Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
PHNG PHP TO TRONG MT PHNG.
Chuyên đề 0 : Véc t v t a véc t.
A. Tóm tắt lí thuyết.
I. Ta véc t.
1. Định nghĩa
( ; ) . .u x y u x i y j
= = +
r r r r
2. Các tính cht.
Trong mt phng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y
= =
r r
, ta có :
a.
( '; ')u v x x y y
+ = + +
r r
;
b.
( . ; . )ku k x k y
=
r
;
c.
. . ' . 'u v x x y y
= +


=

=

r r
.
3. Ví d .
Ví d . Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j
= =
r r r r r r
Tìm
k

,u v
r r
cùng phng.
Lời giải.
Ta có
,u v
r r
cùng phng

4
1
5

AB x x y y AB x x y y
= = +
uuur uuur
.
b. To trung im
I
ca on
AB
là :
( ; )
2 2
A B A B
x x y y
I
+ +
.
c. To trng tâm
G
ca
ABC

là :
( ; )
3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im

( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng hàng ( hay
,AB AC
uuur uuur
cùng phng)
b. Tìm to
D
sao cho
A
là trung im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên
Ox
sao cho
, ,A B E
thẳng hàng.
Ví d 3. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im
, ,A B C
to thành tam giác.
b. Tìm to trng tâm
ABC

là vtcp của

thì mọi véc tơ k.
u
r
(với k#0) cũng là vtcp của

Nếu

có vtcp là
);(
21
uuu
=
r
với u
1
#0 thì

có hệ số góc là K=
2
1
u
u
Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k thì có vtcp là
);1( ku
=
r

3) Véc tơ pháp tuyến:
Đn: Véc tơ
n
r
đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng

nếu
0n

r r

và
n
r
vuông góc với véc tơ chỉ phơng của

* Chú ý:
- Nếu
n
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì mọi véc tơ
.k n
r
( với
k#0) cũng là các véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

.
- Nếu

=
r
.
4. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ pháp
tuyến
);( ban =
r
. Khi đó phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :
0)()(
00
=+
yybxxa
(2). (
.0
22
+
ba
)
Hay: a.x+b.y+c=0 ( 2 ) (
.0
22

. Và phơng trình tổng
quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
=
yyuxxu
.
a2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (2) thì
);( ban =

r
. Từ đó đờng
thẳng

có vtcp là
);( abu =

r
hoặc
);( abu =

r
.
Cho
0

Phơng pháp: (Bài toán thứ nhất trong tam giác.)
b1:Tìm toạ độ trọng tâm G(x
G
;y
G
) của ABC
b2:Tham số hoá toạ độ của B(x
B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) theo ptrình BM,CN.
b3:Tìm toạ độ của B,C:áp dụng cthức:
3
A B C
G
x x x
x
+ +
=
;
3
A B C
G
y y y
y
+ +

=2x
B
+1.
Vậy B(x
B
;2x
B
+1).
Tơng tự, C(x
C
;y
C
) với

x
C
+y
C
-4=0.

y
C
=4-

x
C
.Vậy C(x
C
;4-




=+ + + =



=


.Vậy B(2;5) và C(3;1)
+>Phơng trình cạnh AB,BC,CA: Tự viết.
*Dạng 2:Tam giác ABC ,biết đỉnh A và 2 đờng cao BH,CK.Lập phơng trình
AB.BC,CA.Tìm toạ độ B,C.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ hai trong tam giác)
b1: Lập pt cạnh AB:-ĐI qua A
-AB vuông góc với CK
Lập pt cạnh AC: -ĐI qua A
-AC vuông góc với BH
b2:Tìm toạ độ điểm B,C
b3:Lập pt cạnh BC
ví dụ2:Tam giác ABC có A(1;2) và hai đờng cao BH:x+y+1=0 ; CK: 2x+y-2=0
Lập phơng trình 3 cạnh AB.BC.CA
Lời giải.
4
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Theo bài, đờng thẳng AB đI qua A(1;2) và vuông góc với CK:2x+y-2=0
Vậy AB có pttq là: 1.(x-1)-2.(y-2)=0 hay AB : x-2y+3=0
Tơng tự, AC đI qua A(1;2) và vuông góc với BH : x+y+1=0
Vậy AC có pttq là: 1.(x-1)-1.(y-2)=0 hay AC : x-y+1=0

y

=







=


vậy C(1/3; 4/3)
Do đó, phơng trình cạnh BC là: .
*Dạng 3:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đờng cao BH,trung tuyến CK.Lập pt các cạnh
Phơng pháp: ( Bài toán thứ ba trong tam giác)
b1:lập đợc ngay pt cạnh AC đI qua A và vuông góc với BH.Từ đó tìm đợc C
b2:Tham số hoá toạ độ B(x
B
;y
B
); K(x
K
;y
K
) theo phơng trình BH,CK
Tìm toạ độ B nhờ:
2
2

