8 1y x= - +

c. Vuông góc với đường thẳng
4 8 0x y- + =
d. Qua điểm B(-2; 0).
Bài 5. Cho hàm số
( )
3 1
2
x
y
x
+
=
-
có đồ thị (C).Viết pt các tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ.
Bài 6. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
có đồ thị (C). CMr qua điểm A(1; 0) có thể kẻ được hai tiếp tuyến

hoành. Đáp số:
1
2 0,
4
m m m= - = =
.
&
CHỦ ĐỀ 2 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a.
2
2 4 5y x x= - + +
; b.
3 2
2 2y x x x= - + -
; c.
4 2
1
2 1
4
y x x= - -
;
d.
4 3
8 5y x x= + +
; e.
4 3 2
6 8 3 1y x x x= - + - -
; f.
( )

-
=
+ +
; c.
2 1 5y x x= - - -
.
1

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

Bài 3. Xác định m để hàm số
2 10mx m
y
x m
- +
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
Bài 4. Xác định m để hàm số
3 2
1
2 2
3
y x x mx= - + +
đồng biến
a.Trên R b.Trên khoảng (- ∞ ; 1).
&
CHỦ ĐỀ 3 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số (nếu có):
a.

a. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1).
b. Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1).
Bài 3. CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số
( )
2 2
1x m
y
x m
- -
=
-
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 4. Xác định m để hàm số
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x= - + - - + -
đạt cực tiểu tại
1x =
.
Bài 5. Xác định m để hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+

5 6y x x= - +
trên đoạn [-5 ;5].
Bài 3.
2
ln x
y
x
=
trên đoạn
[ ]
1;e
Bài 4.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn [-1 ;2].
Bài 5.
5 3
5 2y x x= - +
trên đoạn [-2 ;0]
Bài 6.
2
2
1

;
Bài 9.
2
4y x x= + -
[B -03];
Bài 10.
2
2 5y x x= + -
2

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

Bài 11.
( )
2
6 4y x x= - +
trên đoạn [0 ; 3];
Bài 12.
3
3 1y x x= - +
trên đoạn [0 ; 3];
Bài 13.
3 2
3 72 90y x x x= + - +
trên đoạn [ -5 ; 5] [KTQDHN-97];
Bài 14.
2
1
sin os
2

x
+ +
=
+
[Kiến Trúc HN - 98]
6 6
4 4
1 cos sin
1 sin os
x x
y
x c x
+ +
=
+ +
;
Bài 18.
4 2
4 2
3 cos 4 sin
3 sin 2 os
x x
y
x c x
+
=
+
[SP HN – 01A]
Bài 19. Tìm GTNN của
2 2

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để (C) và d tiếp xúc với nhau .
c. Biện luận theo m số nghiệm và xét dấu nghiệm của phương trình:
3 2
2 0x x m− − =
(1).
HD-ĐS: b.
0m =
hoặc
32
27
m = −
.
c. i.
32
27
m < −
: có 1 nghiệm âm;
ii.
32
27
m = −
: có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm (kép)
4
3
x =
;
iii.
32
0

3
x x a
 
− − =
 ÷
 
(1).
Bài 5. Cho hàm số
3 2 3
3 4y x ax a= − +
có đồ thị (C).
a. Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng
y x=
.
b. Tìm a để đường thẳng
y x=
cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
AB BC=
.
Bài 6. Cho hàm số
( )
= − + −
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số y= x

2
+ m (1) ( m là tham số)
1. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
Bài 10. Cho hàm số
xmxxy 32
3
1
23
+−=
, (C
m
), (m là tham số)
1. Định m để






3
4
,1A
là điểm cực đại của (C
m
)
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số ứng với m vừa tìm được ở câu trên.
3. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đến (C) bao nhiêu tiếp tuyến , chỉ ra các phương trình tiếp tuyến và toạ độ
tiếp điểm.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và một tiếp tuyến nằm ngang của (C)

