Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
Lời nói đầu:
Trước kết quả còn hạn chế của học sinh trong kì thi tốt nghiệp THPT năm 2009 vừa qua.
Chúng tôi đã chủ động viết một cuốn tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán
cho học sinh trường THPT Lục Ngạn 4, đồng thời là cuốn tài liệu bổ ích để các thầy cô dùng
làm tài liệu tham khảo dạy ôn tốt nghiệp và học sinh khá giỏi củng cố kiến thức cơ bản trước
khi bước vào kì thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng năm 2010.
Cuốn tài liệu sau khi hoàn thành sẽ được kiểm chứng thực tiễn trong kì thi tốt nghiệp
THPT năm 2010. Sau đó được bổ sung, hoàn chỉnh hy vọng sẽ trở thành cuốn tài liệu chuẩn
ôn thi tốt nghiệp môn Toán dành riêng cho trường THPT Lục Ngạn 4 vào các năm học tiếp
theo.
Tài liệu được viết thành hai phần chính như sau:
- Phần thứ nhất, “ Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán và đọc tài liệu ” dành
cho học sinh trường THPT Lục Ngạn 4. Trong phần này người viết cố gắng đưa ra những
hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp và đọc tài liệu theo ý kiến chủ quan của mình.
- Phần thứ hai “Nội dung” trong phần này người viết đã đưa ra các dạng toán
thường gặp trong kì thi tốt nghiệp THPT; tuy nhiên do hạn chế về thời gian và kiến thức
của học sinh còn yếu nên chúng tôi chỉ hy vọng đưa ra được một số dạng toán cơ bản
đồng thời chủ động cắt bỏ những phần khó cho phù hợp với đối tượng. Cuối phần này là
hệ thống 10 đề thi đề nghị sát với chương trình thi tốt nghiệp THPT, để học sinh luyện
tập kiểm tra lại kiến thức của mình trước khi bước vào kì thi tốt nghiệp sắp tới và các
thầy cô có thể dùng làm các đề thi khảo sát học sinh của mình.
Cuối cùng do thời gian viết có hạn, kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế chúng
tôi không thể tránh được những sai sót trong quá trình viết. Rất mong nhận được
nhiều sự góp ý bổ ích từ phía bạn đọc. Chúng tôi cũng rất mong nhận được sự động
viên, chỉ bảo từ phía nhà trường và các bạn đồng nghiệp để cuốn tài liệu sẽ được
hoàn thiện hơn trong những năm học tới.
Xin chân thành cảm ơn!
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
1
Lục Ngạn, tháng 03 năm 2010

sách tham khảo thì càng tốt.
- Với mỗi dạng toán, học sinh cần hiểu được phương pháp giải đã được các tác giả đề
cập, nắm được các ví dụ minh họa sau đó hoàn thành các bài tập đề nghị ở sau mỗi phần,
mỗi chủ đề. Nếu tự sưu tầm, đưa ra các bài toán khác thì càng tốt. Rèn luyện như vậy để có
kĩ năng giải toán.
- Học sinh cần nắm được các chú ý, nhận xét, ý tưởng mà các tác giả đưa ra; có như
vậy học sinh sẽ hạn chế được những sai lầm, rèn luyện tư duy linh hoạt hơn.
- Học sinh nên hệ thống lại kiến thức, dạng toán theo từng chủ đề ra cuốn sổ riêng
theo ý tưởng của mình. Để sau này tiện theo dõi, khắc sâu kiến thức và phương pháp.
- Học sinh nên xác định năng lực của mình, để hạn chế, cắt bỏ những phần khó học
tập trung vào phần dễ học, dễ đạt điểm trong kì thi tốt nghiệp. Phần này học sinh nên tham
khảo ý kiến của giáo viên bộ môn và các tác giả.
Trong phần nội dung B – Một số đề thi đề nghị, sau khi học tốt phần A học sinh nên
làm các bài toán trong các đề thi đề nghị để kiểm tra, củng cố kiến thức của mình. Nên tổ
chức cùng thi theo nhóm thì tốt hơn. Các tác giả sẽ hỗ trợ đáp án các đề thi đề nghị và chấm
điểm nếu học sinh có nhu cầu tổ chức thi theo nhóm.
Cao Văn Tùng!
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
2
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG.
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT.
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
I.1. Bài toán về chiều biến thiên của hàm số.
1. Lý thuyết cần nhớ:
- Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu đạo hàm
' 0; ;y x K≥ ∀ ∈
- Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu đạo hàm
' 0; ;y x K≤ ∀ ∈
Trong đó dấu “=” xảy

2
2 1
2.
3 2
x m
y x mx
+
= − + + −
Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
Giải:
- Đạo hàm y’ = - x
2
+ (2m + 1) x + m.
- Để hàm số nghịch biến trên R thì
' 0, ,y x R≤ ∀ ∈
điều kiện là:
( )
2
2
0
1 0
2 3 2 3
4 8 1 0 .
0 ' 0
4 4
4 8 1 0
a
m m m
m m
<

m
a m
m
m
m m
>
> >
 
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
  
∆ ≤ ≤ ≤
− ≤
 

b. Với hàm phân thức. Tìm tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng xác định.
* Lý thuyết cần nhớ:
- Với hàm phân thức
( )
a
0; 0 .
x b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Có đạo hàm
( )
2
' .

\ .D R
m
 
=
 
 
- Biến đổi:
.
1 1
m x x m
y
mx m x
− − +
= =
− −
- Đạo hàm:
( )
2
2
1
' .
1
m
y
mx
−
=
−
a. Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì y’ > 0 trên D, ta có:
( )

+
a x b
y
c x d
( hê số nhân với x viết trước; hệ số tự do viết sau).
* Bài tập củng cố:
Bài 1: Cho hàm số
( )
3
2
2 3 3.
3
x
y mx m x= − + + −
Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 2
3.
3
m
y x mx x m
−
= + + − +
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
Bài 3: Cho hàm số
3
2
1

x, thường là nghiệm của đạo hàm), giá trị cực trị của hàm số (liên quan đến y) và điểm cực
trị của đồ thị hàm số (là cặp (x,y)).
1. Lý thuyết chung.
*) Quy tắc 1:
- Điểm x
0
là điểm cực trị của hàm số nếu qua x
0
đạo hàm y’ đổi dấu.
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
4
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
- Nếu qua x
0
đạo hàm y’ đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x = x
0
.
x x
0
f’(x) + --
f(x) CĐ

- Nếu qua x
0
đạo hàm y’ đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
.
x x
0
f’(x) - +

>

* Chú ý: Ta thường dùng quy tắc 2 để kiểm tra xem điểm x
0
có là cực trị của hàm số
bậc 3, bậc 4 không. Quy tắc này rất hiệu quả khi việc xét dấu đạo hàm phức tạp.
2. Một số dạng toán thường gặp.
2.1. Dạng 1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Với đề thi tốt nghiệp trong quá trình khảo sát đã xuất hiện tọa độ 2 điểm cực trị, do vậy
bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số, thực chất là bài
toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm đã biết tọa độ.
* Phương pháp giải.
- Bước 1: Từ quá trình khảo sát rút được tọa độ 2 điểm cực trị.
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị đã biết tọa độ, có 2 cách viết:
+ Cách 1: Biết một vectơ pháp tuyến và qua một điểm viết phương trình tổng quát.
+ Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, thay tọa độ 2 điểm cực trị vào ta
được hệ phương trình 2 ẩn a, b. Giải hệ tìm được a, b sau đó viết được phương trình đường thẳng.
* Ví dụ minh họa.
- Ví dụ 1: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 2.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm số y = x
3
+ 3x
2
-2.
b. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giải

Û
í í
ï ï
= - + =-
ï ï
î î

Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
5
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
Thay
,a b
vào phương trình (*) ta được phương trình đường thẳng
2 2y x= − −
hay
2 2 0.x y+ + =
- Ví dụ 2 : Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x= - + +
có đồ thị hàm số (C).
a. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Tìm m để điểm M(- m ; 1- m) và 2 điểm cực trị của hàm số thẳng hàng.
Giải :
a. Học sinh tự khảo sát. Trong phần này học sinh tìm được 2 điểm cực trị là A(1 ;
1
3
) và B(3 ; -1).

- Để hàm số hàm bậc 3 có cực trị ( có cực đại, cực tiểu) thì đạo hàm y’ phải có 2
nghiệm phân biệt điều kiện :
0( ' 0)D> D >
.
- Để hàm số hàm bậc 3 không có cực trị thì đạo hàm y’ vô nghiêm hoặc có ghiệm kép
điều kiện:
0 ( ' 0).D£ D £
* Phương pháp giải.
- Bước 1: Tính đạo hàm. Từ đó tính
D
hoặc
'.D
- Bước 2: Từ yêu cầu bài toán nếu có cực trị (hoặc có cực đại, cực tiểu) thì có điều kiện
0( ' 0)D> D >
. Nếu không có cực trị thì
0 ( ' 0).D£ D £
- Bước 3 : Giải điều kiện ra giá trị tham số cần tìm.
* Ví dụ minh họa.
- Ví dụ: Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 5.
3
y x mx m x= - + + +
a. Tìm tham số m để hàm số có cực trị.
b. Tìm tham số m để hàm số không có cực trị.
Giải:
- Đạo hàm
2