Theo bài,AC đI qua A(4;-1) và vuông góc với
( ) : 2 3 0BH x y =
nên AC:3x+2y-10=0
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:

3x+2y-10=0 6
2x+3y=0 4
x
y
=



=

vậy C(6;-4)
Giả sử B(x
B
;y
B
) ta phảI có: 2x
B
-3y
B
=0 vậy y
B
=
2
3
B

=



+

=


hay
4
11
2
2 4
8
2
4 2 3
5
1 ( )
2
3
4
3 2
B
K
K
K B
K B
B
K


vậy B(-5/4;-5/6)
+)Lập pt của AB.BC:
5
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
*Dạng 4:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,ACvà biết trọng tâm G.Lập ptcạnh còn lại
Phơng pháp: ( Bài toán thứ t trong tam giác)
( Trọng tâm là giao 3 đờng trung tuyến của tam giác)
b1:tìm đợc ngay toạ độ điểm A
Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ :
2.AG GM=
uuur uuuur
b2:Tham số hoá toạ độ của B(x
B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) theo phơng trình AB,AC
b3:Tìm toạ độ của B.C nhờ:
2
2
B C
M
B C
M
x x

2.AG GM=
uuur uuuur
5
3 2.( 1)
2
1 2.( 2) 5
2
x
x
y
y

=

=

=


=


vậy M(5/2; 5/2)
Vì B thuộc AB nên toạ độ B(x
B
;y
B


+

=


hay
5
5
1
2 2
41 3 3
5
2 2
B C
B C
B
CB C B C
x x
x x
x
xx x x x
+

=

+ =
=



u
uuur
=0
b4:Phơng trình cạnh BC : Qua B
Có
HA
uuur
là véc tơ pháp tuyến.
ví dụ 5:Tam giác ABC biết AB:5x-2y+6=0 và AC: 4x+7y-21=0 và H(0;0) là trực
tâm của tam giác.Lập pt cạnh BC.
6
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
LG: Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt:
5 2 6 0 0
4 7 21 0 3
x y x
x y y
+ = =



+ = =

vậy A(0;3)
Vì B(a;b) thuộc AB nên 5a-2b+6=0 suy ra b=
5 6
2
a +
.hay B(a;

*Dạng 6:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam
giác.Lập pt cạnh BC.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ sáu trong tam giác)
( Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đờng trung trực của 3 cạnh ).
b1:Tìm ngay đợc toạ độ của A
Gọi M là trung điểm cạnh AB.Vì I là trực tâm nên IM vuông góc với AB.

M
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
b2:Gọi N là trung điểm của AC.Vì I là trực tâm nên IN

AC.

N
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
b3:Lập pttq của BC khi biết B,C.
ví dụ 6:tam giác ABc,biết AB:x+y-1=0 ; AC: 2x-y-2=0 và I(1;1) là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác.Lập pttq của BC.
LG: theo bài có A(1;0)
Gọi M(x
M
;y
M
) là trung điểm của AB.Ta có x
M
+y
M
-1=0 vây M(x
M
;1-x

Tơng tự , vì N là trung điểm cuủa AC nên suy ra C(9/5;18/5)
Vây pttq của BC là :
*Dạng 7:Tìm điểm đối xứng M của M qua đờng thẳng

PP: b1: Lập pt của d qua M và d vuông góc với

b2:Gọi I là giao điểm của d với

.Tìm đợc i
b3:Gọi M là điểm đối xứng với M qua

.Khi đó I là trung điểm của MM
vậy tìm đợc M nhờ:
'
'
2
2
M M
I
M M
I
x x
x
y y
y
+