)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của (C).
2. Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với trục Ox.
3. Tìm m để đường thẳng qua cực điểm của (C
m
) cũng đi qua gốc toạ độ.
Bài 14. Cho hàm số y = x
3
-3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm các điểm trên Ox, từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến khác nhau với (C).
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+m-1=0.
Bài 15. Cho hàm số: y = x (3-x)
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.
2. Một đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m.
a. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
b. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m=1
4

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

Bài 16. Cho hàm số
2)12(

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến (d).
3. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18. Cho hàm số
2)12(
3
1
23
+−−+−= mxmmxxy
1. Tìm các điểm cố định mà họ (C
m
) luôn đi qua.
2. Xác định m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
) đi qua điểm
)
3
4
;
9
4
(M
.
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục
Ox.
Bài 19. Cho hàm số

HD-ĐS: b. i.
2a < −
: vô nghiệm; ii.
2a = −
: có 2 nghiệm
0x =
,
2x =
;
iii.
2 0a− < <
: có 4 nghiệm; iv.
0a =
: có 2 nghiệm
1 3x = ±
; v.
0a >
: có 2 nghiệm .
c.
4 2a
− < < −
.
II. Hàm số trùng phương
Bài 1. Cho hàm số
( )
4 2
2 1 2 1y x a x a= − + + − −
có đồ thị (C
a
). Tìm a để (C

>

Bài 3. Cho hàm số
( )
4 2
1y x ax a= + − +
có đồ thị (C
a
).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1a = −
.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
( )
2 2
4 1 1x x a− = −
(1).
Bài 4. Cho hàm số
4 3
4 3y x x= − +
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
4 3
4 8 0x x x a− + + =
(1).
Bài 5. Tìm a để phương trình:
2 2
2 10 8 5x x x x a− + − = − +
có 4 nghiệm phân biệt.

m
) tại A có hệ số góc là 16.
3. Xác định m để (C
m
) cắt trục Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng.
4. Khảo sát và vẽ (C) khi m = 5. Tính diện tích giới hạn với (C) và trục Ox.
Bài 8. Cho hàm số
bax
x
y +−=
2
4
2
a. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng −2 khi x = 1.
b. Khảo sát và vẽ (C) khi a = 1,
3
2
b
−
=
.
c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
d. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x
4
-2x
2
-3+2m = 0.
Bài 9. Cho hàm số y = (x+1)
2
(x-1)

cx d
+
= -¹ ¹
+
Bài 1. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
2 1 0x y+ − =
.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
2
2 1 1 0x m x m− + + + =
(1)
Bài 2. Định t để phương trình
1 2sin
2 sin
x
t
x
+

Bài 4. Cho hàm số:
1
42
+
−−
=
x
x
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
3. CMr tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận là một hằng số.
4. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y−2x−m = 0.
5. Trong trường hợp (d) cắt (C)tại 2 điểm M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
6

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m = 5.
Bài 5. Cho hàm số:
1+
+
=
x
bax
y
có đồ thị là (C).
1. Định a,b để đồ thị (C) có tiệm cận ngang y =1 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =0 có hệ số góc
là 3.
2. Khảo sát và vẽ (C) ứng với a,b tìm được.

log
2
x
k
x
(2)
3. Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.
Bài 7. Cho hàm số
mx
mxm
y
+
++
=
)1(
,(C
m
)
1. Tìm những điểm cố định của (C
m
)
2. Khảo sát và vẽ (C) khi m=1.
3. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
4. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục toạ độ.
6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) và song song với phân giác góc phần tư thứ nhất
&
CHỦ ĐỀ 6 : KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
(Dành cho HS học theo CT nâng cao)
Bài 1. Cho hàm số

c. i.
1 2 2m > −
: vô nghiệm;
ii.
2m
< −
hoặc
1 2 2m = −
: có 1 nghiệm;
iii.
2 1 2 2m− ≤ < −
: có 2 nghiệm.
Bài 2. Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
3 6y x− = −
.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
2

