Lụứi Caỷm ụn
Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc
n thy giỏo hng dn PGS. TS. Trn Vui ó tn tỡnh
hng dn, giỳp tụi trong quỏ trỡnh lm khoỏ lun.
Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trong
khoa Toỏn trng HSP Hu ó tn tỡnh ging dy v
ch bo tụi trong sut 4 nm hc va qua.
Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trng
THPT Hai B Trng (c bit l t Toỏn) ó giỳp v
to iu kin thun li tụi tin hnh thc nghim s
phm phc v cho khoỏ lun.
Nhõn dp ny, tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh v
bn bố ó giỳp , ng viờn tụi yờn tõm hc tp v
hon thnh khoỏ lun ny.
Hu, thỏng 5 nm 2008
Sinh viờn
Bựi Th c
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu viết tắt
MỞ ĐẦU............................................................................................................5
I. Lý do chọn đề tài .......................................................................................5
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................6
III. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................6
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................6
V. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................6
CHƯƠNG 1........................................................................................................8
CƠ SỞ LÝ LUẬN..............................................................................................8
1. Tư duy toán học.........................................................................................8

2.2. Nội dung thực nghiệm..............................................................................62
2.3. Thu thập dữ liệu.......................................................................................62
3. Kết quả phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh.............................65
4. Kết luận sư phạm.....................................................................................72
KẾT LUẬN......................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................75
3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GQVĐ : Giải quyết vấn đề
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
SGK : Sách giáo khoa
THPT : Trung học phổ thông
4
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Một trong những bất cập lớn nhất của giáo dục Việt Nam hiện nay là chất lượng
đào tạo thấp, thiên về lý thuyết, thiếu thực tế và tính sáng tạo. Dạy học theo kiểu
áp đặt, truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh, khiến
các em có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật
toán bất di bất dịch, sẽ không còn chổ cho những ý tưởng mới, hay ít ra là cũng
không có cơ hội để những học sinh bình thường đưa ra những suy nghĩ, cách nhìn
mới của bản thân, sáng tạo mới có lẽ chỉ dành cho những thiên tài như Isacc
Newton … Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản
chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không
phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.
Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi
phương pháp dạy học truyền thống (lối truyền thụ tri thức áp đặt, một chiều từ
người dạy đến người học, người học tiếp thu một cách thụ động theo phương
thức tái hiện) đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức,

• Nghiên cứu cơ sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy
luật khi giải toán;
• Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ;
• Nghiên cứu về khó khăn và thuận lợi của HS trong việc tìm quy luật khi giải
toán;
• Vận dụng cơ sở lý luận vào tìm quy luật để giải một số bài toán.
V. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
• Nghiên cứu nội dung và lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán;
• Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán.
6
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
• Thực hành giảng dạy;
• Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến;
• Nghiên cứu hoạt động.
VI. Cấu trúc khoá luận
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận
1. Tư duy toán học
2. Phương pháp giải quyết vấn đề
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán
Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình
huống thực tế hằng ngày
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm
2. Quá trình thực nghiệm
3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm
4. Kết luận sư phạm

đoạn lịch sử đó.
8
Tư duy được nảy sinh khi trong hoạt động thực tiễn xuất hiện một mục đích mới,
một vấn đề mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động quen thuộc
không đủ để giải quyết (những hoàn cảnh (tình huống) như thế gọi là hoàn cảnh
có vấn đề).
Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của HS để đạt đến một kết luận có cơ sở
từ những dữ liệu đã cho. HS phải đặt giả thuyết, những tính chất trừu tượng từ
những mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và lý
giải các kết quả đạt được. Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thành
những ý tưởng mới. Chúng ta cần phân biệt hai thuật ngữ “suy luận” và “tư duy”.
Suy luận được xem là một bộ phận của tư duy, nó nằm trên mức độ kiến thức hay
nhắc lại.
Các khối tư duy toán học được xếp theo mức độ từ thấp đến cao như hình vẽ dưới
đây:

