PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN
THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT
KHI GIẢI TOÁN
Sinh viên thực hiện
BÙI THỊ ĐỨC
Giảng viên hướng dẫn
PGS. TS. TRẦN VUI
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ
động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với
những công thức và thuật toán bất di bất dịch. Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn
không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ
không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.
Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần
phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng
tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để
HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là
phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Tìm kiếm quy luật là một phương
án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán
học (art of maths).
Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy các em đã được rèn luyện và phát triển,
đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để
dạy cho HS.
Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật
và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán, để giáo viên và
học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong
giải toán.
Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua
tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình.
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận

các trường hợp
riêng, đặc biệt,
dễ thấy nhất
4. Sử dụng các
mô hình toán
để tìm kiếm
quy luật
Ví dụ 3.1.2:
Hãy tìm số dương n và , , …, nguyên dương thoả: và tích . …
lớn nhất có thể.
2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
Các
= 2 = 3 = 4 = 2
= 2
= 2
= 3
= 3
= 3
= 3
= 4
= 2
= 2
= 3
= 2
= 3
= 3
= 3
= 3
= 3

a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
3
a
3
a
3
a
1
a
2
a
n
a
∑
=
=
n
i

i
a
224
×=
224
+=
33222
×<××
33222
+=++
Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích lớn nhất
của chúng ta cần phải là .
2332
23
×
Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích bằng 5.
Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1.
Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán. Tuy nhiên đây
không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình. Chúng ta hãy quan sát
một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán:
Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong của hình
đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác. Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tìm biểu
thức liên hệ giữa A, N, T.
N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau:
N 12 10 8 6 4
T 0 1 2 3 4
A 5 5 5 5 5
Chúng ta tìm được quy luật với bảng trên như sau:

Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn

2
1
Hình vẽ 1.1
Lời giải:
Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có
bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc
chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót.
Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con
đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con
đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả
các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; …
Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp.
Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc
sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này
cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ
cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp.

Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một
quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải
bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao
nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây.
Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và
đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ
vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao
nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của
Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường.
!5!4
!9
“Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và
đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống

Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác
Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật
này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có
126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới
nhà Trang.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Hình vẽ 1.2
2.5.
Một số bài
toán khác
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật
trong giải toán
2.2.
Sử dụng
phương án
tìm kiếm
một quy
luật để giải
bài toán
hình học
2.4.

91
50
30
145
Thực ra, chúng ta đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số
hạng thứ n có dạng (n + 1)
2
và ta tìm được số hạng thứ sáu là 7
2
= 49. Do đó, số hạng tiếp
theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140. Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của
các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn
của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; …
Từ sai khác thứ 3, ta tìm được số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác này là 2. Suy ra,
số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ 2 là 2 + 11 = 13 và do đó, số hạng tiếp theo của
dãy số ở sai khác thứ nhất là 13 + 36 = 49.
Vậy số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 49 + 91 = 140.