.
c. i.
7
1;
3
m
 
∈
 
 
: vô nghiệm; ii.
7
1;
3
m
 
∉
 
 
: có 1 nghiệm.
Bài 3. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−

2 2
2 1 2 1 0t t m t t m+ − + + + + =
(2) có 3 nghiệm
phân biệt nằm trong đoạn
[ ]
3;0−
.
HD-ĐS: c.
1 1m
− < <
; d.
3
1
2
m
−
< < −
.
Bài 4. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

: có đúng 4 nghiệm.
1m
> −
: vô nghiệm.
Bài 5. Cho hàm số
2
2 3 2
1
x x
y
x
− +
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
1
2
2 3 2
log 0
1
x x
a
x
− +
+ =
−
(1)

− +
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm k để đường thẳng d:
10 5y kx k= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và nhận I(5 ;
10) là trung điểm
c. Biện luận theo a số nghiệm âm của phương trình:
( )
2
2 9
2 2
2
x x
a x
x
− +
= − +
−
.
Bài 8. Cho hàm số
2
3
2
x x
y
x
+ −

3
2
m
−
>
: có 2 nghiệm;
Bài 9. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng
y x m
= − +
cắt (C)
tại 2 điểm phân biệt. Chứng minh rằng 2 giao điểm cùng thuộc 1 nhánh của đồ thị.
HD-ĐS:
4 8m < −
hoặc
4 8m > +
.
&
CHỦ ĐỀ 7. PT, BPT & HPT MŨ - LOGARIT
A. PP đưa về cùng một cơ số
Bài 1. Giải các pt sau:

=
1 4
5 25
x
e.
−
−
=
4 4
1
3 81
x
x
f.
−
 
=
 ÷
 ÷
 
2 3
2
0,125.4
8
x
x
g.
+ +
− −
=

x x
x x
k.
+ −
+ =
2 2
1 1
3 3 270
x x
l.
− +
−
=
2
8
3 1
1
2
4
x x
x
Bài 2. Giải các bpt sau:
a.
− −
<
2
3 4
2 8
x x
b.

>
 ÷
 
1
2 9
1
3
27
x
x
f.
( )
−
>
3
0,5 4
x
g.
− −
>
2
3 3
x
x
h.
( )
−
≤
1
3

b.
( )
2
3
log 4 12 0x x+ + =
c.
( ) ( )
+ = −
2
2 2
2 log 3 log 1x x
d.
( ) ( )
2
3 3
2log 2 log 4 0x x− + − =
e.
( )
− =
3
log 4 1x
f.
( )
− =
5
log 7 3 2x
g.
( )
2 2
log log 2 3x x+ − =

2
log 4 4 log 2 3
x x
x
m.
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2x x− + − =
[B.07tk]
Bài 4. Giải các bpt sau:
a.
( )
≤ −
0,7 0,7
log log 1 3x x
;
( )
− >
7
log 4 5 1x
9

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

b.
( )
( )
− < −

log 0
1
x
x
g.
1
2
2 1
log 0
1
x
x
−
 
≥
 ÷
+
 
;
2
8
log 1 2
2
x
x
 
− ≥ −
 ÷
 
h.

log 0
x x
x
j.
( )
+ − ≤
3 1
3
log 2 log 1x x
k.
( ) ( )
3 1
3
2 log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
l.
( )
2 1
4
log log 2 1 1
x
 
− >
 ÷
 
B. PP đặt ẩn số phụ.
Bài 1. Giải các pt sau:
a.
− + =2.16 17.4 8 0
x x
b.

x
x
−
−
= +
h.
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
i.
1
3 2.3 5 0
x x+ −
− + =
j.
− +
+ =
2 1 1
5 5 250
x x
k.
( )
= +
2
7
6. 0,7 7
100
x
x

( ) ( )
tan tan
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =
s.
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
t.
( ) ( )
3
7 3 5 12 7 3 5 2
x x
x+
+ + − =
u.
( )
2 1
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x
x x x
+
+ +
= + − +
v.
− − =
2