=



y
=



=

hay I(-2;0)
Giả sử M(x;y) là điểm đối xứng với M qua

.Ta có:
'
'
2
2
M M
I
M M
I
x x
x
y y
y
+

=



+

.Vậy M(-3;-3)
b. Luyện tập.
B i 1. Vit phng trình tổng quát hoặc PT tham số của đởng thẳng:
a) i qua hai đim M(1;-1) v N(3;2).
b) i qua A(1;-2) v song song v i đng thng 2x - 3y - 3 = 0.
c) i qua đim P(2;1) v vuông góc v i đng thng x y + 5 = 0.
d) Đi qua
(1;1)A
và có hệ số góc
2k
=
.
B i 2. Cho tam giác ABC ,A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết PT tổng quát :
a)các cạnh AB, AC, BC
b)Đờng cao AH và Trung tuyến AM
c)Đờng thẳng qua A và song song với BC
d)Đờng trung trực của AC
e)Đờng trung bình của tam giác song song với cạnh BC
Bài 3.Cho hình chữ nhật ABCD biết: A(1,3) ,B(2;-1)
và cạnh DC có ptrình: 2x+y-2=0
a) lập pt các cạnh AB,BC,AD
b) Tìm toạ độ của C,D
Bài 4:Xem lại các ví dụ .Làm các bài tơng tự.
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A. Tóm tắt lí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đờng thẳng
1 2
;


(1)
+) Nếu hệ (1) có một nghiệm (x
0
; y
0
) thì hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm
M(x
0
; y
0
) .
+) Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau.
+) Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y
thì hai đờng thẳng trùng nhau
2.Cách 2:
Nếu
1 2
1 2
a a
b b

thì hai đờng thẳng cắt nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c


= +

c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '
2
x t x t
t t R
y t y t
= = +



= + =

Ă
Dạng 2. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2 2
1 2
:( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m
+ + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2

.Nếu
1 2

thì góc giữa
1


và
1

là 90
0
.
Nếu
1 2
//

hoặc
1 2

thì ta quy ớc
( )
1 2
, 0
o
=
9
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Nhận xét: 0

,
đợc xác định theo công thức:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
=
+ +
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ ph-
ơng( hoặc véc tơ pháp tuyến ) của chúng.
b. Các dạng bài tập.
Dạng 1. Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ1: Xác định góc giữa hai đờng thẳng trong các trờng hợp sau:

( )
1 2
:3 2 1 0; :
7 5
x t
x y t R
y t
=

+ =


: 3 7 0; : 1 0x y mx y
+ = + + =
Tìm
m
để
( )
1 2
, 30
o
=
.
Lg:góc giữa hai đờng thẳng đợc xác định theo
1 2
2 2 2 2
3 1
( , )
( 3) ( 1) . 1
m
cos
m

=
+ +

Theo bài có:
0 2
2 2
3 1 3 1
3
30 3( 1) 3 1

Lời giải:
Giả sử AC qua M(1;1) và có véc tơ pháp tuyến là:
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
10
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Khi đó pt AC: a(x-1)+b(y-1)=0 hay : ax+by-a-b=0
Theo bài,tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B=C hay:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.2 1.( 3) 2. ( 3). 2 3
1
( , ) ( , )
2. 13
1 1 . 2 ( 3) . 2 ( 3) . 13
a b a b
AB BC AC BC
a b a b
+ +
= = =
+ + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2. 2 3 2.(2 3 ) 8 24 18a b a b a b a b a b a ab b + = + = + = +
2 2
7 24 17 0a ab b + =

(**).
Phơng trình AC: cx+dy-2c-6b=0
(AB,BC)=60
0

0
2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
1
60
2
. 12
. ( 3) ( 3)
a b a b
cos
a b
a b

= =
+
+ +
2 2
12( ) 2. 3 3a b a b + =
(1)
(AC,BC)=60
0
0
2 2
2 2 2 2

= + + = +
+ +

(3)
Từ (1),(2),(3) có hệ ptrình:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0;(1')
12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0;(2')
( ).( ) 4( ) ( ).( ) 4( 2 );(3')
a b a b b b a
c d c d d d c
a b c d ac bd a b c d a c abcd b d

+ = =+ = =+ + = + + + = + +Từ hệ trên,ta tìm a,b thoả mãn (*).Tìm c,d thoả mãn (**).
Từ pt (1) chọn b=0 suy ra a=1.Thế vào pt (3) ta đợc 3c
2
-d
2
=0.Từ pt này chọn d=

AC BD AC
AC BD u n n = = =
uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy pttq của AC: x-7y-11=0
+)Tìm toạ độ đỉnh C.
Gọi I là giao của hai đờng chéo,ta có toạ độ C là nghiệm của hệ:
7 27 0 4
7 11 0 1
x y x
x y y
+ = =