Chúng ta chia tư duy thành bốn thành phần chính: nhắc lại, hiểu, phê phán, sáng
tạo. Giữa các mức độ tư duy có sự tương tác qua lại, mỗi mức độ tư duy sử dụng
rộng rãi những kỹ năng bên dưới nó. Ngay trong những mức độ của tư duy bậc
cao cũng đã có sự tương tác qua lại rất lớn giữa tư duy phê phán và tư duy sáng
tạo.
9
Suy luận
Bậc cao
Sáng
tạo
Phê phán
Hiểu
Nhắc lại
• Nhắc lại: bản chất dường như là tự động và phản xạ. Những phép tính nhẩm,

thời gian
1
t
,
2
t
trên cùng một đoạn đường s. Khi đó vận tốc trung bình trên toàn
bộ các đoạn đường đi được là:
2121
21
11
222
vvv
s
v
s
s
tt
s
+
=
+
=
+
.
Đó chính là trung bình điều hoà.
• Phê phán: là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của tình
huống hoặc bài toán. Các kỹ năng của tư duy phê phán bao gồm:
- tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn;
- thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán;

+
nn
mà chúng ta dạy HS đi tìm tổng của n số tự nhiên liên tiếp. Tức là
chúng ta đang dạy HS tư duy. Chúng ta luôn mong muốn những kỹ năng tư duy
bậc cao này được phát triển thông qua việc dạy GQVĐ theo cả hai khía cạnh.
Thứ nhất là giải quyết vấn đề như là một đối tượng của dạy học và thứ hai là sử
dụng nó như là một phương pháp dạy học GQVĐ thông qua tất cả các hoạt động
dạy học.
11
Tư duy sáng tạo, tư duy phê phán và tư duy GQVĐ là tất cả các khía cạnh học tập
của HS. Chúng sẽ trở thành một phần chính trong hoạt động dạy học hằng ngày
của chúng ta. Chúng ta phải làm cho lớp học toán phản ánh được yêu cầu này về
hiểu biết toán và năng lực toán. Năng lực toán phải bao gồm khả năng “khám
phá, đặt giả thuyết và suy luận logic cũng như khả năng sử dụng các phương
pháp toán học khác nhau một cách có hiệu quả để giải quyết các bài toán không
quen thuộc trước đó”. Phát triển và rèn luyện cho HS những kỹ năng suy luận và
GQVĐ sẽ là nhiệm vụ chính mà các GV toán phải thường xuyên thực hiện trong
lớp học toán.
Tóm lại, dạy có hiệu quả là dạy như thế nào để làm cho HS hiểu thế nào là Toán
học và có tư duy toán học để phát triển.
2. Phương pháp giải quyết vấn đề
2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ
Trong những năm gần đây, phương pháp GQVĐ đã trở thành một trong những
phương pháp chính được sử dụng để dạy học môn Toán ở tất cả các bậc học tại
nhiều nước trên thế giới. Hội đồng những người hướng dẫn bộ môn Toán của Mỹ
(The National Counsil of Supervisors of Mathermatics) đã khẳng định rằng “Học
phương pháp để giải quyết bài toán là mục đích chính của việc học Toán”.
Trong giáo dục toán người ta thường dùng các thuật ngữ như câu hỏi, bài tập, bài
toán (vấn đề). Các thuật ngữ này được phân biệt như sau:
• Câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến

sáng tạo và bạn giải quyết nó bằng năng lực bản thân thì điều đó sẽ đem lại
những kinh nghiệm cùng niềm vui của sự khám phá”.
Khi nói đến GQVĐ chúng ta cần phải hiểu rằng:
- Đối với học sinh, đó chính là phương pháp để hình thành con đường tiếp cận bài
toán;
- Đối với giáo viên, GQVĐ lại mang ý nghĩa của một phương pháp dạy học mới.
13
Tìm quy
luật
Làm
ngược
Xét trường hợp
đặc biệt
Minh họa
bằng hình vẽ
Đoán và thử
thông minh
Liệt kê khả năng
có thể
Chứng minh
bằng phản
chứng
Tổng quát
hóa
Suy luận
lôgic
Phương
án GQVĐ
Hai khía cạnh này liên quan chặt chẽ với nhau bởi vì với phương pháp truyền
thống học sinh khó có thể hình thành và rèn luyện GQVĐ. Chính vì vậy, phương