1
3.9 5
4
3 1
x
x
−
−
+
<
+
c.
+
+
−
<
−
1
1
2 5.3
1
2 3
x x
x x
d.
+
−
≤
− +
2 1

x x
x
x
+ −
< − +
−
h.
< +
2
2
1
log 1
log
x
x
C. PP khác: (Dùng cho HS học theo chương trình nâng cao)
Bài 1. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
2.
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+

x x x+
− + − =
[D.07tk]
8.
( )
25 2 3 .5 2 7 0
x x
x x− − + − =
9.
( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x+ + − = −
10. a.
3 4 5
x x x
+ =
; b.
8 18 2.27
x x x
+ =
11.
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
12. a.
sin


2 2
. 1
l g l g 2
x y
o x o y
15.
( ) ( )
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y y x
x xy y
+ − + = −


− + =


16.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y

log 1 2 log 4 log 4x x x
3.
( ) ( )
2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x+ + − = +
4.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
5.
( )
5 7
log log 2x x= +
6.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x

9.
2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
−
= + −
[D.07tk]
10.
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
[B.07tk
Bài 3. Giải các pt, bpt, hpt sau:
a.
( ) ( )
+ + + + + = +
2 2
2 2 2

 
 
 ÷
+ − +
 
 ÷
 
 
 
≥
 ÷
 
2.
2
4 2 1
log
2 2
x
x
x
 
−
≥
 ÷
 ÷
−
 
3.
( ) ( )
2 3

1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x− + + − ≥
Một số dạng toán khác:
Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau:
6 8
1 1
5 7
25 49
log log
A = +
;
(
)
2 2
4
log log 2B
 
= −
 
 
.
Bài 2. Tìm m để hàm số sau được xác định với mọi x:
( )
2
1
ln 3
y
mx mx

Bài 5. Cho
( )
4 3
6
x
f x x e
−
= +
. Giải bpt
( )
' 0f x ≥
Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a.
1
2 8
x
y =
−
; b.
2
3 2
1 log
1
x
y
x
−
 
= −
 ÷

và
( )
0 8F
=
c.
( )
cos5 os3f x x x
=
và
1
4
F
π
 
=
 ÷
 
d.
( )
sin 2 os3f x x x
=
và
( )
0 0F
=
e.
( )
sin sin 7f x x x
=
và

2
2
0
cos sinx xdx
π
∫
; b.
2 3
2
0
cos sinx xdx
π
∫
; c.
5
2
0
cos xdx
π
∫
; d.
4
2
6
1
sin cot
dx
x gx
π
π

cos t
dx
x gx
π
π
∫
; i.
3
8
1
1x
dx
x
+
∫
. j.
2 2
0
1
a
dx
a x
+
∫
; k.
2
3
2
1
1 x

o.
2
2
0
6 2
1
x
dx
x x
+
− +
∫
Bài 2. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].Chứng minh rằng:
( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx
= + −
∫ ∫
. Suy ra
( ) ( )
0 0
b b
f x dx f b x dx
= −
∫ ∫
. Áp dụng tính
2
0
sin

;
b. Nếu f là hàm số chẵn trên thì
( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
.
Tính
(
)
1
2
1
ln 1I x x dx
−
= + +
∫
,
1
1
1
1
x
J dx
x

12

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân:
Bài 1. Chứng minh rằng:
a.
1
2
0
4 5
1
2 2
x
dx
+
≤ ≤
∫
b.
2
2
1
2 1
5 1 2
x
dx
x
≤ ≤
+
∫

gx
dx
x
π
π
≤ ≤
∫
f.
1
0
sin
1 ln 2
1 sin
x x
dx
x x
≤ −
+
∫
Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a.
4
0
cos2x xdx
π
∫
b.
ln2
2

2
1
1
ln 1x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
g.
( )
1
2
0
ln 1x x dx
+
∫
h.
( )
1
2
2
ln
1
e
e
x
dx
x

l.
2
0
sin cosx x xdx
π
∫
m.
( )
2
2
2
2
x
e
x e
dx
x
+
∫
n.
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
o.
2
0

π
∫
d.
3
3
2
0
sin xdx
π
 
 ÷
 
∫
e.
2
1
3
0
x
x e dx
∫
f.
( )
1
2
0
ln 1x dx
+
∫
g.