= =

.Vậy I(4;-1).
Vì ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của AC.suy ra C(11;0).
+)Tìm toạ độ điểm B
Giả sử B(x
B
;y
B
),vì B thuộc BD nên: 7x
B
+y
B
-27=0

y



=

.Vậy B(5,-8).Và D(3;6)
+)phơng trình cạnh AB. 3x+4y+17=0
+)phơng trình cạnh BC: 4x-3y-44=0
+)phơng trình cạnh CD: 3x+4y-33=0
+)phơng trình cạnh AD: 4x-3y+6=0
ví dụ 4: Cho hình vuông tâm
( )
2;3I
và
( )
: 2 1 0AB x y
=
.
Viết phơng trình các cạnh còn lại , các đờng chéo .
Lời giải.
+)phơng trình cạnh DC:
Vì ABCD là hình vuông nên AB song song với DC.suy ra
(1; 2)
DC AB
n n= =
uuur uuur
Vậy DC: x-2y+c=0. ( điều kiện c

-1)
Hơn nữa ta có:
2 2 2 2

d I AB d I CB a
+ +
= = + =
+ +
2
12
a
a
=



=

Vậy BC: 2x+y-2=0
AD: 2x+y-12=0
+)Phơng trình AC.
12
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Toạ độ của A là nghiệm hệ:
2 1 0 5
2 12 0 2
x y x
x y y
= =



+ = =

.
Lời giải.
Giả sử

đI qua M và có vtpt là:
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*). Ta có

: ax+by-a-2b=0
Theo bài,

tạo với d một góc 45
0
nên:
0
2 2 2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 2
2
45
2
3 ( 2) . 13.
a b a b
cos
a b a b
+

( , )
ax by c
d M
a b
+ +
=
+
B: Các chú ý liên quan: (Bổ sung)
Chú ý 1: Nếu đờng thẳng

: ax+by+c=0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt
phẳng có bờ là

,ta luôn có:
-Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M
1
(x
1
;y
1
) thoả mãn
ax
1
+by
1
+c>0
-Một nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M
2
(x
2

và
2

1 2
( , ) ( , )d M d M =
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
Vậy phơng trình hai đờng phân giác tạo bởi
1

và
2

là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
Chú ý: xem lại tính chất của đờng phân giác của một góc-sgk toán lớp 7.
C Các ví dụ

13
2 ( 3)
d I R R R
+
= = =
+
v í dụ 2 :Cho đờng thẳng

: x-y+2=0 và 4 điểm 0(0;0) ; A(2;0);C(-1,3) ;D(-3;2)
a)Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng

b)CMR:A và C và nằm về hai phía đối với đờng thẳng

c)CMR: hai điểm C và D nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng

d)Tìm điểm O đối xứng của O qua

lời giải.
a)thay toạ độ của điểm O và A vào vế trái của

ta có:

(O)=0-0+2=2>0

(A)=2-0+2=4>0
Vậy

(0).

(A)=2.4=8>0 .vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đ-

2
: x-2y-3=0
Lời giải.
Phơng trình hai đờng phân giác của các góc giữa

1
và

2
2 2 2 2
2 4 7 2 3 2 4 7 2 3
20 5
2 4 1 ( 2)
x y x y x y x y+ + + +
= =
+ +
2 4 7 2( 2 3) 8 13 0
2 4 7 2( 2 3) 4 1 0
x y x y y
x y x y x
+ + = + =
+ + = + =

Kết luận: Có 2 đờng phân giác thoả mãn bài toán: 8y+13=0 và 4x+1=0
v í dụ 4 :Tìm phơng trình của tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng

1

+


=


+ = + =
+ +


Ta thấy rằng hai điểm B và C phải nằm về hai phía đối với đờng phân giác trong
của góc A.
Ta có
1
( )B
=-4+3+9=8>0

1
( )C
=9+2+9=20>0 vậy =8.20=160 > 0 suy ra B,C nằm về cùng 1 phía
đối với (
1

)
Ta có:
2

(B)=-4+3-3=-4<0

2

B
) : x-2y+1=0
(d
C
) : 2 x-3y+6=0
Lập phơng trình các cạnh của tam giác.
Lời giải.
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua (d
B
) : x-2y+1=0.do A A
1
vuông góc với d
B

nên AA
1
có ptrình: 2x+y-3=0.Khi đó giao điểm của d
B
và A A
1
là I(1;1) là trung
điểm của A A
1
.Từ đó suy ra A
1
(0;3)
Goi A
2