Ví dụ 3.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau:
3; 6; 13; 24; 39; …
Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp
của dãy số đã cho tạo thành dãy số thứ
hai: 3; 7; 11; 15; … Các sai khác giữa
các số hạng liên tiếp của dãy số thứ hai
này tạo thành dãy số: 4; 4; 4; ...
Đến đây thì ta đã tìm được một sự bất biến, đó là một dãy hằng, số hạng thứ tư
của dãy thứ ba này là 4. Do đó số hạng tiếp theo của dãy thứ hai là 19 (=15 + 4).
Do đó, số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 58 (= 39 + 19).
Như vậy, điều quan trọng để giải quyết bài toán này là tìm ra sai khác thứ hai là
một dãy hằng, tức là tìm ra bất biến. Mỗi dãy số có thể đều tồn tại một bất biến
tiềm ẩn đang nằm đâu đó, chúng ta hãy đi tìm kiếm bất biến đó. Một cách suy
luận tương tự như thế chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác.
Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trong
quan sát, sự nhảy cảm dự đoán và kiểm tra của chúng ta. Từ những kinh nghiệm
đã trải qua trong tính toán và các bài toán tương tự, từ khả năng liên hệ bài toán
tương tự với điều kiện mới, vv…
Chúng ta xét một ví dụ khác:
Ví dụ 3.2: Cho trước số tự nhiên n. Hãy tìm tổng của các số tự nhiên 1; 2; …; n.
15
4
444
1915
1173
5839
24136
3
Ta ký hiệu
n

;
10254
×=×
;
15265
×=×
. Như vậy, ta đã tìm ra quy luật với các trường hợp riêng 1; 2; 3; …
Mở rộng quy luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ ta đưa ra giả thuyết
thích hợp với quy luật vừa tìm được:
2
)1(
+
=
nn
S
n
.
Để chứng minh công thức này ta dùng phương pháp quy nạp.
Để tìm một quy luật chúng ta cần so sánh và đối chiếu. Chúng ta phải so sánh để
tìm nét đặc trưng tồn tại trong các phần tử của tập hợp chứa quy luật. Còn phép
đối chiếu để tìm ra những yếu tố thay đổi. Quy luật có thể xuất hiện ở nhiều
dạng: quy luật của các số, quy luật của hình học, quy luật của từ ngữ, vv …
Như chúng ta đã nói “tìm kiếm quy luật” là một bài toán thách thức khả năng tư
duy của chúng ta. Đòi hỏi chúng ta phải biết phân tích, so sánh, đối chiếu, suy
đoán, … Chúng ta phải có trực giác, sự trải nghiệm, … tức chúng ta phải có tư
duy và ở đây quan trọng là tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và tư duy giải quyết
vấn đề. Thật sự thì cũng không có một quy trình nào thật cụ thể cho quá trình tìm
kiếm quy luật. “Quy luật từ trên trời rơi xuống” và chúng ta phải đi tìm. Tuy
nhiên, chúng ta có thể đưa ra ở đây một số cách mà chúng ta thường làm để tìm
16

1 + 2 +…...+n 1 3 6 10 15 21 …
1
2

+2
2

+..... +n
2
1 5 14 30 55 91 …
Hai dòng cuối cùng quan hệ với nhau ra sao? Ta hãy thử nghiên cứu tỷ số của
chúng:
n 1 2 3 4 5 6

n
n
+++
+++
...21
...21
222
1
5
3

7
3

9
3

...21
222
+
=
+++
+++
n
n
n
.
Sử dụng công thức (3.1.1) ta phát biểu giả thuyết dưới dạng:
17
6
)12)(1(
...21
222
++
=+++
nnn
n
(3.1.2).
Công thức này đúng trong trường hợp n = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Tiếp tục thử với trường
hợp n = 7 thì vẫn đúng. Ta chứng minh được công thức (3.1.2) bằng phương pháp
quy nạp như sau:
+ n = 1: hiển nhiên đúng.
+ Giả sử công thức (3.1.2) đúng với trường hợp n = k. Ta chứng minh nó vẫn
đúng trong trường hợp n = k + 1. Thật vậy, ta có:
[ ]
[ ]
6

, …,
n
a
nguyên dương thoả:
∑
=
=
n
i
i
a
1
1000
và tích
1
a
.
2
a
…
n
a
lớn nhất có thể.
Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ
liệu để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn. Trong bài toán này, chúng
ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho
1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau:
Bảng 3.1.2
∑
=

