Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T

2. Bài toán mở đầu thứ hai.
Bài toán gốc. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng
các tam giác đều ABF; ACD. Chứng minh rằng CF = BD.

B
C
A
F
D
H ớng dẫn:
Xét hai tam giác:
VDAB
và
VCAF
, có:

ã
ã
=


=


=

DA CA
DAB CAF
AB AF

F
O
H ớng dẫn
Gọi O là giao điểm của BD và CF.
Ta cần chứng minh A; O; E thẳng hàng.
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Ta có

DAB =

CAF (bài toán mở đầu)


à
1
B
=
$
1
F


tứ giác AOBF nội tiếp


à
1
O
=
à

C
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2)

ã
AOF
= 180
0


A; O; E thẳng hàng
Hay AE; BD; CF đồng quy.
Qua bài trên ta nhận thấy các góc
ã
ã
ã
= = =
0
AOB AOC BOC 120
Khi đó ta bài
toán dựng hình khá quen thuộc:
Bài toán 2:
Dựng điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho
ã
ã
ã
= = =
0

DC = AC (gt)


ã
ã
ã



= = =


0 0
CP = OC (1)
CPD AOC 120 CPO 60 (2)
Từ (1) và (2) suy ra

CPO đều

OP = OC
Do đó ta có: OA + OB + OC = PD + OB + OP Hay: OA + OB + OC = BD
Đây là một đẳng thức khá đẹp, nhng đẳng thức trên có ý nghĩa gì không?
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 3:
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Xác định điểm O trong tam giác nhọn ABC sao cho tổng khoảng cách từ O
tới ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất.
H ớng dẫn
Dựng





CQD =

COA (c.g.c)

OA = QD
DC = AC (gt)
Do đó ta có: OA + OB + OC = BO + OQ + QD

BO + OD

BD
Dấu = xảy ra khi :
+) O, Q, D thẳng hàng mà
ã
CQO
= 60
0



ã
CQD
= 120
0
nên
ã
AOC

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABF; ACD
vuông cân tại A. Chứng minh rằng CF = BD; CF

BD.

B
C
A
D
F
O
H ớng dẫn:
+) CF = BD (tơng tự nh bài toán 1)
+) CF

BD (Tứ giác AOBF nội tiếp


ã ã
= =
0
BOF BAF 90
)
Tiếp tục bài toán trên. Gọi M; N; I lần lợt là trung điểm của BF; CD; BC

B
C
A
D


MIN là tam giác gì?

B
C
A
N
M
I
Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng
minh hơn bằng cách thay các tam giác vuông cân ABM, CAN bằng các
hình vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán đơn giản hơn. Ta có bài
toán 6.
Bài toán 6 :
Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF.
a.Chứng minh rằng: BF = CE và BF

CE
b.Gọi I, J lần lợt là tâm của hai hình vuông đó. M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng

MIJ là tam giác vuông cân.

B
C
A
H
F
E

của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác AEF. Ta có bài toán 8.
Bài toán 8:
Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF. Chứng minh rằng đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đ-
ờng cao AP của tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC
cũng là đờng cao của tam giác AEF.

B
C
A
H
F
E
D
M
Q
P
N
H ớng dẫn
Trớc hết ta chứng minh AN

BC.
Dựng hình bình hành AEQF, suy ra Q, N, A thẳng hàng.
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Xét hai tam giác:

ABC và

FQA, có:
ã

BC. Liệu QC có vuông góc với BH
không? Từ đây ta có bài toán 9.
Bài toán 9:
Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng: BH = QC và BH

QC

A
C
B
P
M
D
E
F
H
Q
N
O
H ớng dẫn
Gọi O là giao điểm của BH và QC. Theo bài toán 9, ta có:

ABC =

FQA,
nên: BC = QA và
ã
ã
ã

+ = = =
0 0
AQC QCP 90 CBH QCP 90
hay
ã
=
0
BOC 90
.Hay BH

QC
(2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T
Tơng tự nh trên ta cũng có CD

QB. Ta nhận thấy QP, BH, CD là ba đ-
ờng cao của tam giác QBC. Và từ dây ta xây dựng đợc bài toán mới đợc
phát biểu ở dạng khác.
Bài toán 10:
Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh rằng QP, BH và CD đồng quy

B
C
A
P
H
F
E
D


B
C
A
F
D
I
T
N
M
H ớng dẫn
Gọi T là trung điểm của AC. Xét hai tam giác:

AMN và

TIN, có:
ã
ã
ã
( )
=



= = =


=




ABC và

DPC, có:
Bài tập phát triển tư duy Trần Quốc Tộ
·
·
=


= ⇒ = ⇒ =


=

V V
ab dp
bac pdc abc dpc bc pc
ad dc
(1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã:
∆
ABC =
∆
FBP (c.g.c)
⇒
BC = BP (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra
∆
PBC ®Òu