Suy ra A thuộc BC.
+) b3: Lập pt cạnh BC đi qua 2 điểm C,A
+)b4: lập pt cạnh AB: Tìm B
v í dụ 9 :Cho tam giác ABC,biết A(-1;3), đờng cao BH: x-y=0.Đờng phân giác trong
của góc C nằm trên đờng thẳng

: x+3y+2=0.Tìm phơng trình các cạnh.
Lời giải. ( Đề thi ĐH kiến trúc 1998)
Theo bài,AC vuông góc với BH.Vậy pt cạnh AC: x+y-2=0
Từ đó toạ độ C là nghiệm hệ:
3 2 0 4
2 0 2
x y x
x y y
+ + = =



+ = =

vậy C(4;-2)
Gọi Alà điểm đối xứng của A qua đờng phân giác

:x+3y+2=0.cóAA:3x-y+6=0
Có trung điểm I của AA là giao của AA với x+3y+2=0.Vậy I(-2;0).Vậy A(-3;-3)
Khi này A thuộc BC.Vậy pt BC chính là pt CA: x-7y-18=0
Suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ
0 3
7 18 0 3
x y x

: x-3y-2=0, đờng phân giác
trong của góc C có phơng trình:

: x-2y-1=0.Lập phơng trình các cạnh.
Lời giải.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua

: x-2y-1=0.Ta có A(6;0)
Gọi C(x
C
;y
C
) thì vì C thuộc

nên : x
C
-2y
C
-1=0 suy ra C(2y
C
+1;y
C
)
Tợng tự điểm B
1
(x
1
;y
1
) thuộc BB

y y
+ + +


= + =

=



+ +

=
= =
Vậy B(-14/2; -7/2) và C( -21;-11)
16
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Vậy pt cạnh AB,BC,CA:
Bài 2 : Phơng trình đờng tròn.
A. Tóm t t lý thuy t.
1. Phng trình đờng tròn có tâm và bán kính cho trớc.
Trong mt phng
Oxy
cho ng tròn tâm
( ; )I a b
bán kính

ng thng tip xúc vi ng tròn khi v ch khi khoảng cách t tâm ng
tròn n ng thng bng bán kính ca ng tròn.
tiếp xúc (C)

d(I,

)=R
b)Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc (C).
Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) là:
(x
0
-a).(x-x
0
)+(y
0
-b).(y-y
0
) =0

qua A, có h s góc k . Dng

: y= k(x-x
a
)+y
a
- ktx ca

v (C ) là : d(I,

)=R
- Gii ktx, tìm k. Nu có 2 giá tr k -> dng. Nu ch có 1 giá tr k thì kim
tra dng

qua A không có hệ số góc: x=x
A
có tha mãn ktx -> nhn.
d) Vi t pttt c a ờng tròn khi bi t ph ng của tiếp tuyến .
* PP: Kiểu 1:

// (d): ax+by+c=0
17
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
- Dng

: ax+by+m=0
- ktx: d(I,

)=R -> m.

, vi
( 2;4), (5;5), (6; 2)A B C

.
Đáp s :
2 2
4 2 20 0x y x y
+ =
.
Ví d 4.Vit phng trình đờng tròn có tâm
( 1;2)I
và tip xúc vi ng thng
: 2 7 0x y
+ =
. Đáp s :
2 2
4
( 1) ( 2)
5
x y
+ + =
.
Ví d 5.Vit phng trình ng tròn qua
( 4;2)A
và tip xúc vi hai trc to .
Đáp s :
2 2
( 2) ( 2) 4x y
+ + =
hoc

+ + =
. d.
2 2
2 2 3 2 0x y x
+ =

Đáp s : c )
( 3;4), 3I R
=
. d)
3 5
( ;0), .
4 4
I R
=
Ví d 2. Cho phng trình :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m
+ + + + =
.
a. Tìm iu kin ca
m
pt trên là pt ng tròn.
b. Tìm quỹ tích tâm ng tròn.
Lời giải.
Giả sử pt đờng tròn có dạng:x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a

2
4 5 0 5 1m m m + > < <
18
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
b)với điều kiện: -5<m<1, thì pt đã cho là pt đờng tròn , có tâm I(-3m;m-1)
vậy toạ độ của I
1
3
1
1
3
1
3
1
I
I
I I
I
I
x m
m x
y x
y m
y m