1
a
=
2
2
a
=
3
1
a
=
3
2
a
=
3
1
a
=
3
2
a
=
4
1
a
=
2
2
a

hợp tích lớn nhất thoã mãn:
• Không có
i
a
nào lớn hơn 4;
• Không có
i
a
nào bằng 1;
• Tất cả các
i
a
có thể đổi thành 2 hoặc 3 (vì
224
×=
và
224
+=
);
• Nhiều nhất có 2
i
a
bằng 2 (vì
33222
×<××
và
33222
+=++
).
Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích

T
N
A
.
Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn
bài toán. Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường
hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn.
3.2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán
Ví dụ 3.2.1: (Tam giác Pascal)
Kí hiệu
0,n
S
;
1,n
S
;
2,n
S
là những tổng cách ba phần tử trong hàng thứ n của
tam giác Pascal.
0,n
S
bắt đầu từ phần tử thứ nhất bên trái,
1,n
S
bắt đầu phần tử
thứ 2 và
2,n
S
bắt đầu từ phần tử thứ 3 tương ứng. Hãy nghiên cứu dãy số tạo ra


2,n
S
1
1 1
1 2
1
1 3
3
1
1 4
6
4 1
1 5
10
10 5
1
1 6
15
20 15
6
1
1 7
21
35 35
21
7 1
0 1
+
0 0

Và vì 100 = 6 x 16 + 4 nên ta phát hiện ra ngay trên phần tử không bằng ở cột thứ
ba (
2,100
S
) và lớn hơn hai số kia 1 đơn vị.
Như vậy:
0,100
S
=
1,100
S
=
2,100
S
- 1
và
0,100
S
+
1,100
S
+
2,100
S
= 2
100
.
Suy ra:
1,100
S

= (y * y) * x
= y * x.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
22
3.3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có
nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán
Ví dụ 3.3.1: Một tập gồm n phần tử (phân biệt) có bao nhiêu tập con (khác
nhau)?
Lời giải 1: Chúng ta bắt đầu từ các tập chứa lần lượt 0; 1; 2; 3; … phần tử. Kết
quả được thể hiện ở trong Bảng 3.3.1.1.
Mục đích xây dựng bảng này là để tìm ra công thức cho trường hợp tổng quát.
Trong trường hợp này chú ý, khi n = 3 dòng thứ nhất là các tập con của tập {x
1
;
x
2
}, sau đó ở dòng thứ hai, ta có tập con được xây dựng bằng cách thêm vào các
tập con ở dòng trên một phần tử x
3
. Đây là chìa khoá trong ý tưởng để cho phép
chúng ta tiếp tục với các giá trị của n cao hơn. Ví dụ, khi n = 4 các tập con của
tập S = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
} là 8 tập con của tập {x

Đẳng thức này đúng với n = 0; 1; 2; 3; … Kết hợp với kết quả hiển nhiên là A
0
= 1, đưa đến A
n
= 2
n
(A
n
= 2

A
n-1
= 2
2
A
n-2
= … = 2
n
A
0
= 2
n
).
Lời giải 3: Một cách khác là liệt kê có hệ thống các tập con bằng cách lập một
hình nhánh cây (nhị phân). Trường hợp n = 3 và tập S = {a; b; c} ta có cây như
Hình vẽ 3.3.1. Mỗi nhánh của cây tương ứng với một tập con khác nhau của S
(dấu gạch dưới phần tử là không tính phần tử đó vào tập hợp trong nhánh này).
Cây được xây dựng ba tầng tương ứng với ba phần tử trong S. Mỗi phần tử của S
đều có hai khả năng: hoặc là nằm trong tập con hoặc không nằm trong tập hợp
con và như vậy chia làm hai nhánh vì mỗi phần tử ta phải đều xem xét ngang

Không có
x
1
x
1
; x
2
x
1
; x
2
; x
3
φ
φ
; {x
1
}
φ
; {x
1
}; {x
2
}; {x
1;
x
2
}
φ
; {x

8
24
b
c
{ }
ba;
a
c
{ }
ca;
b
c
{ }
a
c
{ }
cb;
b
c
{ }
b
a
c
{ }
c
b
c {
φ
}
Lời giải 4: Giả sử chúng ta liên kết các tập con theo số phần tử: