1
Trờng THPT
chí linh
***
Đề Thi học sinh giỏi lớp 12
năm học 2009 - 2010
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: ( 3,0 điểm)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
1
x
y
x



tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung.
2) Cho hàm số
3 2
3 1y mx mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
,x
2
, x
3

Chứng minh rằng:
a) D nằm trên một đờng thẳng cố định.
b)
2 2 2 2
SCD SAC SAD ACD
S S S S


trong đó
, , ,
SCD SAC SAD ACD
S S S S

là diện tích các

SCD,

SAC,

SAD,

ACD.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho
0
2
x y


. Chứng minh rằng

1
0
1
x
x



1
3
3
1 1
( )
1 1
x x
y
x x



2 2
3 3
2
1 1 2 1
' ( ) ( )' ( )
1 1 ( 1) 1
x x x
y
x x x x


0,25
m=0 => (1) vụ nghim

3 2
1
0 (1) 3 1m x x
m

0,25
Xột f(x)=x
3
-3x
2
+1 , f(x)=3x
2
-6x, f(x)=0
0
2
x
x






bng bin thiờn
x
- 0 1 2 +
f(x)

<1<x
2
<x
3
<=> Đường thẳng (d):
1
y
m
 
cắt đồ
thị (C): f(x)=x
3
-3x
2
+1 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ độ x
1
,x
2
,x
3
thoả mãn : x
1
<1<x
2
<x
3.
(d) cùng phương với ox cắt oy tại điểm có tung độ
1
m



  

         
  


  
  


 

 


KL:
1
( ;1)
3
m
0,5
Câu 2
(1,5đ)
T×m ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè
2
sin
2
cos x
y x 



    






 



0,25
y’’=-2cos2x-sinx
0,25
2
x k


 
=>y’’=2-sin(
2
k



)>0=>
2
x k

x k


 
là điểm cực đại của hàm số
0,25
vậy- điểm cực tiểu của hàm số là
2
x k


 
( )k 
-điểm cực tiểu của hàm số là
2
6
x k


 
;
5
2
6
x k


 
( )k 
0,25


 
    
 
  
 
 
    
 
 

0,5
Câu 4
(3,0đ)
1) 1,0đ
N
A
C
D
S
B
M
O
Trong tam giac vuông ABC có BC=AC.sinα=2Rsinα ; AB=AC.cosα
0,25
2
1
. 2 sin os
2
ABC


  

0,5
Do A cố định, (SAC) cố định nên D nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và vuông góc với
(SAC)
0,5
5
2b)(1,0đ)
( ) ( )
AB BC BC AN
BC SAB BC SB AN SBC
SA BC AN SC
AN SB
 
 
      
 
 
 
 
0,25
Trong tam giác vuông SAB có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
(1)
AN SA AB SA AD AC
    
0,25
Nhân 2 vế của (1) với

y y

.
Xét
2
sinx cos sinx
( ) (0; ] '( )
2
x x
f x x f x
x x


   
0,25
( ) cos sinx
g'(x)= cos sinx cos sinx 0 [0; ]
2
g x x x
x x x x x

 
      
=> g(x) nghịch biến trên
[0; ]
2

0,25
2
( )