* Phương pháp giải:
- Bước 1: Tính đạo hàm, biến đổi đạo hàm về dạng y’ = ax.(x
2
+ b). Như vậy
2
0 (1)
' 0
0 (2)
x
y
x b
é
=
ê
= Û
ê
+ =
ë
- Bước 2: Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số để hàm số có một cực trị thì (2) phải vô
nghiệm hoặc có nghiệm kép. Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số để hàm số có ba cực trị thì (2)
phải có 2 nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Từ điều kiện ở bước 3 ta tìm được tham số m.
* Ví dụ minh họa:
- Ví dụ : Cho hàm số y = - x
4
+ (2 – 4m)x
2
+ 3.
a. Tìm m để hàm số có một cực trị.
b. Tìm m để hàm số có ba cực trị.

1 2 0 .
2
m m- £ Û ³
b. Để hàm số có ba cực trị thì y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, nên (2) có hai nghiệm
phân biệt khác 0. Ta có
2
(2) 1 2x mÛ = -
do
2
0x ³
nên để (2) có hai nghiệm phân biệt
khác
1
1 2 0 .
2
m m- > Û <
* Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số trùng phương có cực đại, cực
tiểu cũng có nghĩa tìm tham số để hàm số có 3 cực trị.
2.4. Dạng 4: Tìm tham số để đường thẳng chứa tham số đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Để giải bài toán này chỉ đơn giản ta cho tọa độ điểm cực trị tương ứng nghiệm đúng
phương trình đường thẳng cho trước thì tìm được tham số.
* Ví dụ minh họa:
- Ví dụ: Cho hàm số
3
2
3 1
3
x
y x x= + - +
.

1
), ta cú :
2 1
.1 1 .
3 3
m m- = - =
c. Gi I l trung im ca hai im cc tr, ta I l :
3 1
1
2 2
14
1; .
2
3
10
14
3
2 2 3
A B
I
A B
I
x x
x
I
y y
y
ỡ
+ - +
ù

) iu kin l:
14 2
1 5.
3 3
m m=- - + =-
3. Bi tp cng c.
Bi 1: Cho hm s
3
2
3.
3
x
y x= - +
a. Kho sỏt v th (C) ca hm s trờn.
b. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s.
c. Tỡm tham s m im cc i ca th hm s nm trờn ng thng
( )
: 2 1.d y mx m= - + -
Bi 2: Cho hm s
( )
3
2
4 3 1.
3
x
y mx m x=- + + + -
a. Tỡm tham s m hm s cú cc tr.
b. Tỡm tham s m hm s nhn x = 1 lm im cc tiu.
c. Tỡm tham s m hm s nhn x = - 1 lm im cc i.
Bi 3: Cho hm s


Ngi vit: Cao Vn Tựng, Vi Vn Thng.
8
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
Có tiệm cận đứng (TCĐ)
d
x
c
= −
(chú ý
d
c
−
là nghiệm của mẫu) ; tiệm cận ngang
(TCN)
a
y
c
=
(chú ý
a
c
là hệ số ứng với x ở tử chia hệ số ứng với x ở mẫu).
2. Các dạng toán:
2.1. Dạng 1: Tìm tham số để tiệm cận đi qua điểm có toạ độ cho trước.
* Phương pháp giải toán:
+ Tìm phương trình tiệm cận tương ứng.
+ Cho toạ độ điểm đã biết nghiệm đúng phương trình tiệm cận.
- Ví dụ: Cho hàm số
( )

1
m
m
= ⇔ =
+
b. Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
.
1
m
y
m
=
+
Để tiệm cận ngang qua
( )
2; 1B − −
thì
1
1 .
1 2
m
m
m
= − ⇔ = −
+
* Nhận xét: - Để tiệm cận ngang qua điểm ta cho phần chứa tham số bằng hoành độ
của điểm cho trước.
- Để tiệm cận đứng qua điểm ta cho phần chứa tham số bằng tung độ của điểm cho trước.
2.2. Dạng 2: Tìm tham số để giao điểm của hai tiệm cận thuộc đường thẳng cho trước.
* Phương pháp giải toán:

- Thay m = -3 vào hàm số được:
5 1
.
3
x
y
x
− +
=
+
Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận TCĐ x
= -3 và TCN y = -5.
- Vậy m = -3 thoả mãn bài toán.
- Ví dụ 2: Cho hàm số
1
.
2
mx
y
x m
−
=
+ −
Tìm tham số m để giao điểm của hai tiệm cận của đồ
thị hàm số (nếu có) nằm trên đường thẳng (d
1
): x + 2y - 3 = 0.
Giải:
- Phương trình hai tiệm cận (theo tham số m) là: TCĐ x = 2 – m; TCN y = m.
- Giao điểm hai tiệm cận: I (2 – m; m).

