Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 )
Câu 1: Giải phơng trình.
xx
x


1
36
= 3 + 2
2
xx
Câu 2: Cho hệ phơng trình:
x - 3y - 3 = 0
x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. Hãy tìm giá
trị của biểu thức.
M = (x

=+++ )yy()x
Hãy tính tổng: S = x + y
1
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
0
1
22
22

+
+
yx
yyxx
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là
những số chính phơng.
Câu 4: Cho hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai
đờng tròn này nằm trong đờng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tơng ứng tại M và N.
Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
) và (C

1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. Chứng minh
rằng :
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
Bài 3: Giải hệ phơng trình:

2 2 1 9
1 1
x y
x y
+ =


+ =


Bài 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
2
( 1) 2 1
2
m x my m

y x=
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
x
3
y
3
2y
2
3y 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy
sao
cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm
giữa O và B. Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA
tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ
tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
à
0
90A
, M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi
O và
E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí
của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Bài I (2

y
3
= 7y+3x
3
Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung
điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao
điểm của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc.
đề thi học sinh giỏi - lớp 9
môn toán -thời gian : 150 phút
ngời ra đề : lê thị hơng lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2

+ y
3
+ z
3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức

=
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
)(
2
1
yxyx
x



+
+
2
)(
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phơng trình: x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
2, Cho 1

a

2 và 1

b

2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
33
2
)(
ba
ba
+

2
) tại C và D. Qua A
kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o
1
) và (o
2
) tại M và N. Các đ-
ờng thẳng BC và BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng
CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Rút gọn A=






+








0
4
15
22
=+ mxx
có hai nghiệm và nghiệm này
bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
( )
( )



=+
+=+
2122
112
mmyx
mymx
Bài 5: Giải phơng trình
55
2
=++ xx
Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d
với Ox, Oy. Xác định m để S

ABO
bằng 4.
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

2
= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phơng trình : x
2
+ax+b = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
và phơng
trình :x
2
+cx +d = 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
.Chứng minh rằng :
2(x
1
+x
3
) (x
1
+x
4
) (x
2
+x
3
) (x

=1 thì 5a
2
=2b
2
+ac

Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA,BB,CC lần lợt là các
đờng cao. H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
7
24
1
1
aaa
a
++
+
6
'''
++
HC
CH
HB
BH
HA
AH

++
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y=
4
1
x
2
a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có
hoành độ lần lợt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích
lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R). Trên cung
AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao
cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1
điểm thứ ba cố định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ
dài ấy theo R.
8
Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều. Điểm A cách
đều các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đờng cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ trùng với
tam của đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCCB của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phơng trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0

Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phơng trình : x
2
2 .(m - 1) x + m 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
9
2x- 1
x
2
+ 2
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d R.
Hãy chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đờng tròn nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC,
SB SC.
Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.

4
4x
3
+ 3x
2
+ 8x 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
,
biết rằng: x
2
+ y
2
xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 7x
2
+ 13y
2
= 1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đờng tròn (O; R) có AB = AC = R
2
.
a) Tính BC theo R?
10
b) Cho M là điểm di động trên cung
ằ
AC
















=
22
1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phơng trình
2
1
)1(
4
2
= xm

b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
1820137
22
=+ yx
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của tam
giác
Chứng minh rằng
11
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 =
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt nằm
trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đờng tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đờng tròn, vẽ cát tuyến
PBC bất kì . tìm quỹ tích các điểm O
1
đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC
quay quanh P
Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs
Thanh hoá

2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
+ y
3
+ 6xy = 21.
Bài IV ( 2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O. M là điểm chính
giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M

là điểm đối xứng với M qua O.
Các đờng phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờng
thẳng AM

lần lợt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn.
2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài V (2 điểm )
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện:
11830 b;a

và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz .
12
Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc
với mặt phẳng (P).

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
Chữ ký của hai ngời coi thi: Số 1: Số 2:
Sở GD&ĐT Thanh Hoá

2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
z
yx
z
y
xz
y
x
zy
x
+
++
+
+
++
+
+
++
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải phơng trình :
6

2
+ 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
13
Cho Parabol (P) : y =
2
4
1
x
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có
hoành độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng có hoành
độ x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho
1
2
2
4
+
+
yx
x
là số nguyên dơng.
14
Bài 8 (2 điểm):
Cho 2 đờng tròn (0
1
, R
1
) và (0

Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
225353
42410175175
++
++
=A
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phơng trình:
x
2
- 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
myx
yx
=+
=+
2
32
Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:
132
1
=+
=+