=
=



m

( )
m
C
là ng tròn tâm
(1; 3).I
Vit phng trình ng tròn này.
c)Tìm
m

( )
m
C
làng tròn có bán kính
5 2.R =
Vit phng trình ng tròn đó
d)Tìm tp hp tâm các ng tròn
( )
m
C
.
Lời giải.
Giả sử pt đờng tròn có dạng:x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a
2
+b

( )
m
C
là ng tròn tâm
(1; 3).I
2 2
( 1) 1 0 0
3 3 0
m m
m m m
m m
= = = = =

khi đó pt đờng tròn là: x
2
+y
2
-2x+6y+2=0
c)
( )
m
C
làng tròn có bán kính
5 2.R =

=



=
=
+ =





=


vậy có 2 pt thoả mãn: x
2
+y
2
+12x-8y+2=0 hoặc x
2
+y
2
-8x+12y+2=0
d)với điều kiện: m#2 thì pt đã cho là pt đờng tròn , có tâm I(-(m-1);m-3)
vậy toạ độ của I
( 1) 1
2
3 3
I I

+b
2
-c>0
ta có: -2a=-4; -2b=8; c=-5.Vậy a=2, b=-4, c=-5 và a
2
+b
2
-c=25
19
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
a) Tâm I(2;-4) và bán kính R=5
b) giả sử

là tiếp tuyến của đờng tròn tại điểm A(-1;0).Thì

có vtpt là
IA
uur
=(-3;4)
vậy pttq của

là : -3.(x+1)+4.(y-0)=0 hay -3x+4y-3=0
c)Giả sử

là tiếp tuyến cần tìm.Vì



3x-4y+5=0 nên

: 4x+3y+29=0 và

: 4x+3y-21=0
ví dụ 2:Viết phơng trình tiếp tuyến

với đờng tròn
(c ): x
2
+y
2
-4x+6y+3=0
biết rằng

song song với đơng thẳng d : 3x-y+2006=0
lời giải.
Đờng tròn (c ) có tâm I(2;-3) và bán kính R=
10
.
Phơng trình của đờng thẳng

song song với d có dạng: 3x-y+c=0

tiếp xúc với (c ) khi và chỉ khi d(I,

)=R

2 2
1
3.2 1.( 3)
10 9 10

r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
Dng

: a( x-3)+b(y+2)=0 hay ax+by-3a+2b=0

tiếp xúc với (c )
2 2
2 3 2
( , ) 5
a b a b
d I R
a b
+ +
= =
+

2 2 2 2 2
(3 ) 5.( ) 4 4 6 0b a a b a b ab = + + =
2 2
2 2 3 0a b ab + =
Chọn a=1 suy ra b=-1/2 hoặc b=2
Vậy có 2 phơng trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là:
x-
1
2

( )C
bit rng :
a)Tâm
(1; 5)I
và đi qua gc to .
b) Ngoi tip
OAB

vi
(4;0), (0; 2)A B
.
c) Tip xúc vi
Ox
ti
(6;0)A
và đi qua
(9;3)B
.
3. Cho hai im
( 1;6), ( 5;2)A B
. Lp phng trình ng tròn
( )C
, bit :
a) ng kính
AB
. b)
( )C
ngoi tip
OAB
.

2
+3
2
+4a-6b+c=0 hay: 4a-6b+c=-13 (2)
mặt khác, tâm I(a,b) nằm trên
:3 10 0x y
+ =
nên: 3a-b+10=0 (3)
từ (1),(2),(3) ta có hệ phơng trình.

2 4 5 3
4 6 13 1
3 10 0 5
a b c a
a b c b
a b c
+ = = + = = + = =

.Thử lại a
2
+b
2
-c=(-3)
2

A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
+ +
=
+ +
=
hay
4 2 ( 3)
3
3 7 ( 8)
3
G
G
x
y
+ +
=
+ +
=
hay G(1;2/3)
Gọi H(x
H
;y
H

Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn

5( 4) 15( 3) 0 3 13 13
7 11 91 07( 2) 11( 7) 0
H h H H H
H H HH H
x y x y x
x y yx y
= + = =



+ = = =

vậy toạ độ của H(13;0)
b)Giả sử phơng trình đờng tròn có dạng x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0
ta có A,B,C thuôc ( c)
16 9 8 6 0 8 6 25 5
4 49 4 14 0 4 14 53 1
9 64 6 16 0 6 16 73 59
a b c a b c a
a b c a b c b
a b c a b c c
+ + = + = =