.
mx
y
x m
−
=
−
a. Tìm m đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua
( )
1; 2 .A −
b. Tìm m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang qua
( )
3; 1 .B −
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
.
2 1
mx
y
x m
−
=
− +
Tìm m để giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số
nằm trên đường thẳng có phương trình.
a. (d): -2x + y + 2 = 0. b. (d1): x – 6 = 0.
I.4. Bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số.
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
1. Tập xác định: Tìm tập xác địng của hàm số

3 2 .= − +y x x C
Giải:
1. Tập xác định:
=D R
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
- Ta có
2
y' 3x 6x
= −

( )
2
0
' 0 3 6 0 3 2 0
2
x
y x x x x
x
=

⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔

=

- Trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )

lim lim ( 3 2) lim (1 )
x x x
y x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
= − + = − + =+∞
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
• Giao với Oy:
( )
0 2 0; 9x y A= ⇒ = ⇒
• Giao với Ox:

( )
( )
3 2
2
0 3 2 0
1 2 2 0
= ⇔ − + =
⇔ − − − =
y x x
x x x
2
1
1
1 3
2 2 0
1 3

* Nhận xét: Đồ thị đã cho có tâm đối xứng là điểm I ( 1 ;0 ) có hoành độ là nghiệm của
phương trình y’’ = 0. Việc chú ý đến tâm đối xứng sẽ vẽ đồ thị có hình dạng chuẩn hơn.
* Nhận xét chung khi khảo sát hàm số bậc ba:
- Việc xét dấu đạo hàm ta nên lập bảng xét dấu, sử dụng định lí về dấu của tam thức
bậc hai hoặc phương pháp thay điểm để xét dấu, công việc này làm ra nháp. Căn cứ
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
11
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
vào dấu đạo hoàm ta xét được tính biến thiên của hàm số: Dấu dương (+) hàm đồng
biến; dấu âm (-) hàm nghịch biến.
- Tính giới hạn tại vô cực cần chú ý đến dấu của hệ số ứng với
3
x
.
- Trong phần bảng biến thiên tại các vị trí vô cực cần lưu ý chiều mũi tên từ dưới lên
trên thì ta dùng
" "− ∞
. Nếu chiều mũi tên từ trên xuống dưới thì ta dùng
" ".+ ∞
- Khi vẽ đồ thị hàm số cần chú ý đến tính đối xứng của đồ thị qua tâm đối xứng .
- Giao điểm với Ox: một là tìm chính xác toạ độ giao điểm hoặc dùng máy tính chỉ ra
có bao nhiêu giao điểm ( chú ý nghiệm kép ) đồng thời ước lượng các điểm trên Ox
để vẽ đồ thị cho chuẩn không được viết giá trị xấp xỉ.
- Với hàm số bậc ba thường rơi vào bài toán mà đạo hàm y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
nguyên hoặc hữu tỷ (tương ứng hàm số có 2 cực trị ) được giải dễ dàng. Do vậy học sinh
không nên làm nhiều những bài toán có nghiệm đạo hàm phức tạp ( nghiệm vô tỷ).
- Tóm lại để vẽ đồ thị hàm bậc ba chuẩn và đẹp học sinh cần chú ý đến: Bảng biến thiên
( cho phép ta xác định được hình dạng đồ thị, giới hạn vô cực và các điểm cực trị); giao với
các trục tọa độ; tâm đối xứng và bảng hình dạng đồ thị hàm bậc ba trang 35- SGK.
* Bài tập đề nghị:

4 2
. . 0 .
= + + ≠
y a x b x c a

- Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
( )
4 2
2 3 .= − −y x x C
Giải:
1. TXĐ:
.=D R
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên
- Ta có:
( )
3 3 2
0
' 4 4 ' 0 4 4 0 4 1 0 1
1
=


= − ⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −


=

x
y x x y x x x x x

= − − = − − = +∞

4 2 4
2 4
2 3
lim lim ( 2 3) lim (1 )
x x x
x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
= − − = − − = +∞
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
12
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị :
• Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
• Giao với Oy :
0 3 (0; 3)x y A= ⇒ = − ⇒ −
• Giao với Ox:
4 2
0 2 3 0= ⇔ − − =y x x
3
3

=
⇔

= −


bề lõm quay lên trên;
0a< ⇒
bề lõm quay xuống dưới.
- Tóm lại để vẽ đồ thị hàm trùng phương cho chuẩn và đẹp học sinh cần chú ý đến: Bảng
biến thiên ( cho phép ta xác định được hình dạng đồ thị, giới hạn vô cực và các điểm cực trị);
giao với các trục tọa độ; trục đối xứng Oy và bảng hình dạng đồ thị hàm trùng phương trang
38-SGK.
* Bài tập củng cố:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
4 2
2 3y x x=− + +
b)
4 2
1 3
2 2
y x x=− − +
c)
4 2
8 1y x x=− + −
d)
4 2
2 2y x x= − +
e)
4 2
2 3y x x=− − +
g)
4 2
1 1
1

 
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
- Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 1 2 2 1
2 1
′ ′
− + − − +
′
=
+
x x x x
y
x
( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 2
5 1
0, .
2
2 1 2 1
+ − −
= = > ∀ ≠ −
+ +
x x
x

− +
   
   
→ − → −
 ÷  ÷
→ − → −
 ÷  ÷
   
   
− −
= = + ∞ = = − ∞
+ +
x x
x x
x x
y y
x x
⇒
đường thẳng
1
2
x=−
là tiệm cận đứng.
2 1
lim lim
2 1 2
x x
x
y
x

y
cx d
−
′
=
−
, (cần xác định đúng a, b, c, d).
Người viết: Cao Văn Tùng, Vi Văn Thương.
14
Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán- Trường THPT Lục Ngạn 4.
- Tiệm cận: Xét giới hạn trái. giới hạn phải, giới hạn tại “
;
+∞ −∞
”.
- Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
- Tóm lại để vẽ đồ thị hàm phân thức cho chuẩn và đẹp học sinh cần chú ý đến: Bảng
biến thiên ( cho phép ta xác định được hình dạng đồ thị, giới hạn vô cực, giới hạn tại
điểm tới hạn); giao với các trục tọa độ; các tiệm cận (đứng; ngang) và bảng hình dạng
đồ thị hàm phân thức trang 41-SGK.
* Bài tập củng cố:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
2
1
x
y
x
− +
=
+

x
y
x
+
=
+
; f)
1 2
2 4
x
y
x
−
=
−
I.5. Bài toán viết phương trình tiếp tuyến.
1. Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) tại một điểm.
1.1. Lý thuyết.
* Bài toán: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị là
( )
C
và một điểm
( )
0 0 0
;M x y
thuộc đồ thị
( )

0 0 0
.y y f x x x
′
− = −
1.2. Dạng toán.
a. Dạng 1: Viết PTTT của đồ thị
( )
C
khi biết toạ độ tiếp điểm
( )
( )
0 0 0
;M x y C∈
♦ Phương pháp giải: Cho
( )
0 0 0
;M x y
cần tìm
( )
0
f x
′

⇒
PTTT của
( )
C
- Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3 2

- Ví dụ 2: Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.Viết PTTT của đồ thị
( )
C
tại điểm
(2;4)A
.
Giải:
- Ta có :
2
3
' , 1
( 1)
y x
x
−
= ≠
−
( )
0
'( ) ' 2 3⇒ = =−y x y

)
⇒
PTTT của
( )
C
.
- Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 1 ( )y x x C= + +
.Viết PTTT của đồ thị
( )
C
tại điểm có hoành độ bằng
1−
.
Giải:
- Ta có
0 0
1 3 ( 1;3)x y M=− ⇒ = ⇒ −

2
' 3 6y x x= +

0
'( ) '( 1) 3y x y= − = −
- PTTT của đồ thị
( )
C
có dạng:



2
7
' , 2
(2 )
y x
x
= ≠
−

0
7
'( ) '( 2)
16
⇒ = − =y x y
- PTTT của đồ thị
( )
C
có dạng:

1 7
( 2)
4 16
7 5
16 8
+ = +
⇔ = +
y x
y x
* Nhận xét : Dạng 2 chỉ khác dạng 1 là thêm bước tìm

2−
.
Giải:
3 2
0 0 0
3 2
0 0
2 3 2 2
3 4 0
=− ⇔ − + =−
⇔ − + =
y x x
x x
2
0 0 0
0
0
2
0
0
( 1)( 4 4) 0
1 0
1
2
( 2) 0
⇔ + − + =
+ =
= −