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên
AB thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lợt tại A
1
D
1
CM cắt DN, BP lần lợt tại B
1
C
1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
có diện tích đạt
giá trị lớn nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m
3
.
2 đáy là 2 đờng tròn (O) và (O'), AB là 1 đờng kính của đờng tròn tâm (O), C di
động trên đờng tròn (O). S thuộc đờng tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích ABC là lớn nhất
b) Khi ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC.
Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS

ac
cb
cb
bcac
ba
abcb
ac
caba
cb
+

+
+

+
+

=
++

+
++

+
++

))(())(())((
222222
Bài 3: Cho phơng trình:
0122

2
1
+= xy
. Gọi A và B là
giao điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích

MAB
lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
4444
248 tzyx =++
Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung
tuyến AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh:
2
2
AC
AB
NC
NB
=
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị
bé nhất là bao nhiêu.
Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0)
tại A cắt BM và BN tại M
1
, N
1
. Gọi P là trung điểm của AM
1
, Q là trung điểm

=
6xx
x9
x3
2x
x2
3x
:
9x
x3x
1P
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4);
C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau
17
a)
01x4x
5x4x
5
2
2
=+

Ngời ra đề
Nguyễn Thị Tuyết
Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
Trờng THPT Quảng Xơng 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
1> cho









+
+








+


=

18



=
=
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
2> Giải phơng trình:
4
)11(
2
2
=
++
x
x
x
Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đờng tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp
điểm của AB và CD với đờng tròn (O).
a> CMR:
CF

22
++
+ x
y
y
x
yx
yx
với x, y khác 0
Hết

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II

Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn
19
P=
2
3
11
2
3
1
2
3
11

Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
cba
c
bca
b
acb
a
+
+
+
+
+
1694
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phơng trình:
x
2
+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đờng cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao
cho tia CB

AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I.
Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O.
a. Chứng minh

ABH đồng dạng với


1
++++++++= aaaaaaaaA
.
2) (2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
33
42231
1
+
=A
.
Bài 2:
20
1) (2đ) Giải phơng trình:
xxxyzxyxzyx =++++
2222
2116495
.
2) (2đ) Giải hệ phơng trình sau:





=+
=+
12
10
22
x
yx



=
BC
AB
MC
AM
.
Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm
trong tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện
tích các tam giác AEB và CED trong các trờng hợp:
1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
Hết.
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20
Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =
322
32
322
32


+
++
+
2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B =

1
111

+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
Chứng minh rằng: abc
8
1

Bài 4: (2đ) Giải phơng trình:
x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5: (6 đ).
Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đờng
tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC)
của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc
sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi
lớp 9
truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
thời gian: 150 phút

zyxyz
zx
++
=
+
2
1625
2
Câu2:(4đ)
22
Giải các phơng trình sau:
1.
29612
22
=+++ xxxx
2.
( )( )
256
27
21
3
= xx
với
21

x
Câu3: (4đ)
Cho họ đờng thẳng (D
m
) có phơng trình :

/
,C
/
lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC ,
CA , AB .
1.Chứng minh các tứ giác BC
/
A
/
M và CA
/
MB
/
nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A
/
, B
/
, C
/

thẳng hàng.
3.Trên đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
M. Gọi A
1
, B
1
, C
1

1
11
2
>++
+
+
n
nn

với mọi số tự nhiên
1
>
n
./.

đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs
môn toán
( Thời gian: 150 phút)
Câu 1:
a.(1 đ) Rút gọn biểu thức
A =
52104 ++
+
52104 +
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức
B =
x
x
211
21

C
Với x
1
,

x
2
là các nghiệm của phơng trình đã cho.
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phơng trình: 4x
2
+3x(4
x+1
-9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phơng trình nghiệm nguyên:
z
xy
+
x
yz
+
y
zx
=3
Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
Câu 5: Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN. Các đờng thẳng BM, BN
cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M và N. Gọi P, Q theo thứ
tự là các trung điểm MA và NA

24
x
2
+y
2
=
2
1
(1)
4x( x
3
x
2
+x-1) =y
2
+2xy -2 (2)
Câu 2 (1.5điểm)
Giải phơng trình nghiệm nguyên
x
2
y
2
-x
2
-8y
2
= 2xy (1)
Câu 3 (1.5 điểm )
Cho ba số thực dơng x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z


Đề đề xuất
Thời gian150
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
a\ Rút gọn biểu thức P
b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9
1x
Bài 2:(4đ) Cho parabol (P):
2
2
1
xy
=
, điểm I(0;2) và điểm M(m;0)
0m
a\ Vẽ (P)
b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P)
tại 2 điểm phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng tam
giác IHK vuông.
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4
0

m
Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
a. Giải và biện luận theo thámố m
25
1
4