2 2
0
cos
x
e xdx
π
∫
.
Vấn đề 7: Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
( )
5
1y x
= +
,
x
y e
=
,
0x
=
,
1x
=
.
b.
2
4 3y x x= − +
,

y x
=
,
0y
=
,
3y
=
.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
2
2y x x= −
,
y x
=
.
b.
2
4 3y x x
= − +
,
3y
=
.
13

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

c.

,
2
y x
= −
. h.
2
y x=
,
2
x y
= −
.
i.
2
1
1
y
x
=
+
,
2
2
x
y =
.
j.
2
2 0x x y− + =
,

0a
>
).
n.
2
1y x
= −
,
5y x
= +
.
o.
2
3 0x y+ =
,
2
4y x= − −
.
p.
siny x
=
,
y x
π
= −
.
q.
2
4 3y x x
= − +

1y x
= −
.
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
2
y x=
,
2
8
x
y =
,
8
y
x
=
; b.
2
2 2y x x= − +
2
4 5y x x= + +
,
1y
=
.
Bài 6. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x
2
-2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(5,3)
và trục tung.

3 4
1 4 2 3
i
A
i i
−
=
− +
;
( )
1 2
2 5
2 3
i
B i
i
+
= − +
+
;
( ) ( )
4
2 3 1 2
3 2
i
C i i
i
−
= − + +
+

( ) ( ) ( )
2 20
1 1 1 1z i i i= + − + − + + −
; b.
( ) ( ) ( )
2 2009
1 1 1 1z i i i= + + + + + + +
.
Bài 5. Tìm môđun của các số phức: a.
( )
3
4 3 1z i i= − + −
; b.
( ) ( ) ( )
3 2 4 3 1 2
5 4
i i i
z
i
− + − − 
 
=
−
.
Bài 6. Tìm số phức z, biết
3 5z =
và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
14

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

3 2
5 15 18 0x x x− + − =
.
Bài 9. Cho
, ,a b c ∈¡
,
0a
≠
,
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình
2
0az bz c+ + =
hãy tính
1 2
z z+

và
1 2
.z z
theo các hệ số
, ,a b c
.
Bài 10. Cho
z a bi
= +
là một số phức. Hãy tìm một pt bậc hai với hệ số thực nhận z và
z
làm nghiệm.

z i z
z i z
 − =


− = −


Bài 15. Giải hệ phương trình:
3 2 3
2 1
x iy i
x y i
+ = −


+ = +

Bài 16. Chứng minh rằng với hai số phức z và z’ ta có:
a.
'
'
z z
z
z
 
=
 ÷
 
khi z’ khác 0 ; b.

z
+
=
−
.
Bài 19. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. .
2 2z z+ < −
; b.
2 1 2 3z i≤ − + <
; c.
i z i z+ ≥ −
.
&
CHỦ ĐỀ 10. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH
Bài 1. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và
, ,OA a OB b OC c= = =
. Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 2. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng nửa đường thẳng Hx
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Hx lấy điểm S sao cho SA = SB = AB. Nối S với A, B, C, D.
a.Tính diện tích mặt bên SCD và thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, H, D.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy.
a.CMr các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b.Tính thể tích của khối chóp khi biết AB = 7dm, AC = 25dm, SA = 20dm.
c.Tính diện tích toàn phần của hình chóp khi biết AB = SA =3a, AC = 5a.
Bài 5. Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài bằng

a.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3R
. A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy
sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ .
b.Tính thể tích khối trụ tương ứng.
c.Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên AA’ vuông
góc với mp(ABC). Biết AA’=AB=BC=a. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ và thể tích của
khối lăng trụ đã cho.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp
theo và tính diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 15. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
của khối chóp và diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 16. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a/ Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’B và B’D.
b/ Tính thể tích của khối tứ diện AB’CD’ theo a.
Bài 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 60
0

và đường thẳng
AA’ tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a.
&
CHỦ ĐỀ 11. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Hệ toạ độ trong không gian
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
16

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

1/ Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau:
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA= − −
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
.
2/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
3/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
4/ Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành
ABCE.
5/ Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
6/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng
của tứ diện ABCD.
7/ Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
8/ Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
9/ Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −

.
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A
− − − −
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c/ Tính thể tích V của hình hộp.
d/ Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( )
( ) ( )
, , , , , ,
1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4
; ; , ; ; , ' ; ; , ' ; ;A x y z C x y z B x y z D x y z

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 9. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
a/ CMr: a
1
/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
a
2
/ Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
a
3
/ Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .

uur
2
1; 3;4u
.
Bài 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a/ Viết pt mp(ABC).
b/ Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d/ Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e/ Gọi A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp(P) qua A
1
, A
2
, A
3
.
Bài 3. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.
a/ CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b/ Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm M sao cho
2 3AM BA CM+ =

của (α), (β) đồng thời vuông góc với mp(γ):
2 3 1 0x y z− + − =
.
Bài 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:(α):
7 0x y z− + − =
,
(β):
3 2 12 5 0x y z+ − + =
Bài 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S
∆ABC
.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f. Tính góc giữa AB và CD.
Bài 13. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mặt phẳng
( )

Bài 17. Cho mặt mặt phẳng
( )
: 3 2 6 14 0x y z
a
- + + =
và mặt cầu
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
. Chứng minh rằng
( )
a
cắt (S) theo một đường tròn
(C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài 18. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e. Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
f. Tính góc giữa các vectơ
A C
uuur
và
BD
uur
.
g. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

a
với các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
III. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Lập pt tham số của đường thẳng (đt) ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a/ ∆ qua 2 điểm A(2;−3;5) và B(1;−2;3).
b/ ∆ qua điểm A(1;−1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(−1;1;2).
c/ ∆ qua điểm A(−1;0;2) và ∆ vuông với mp(α):
7 0x y z− + − =

Bài 2. Tìm ptct của ∆ biết ∆ có ptts là:
1
2
x t
y t
z
=


= −


= −

Bài 3. Tìm ptts của ∆ biết ∆ có ptct là:
− +
= =
−
2 3
2 1 3
x y z

Bài 7. Cho
= +


= −


= −

5 2
: 1
5
x t
d y t
z t
và
= +


= − −


= −

3 2 '
' : 3 '
1 '
x t
d y t
z t

.
a. CMr: d và d’ chéo nhau.
b. Lập pt mp qua O và song song với d và d’.
19

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

Bài 9. Lập pt mp(α) chứa đt ∆:
=


−

= +


=


4
3
7
2
2
x t
y t
z t
và vuông góc với mp(P):
2 5 0x y z− + + =
.



= +

1
1
2
x
y t
z t

Bài 13. Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d
1
:
=


= −


= − +

1
1
1
4
1 2
x t
y t
z t

1
x t
y t
z t
và mp(P):
+ − − =3 5 2 0x y z
.
a. Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
b. Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c. Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d. Tính góc giữa d và (P).
e. Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.
f. Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d.
Bài 15. Cho d:
=


= − +


= −

11 2
16
x t
y t
z t

( )
∈¡t

1
, d
2
.
c/ Lập pttq của mp chứa d
1
, d
2
.
Bài 17. Cho 2 đường thẳng d
1
:
2 3 4
2 3 5
x y z− − +
= =
−
và d
2
:
1 4 4
3 2 1
x y z+ − −
= =
− −
. Tìm ptct của đường
vuông góc chung của 2 đt d
1
, d
2

= +


= −


a/ Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b/ Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt m, n.
Bài 19. Cho 2 đt d:
2
1
2
x t
y t
z t
= +


= −


=

và d’:
= −


=



; d
3
:
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
. Lập pt đt d
cắt d
1
, d
2
và ssong với d
3
.
Bài 21. Hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc với đường thẳng
11
2
3
1 zyx
=
+
=
−
và cắt đường thẳng
1
1
3
x



= −

và mặt cầu (S) có phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
1. Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
3. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông góc
chung ấy.
4. Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
Bài 23. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
9
2
3
1
7
:
1
−
−
=
−

2
- 10x + 2y + 26z - 113 = 0 và song song với
2 đường thẳng
2
13
3
1
2
5
:
1
+
=
−
−
=
+ zyx
d
,
2
7 1 8
:
3 2 1
x y z
d
+ + −
= =
−
Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
)(∆

= +

a. Chứng minh rằng:
)(∆
,
)'(∆
chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa
)(∆
,
)'(∆
c. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa
)(∆
,
)'(∆
Bài 25. Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
41
1
1
13 zyx
=
+
=
−
−
và tiếp xúc
với mặt cầu (S): x
2
+y
2

=


= −


=

,
2
1 2 '
: 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
= −


= +


= +


1. Chứng minh rằng d
1
không cắt d
2
nhưng d

3. Tìm giao điểm của d
2
và
)(
α
, d
1
và
)(
β
. Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với d
1
, d
2
.
Bài 29. Cho mặt phẳng
)(
α
: 6x+3y+2z-6=0
1. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng
)(
α
2. Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua
)(
α
Bài 30. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2

9
4
12
:)(
−
=
−
=
− zyx
d
và mặt phẳng
)(
α
: 3x+5y-z-2=0.
1. Chứng minh (d) cắt
)(
α
.Tìm giao điểm của chúng.
2. Viết phương trình mặt phẳng
)(
β
qua M(1;2;1) và
d⊥)(
β
3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
)(
α
.
Bài 33. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1

a.Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng
1
∆
,
2
∆
b.Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 đường thẳng
1
∆
,
2
∆
và cách đều
1
∆
,
2
∆
Bài 34. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng
)(
α
: 3x - 2y + 5z + 6 = 0
a. Chứng tỏ A nằm trên
)(
α
.
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và
)(
α
⊥d

)(
α
của mặt
cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm B, C, D. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
OM + AM nhỏ nhất.
c. Gọi (S) là mặt cầu tâm A tiếp xúc mp (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và mp (P).
&
22

Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp THPT n¨m häc 2009 - 2010

CHỦ ĐỀ 12. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ
(Sẽ gặp các loại hình chủ yếu: 1/ Hình Lập phương, 2/ hình Hộp Chữ nhật, 3/ hình Chóp, 4/ hình
Lăng trụ, 5/ Tứ diện)
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là tâm của ABCD.
1/ Tính D(AB,IA’). 2/ Tính góc giữa AA’ và (A’BD).
Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình
vuông ADD’A’.
1/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của các tứ diện CD’MN và A’BC’D.
2/ Hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn. Tính bán kính đương tròn này.
3/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mp(CMN) và hình lập phương.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao bằng b. Gọi M
là trung điểm của CC’.
1/ Tính V
BDA’M
. 2/ Tính
a

c/ Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AC, BC. Tính góc tạo bởi AC và mp(OEF).
Bài 8. Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC vuông tại A, AB=a,AC=2a, H là trung điểm của BC, SH⊥(ABC),
góc tạo bởi (SAC) và (SBC) bằng 30
0
. 1/ Tính thể tích của tứ diện. 2/ Tính D(
AC,SB)
.
Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại B,
·
0
60 ,BAC =
AC=a;
A’A=2a.
1/ Tính khoảng cách từ B đến mp(AB’C). 2/ Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
3/ Một mặt phẳng (α) qua trung điểm M của BC và song song với BC’ và AC cắt các cạnh CC’, A’A,
AB lần lượt tại N, P, Q. Tính diện tích MNPQ.
Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, B=
α
, AB=a, A’B⊥AC’.
1/ Tính thể tích của hình lăng trụ. 2/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình thoi cạnh a, góc BÂD=60
0
. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm A’A và CC’.
1/ CMr: B’, M, D, N đồng phẳng.; 2/ Tính A’A theo a để B’MDN là hình vuông.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
1/ CMr:AM⊥BP. 2/ Tính thể tích của tứ diện CMNP.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
· ·