1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
I. Đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
a) Các định nghĩa
• Vectơ
()
;nAB
G
khác vectơ
0
G
và có giá vuông góc với đường thẳng
(
)
d
được gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng
(
)
d

• Vectơ
()
;uab
G
khác vectơ

d
thì
( )
.;
k n kA kB
=
G
cũng là vectơ pháp tuyến của
( )
d

- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu
()
;
nAB
G
là vectơ pháp tuyến thì
( )
;
uB A
−
G
là vectơ chỉ phương.
b) Các dạng phương trình
• Phương trình tổng quát của đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
00

( )
1
:0dAxByC
′
++=

Phương trình đường thẳng
()
2
d
vuông góc với
( )
d
có dạng
( )
2
:0dBxAyC
′′
−+=

Phương trình đường thẳng có hệ số góc
k
và đi qua điểm
( )
00
;
A
xy
là:
()

là:

()
0
0
:
x
xat
d
yybt
=+
⎧
⎨
=+
⎩
( t là tham số)
MATHVN.COM - www.mathvn.com

2
• Phương trình chính tắc của đường thẳng
( )
d
đi qua
( )
00
;Nx y
có vectơ chỉ phương
( )
;uab
G

()
11 1
22 2
0
:
0
Ax By C
I
Ax By C
+ +=
⎧
⎨
+ +=
⎩

Trong trường hợp
()
1
d
và
()
2
d
cắt nhau thì nghiệm của
( )
I
chính là tọa độ của giao điểm.

2. Khoảng cách và góc
a) Khoảng cách

• Cho hai đường thẳng
()
11 1
:0Ax By CΔ++=
và
( )
22 2 2
:0Ax By CΔ ++=
cắt nhau tại
A
. Khi
đó phương trình hai đường phân giác của góc
A
là:
()
11 12 2 2
1
22 22
11 22
:0
Ax By C Ax B y C
d
AB AB
++ ++
+=
++
và
()
11 12 2 2
2

. Nếu
12
//dd
thì góc giữa hai được thẳng là
0
o
.
Gọi
α
là góc giữa
()
1
d
và
()
2
d
,
β
là góc giữa hai vectơ chỉ phương
()
111
;uab
JG
và
( )
222
;uab
J
JG

abab
+
β= =
+ +
JGJJG
JG JJG

Khi đó
12 12
22 22
11 22
cos cos
.
aa bb
abab
+
α= β=
++

Các kết quả trên vẫn đúng nếu thay vectơ chỉ phương bằng vectơ pháp tuyến.
Trường hợp đặc biệt:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
00
;
A
xy
hợp với
Ox
một góc

− =

a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên
(
)
d

b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua d.
c) Tìm giao điểm của
()
B
D
và
()
d

Bài 4. (Tìm điểm trên đường thẳng cách một điểm khác một khoảng cho trước)

Cho đường thẳng
22
:
12
x
t
y t
=− −
⎧
Δ
⎨
=+

10xy
Δ+−=
. Viết phương trình đường thẳng
( )
d
hợp với
()
Δ
một góc
a)
0
90
b)
0
45
c)
0
60
d)
0
30

b) Bài tập nâng cao
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
( )
1; 1A
và
()
4; 3B −
. Tìm điểm C

với
0m ≠
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định
m để tam giác GAB vuông tại G.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
phương trình đường thẳng AB là
220xy− +=
và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D
biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 5. Cho đường thẳng
()
:240dx y
−+=
và điểm
( )
2; 0A
−
. Tìm điểm B trên trục hoành và
điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

Bài 6 (A – 2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông tại
A, phương trình đường thẳng BC là

tọa độ trực và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
Bài 9 ( A – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
() ( )
12
:0 :210dxy d xy
−= +−=

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc
1
d
, đỉnh
C
thuộc
2
d
và các
đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ điểm
C
của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm
C
trên đường thẳng
AB
là
( )
1; 1H
− −
.

và
( )
2
d
sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Bài 12. Cho hai đường thẳng
1
3
:
31
x
y
d
−
=
−
và
2
3
:
2
x
t
d
y t
= +
⎧
⎨
= −

0; 4 , 5; 0AB
và đường thẳng
()
:2 2 1 0dxy−+=
. Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua
,
A
B
nhận đường thẳng
()
d
làm đường phân giác.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
( )
:220dx y
− +=
và điểm
()
0; 2A
. Tìm trên
()
d
hai điểm
,
B
C
sao cho tam giác
A

12
,
dd
tai hai điểm
,
AB
sao cho tam giác
M
AB
cân tại
M
.
Bài 17. Cho 3 đường thẳng
() ( ) ( )
12 3
:0,:20,:210
dxy dx y dxy
+= + = − +=
. Viết phương trình
các cạnh của tam giác
A
BC
; biết
A
là giao điểm của
( )
1
d
và
( )

)
d
sao cho:
a)
M
AMB
+
nhỏ b)
M
AMB
−
lớn nhất
Bài 19. Cho đường thẳng
()
:220
dx y
+−=
và hai điểm
( ) ( )
2; 0 , 2; 6
AB
−
. Tìm điểm
N
trên
đường thẳng
(
)
d
sao cho: a)

23
M
AMB+
nhỏ nhất.
b) Chuyên đề - Xác định các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước
Dạng 1: Biết tọa độ đỉnh và phương trình các đường cùng tính chất.
Cho tam giác ABC có điểm A(2;2), hai đường thẳng
1
:9 3 4 0dxy
− −=
,
2
:20dxy
+−=
.
Sử dụng giả thiết này để giải các bài toán sau.
MATHVN.COM - www.mathvn.com
6
1. Biết tọa đỉnh và phương trình hai đường cao.
Cho d
1
, d
2
lần lượt là các đường cao BH và CK.
a) Viết phương trình cạnh AB, AC
b) Viết phương trình cạnh BC, và đường cao còn lại.
2. Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến.
Cho d
1
, d


Sử dụng giả thiết trên để giải các bài toán sau:
1. Biết tọa độ đỉnh A, phương trình đường cao BH và phân giác CE.
Cho d
1
, d
2
lần lượt là đường cao BH và phân giác trong CE.
a) Viết phương trình đường thẳng AC
b) Xác định tọa độ C là giao điểm của đt CD và đt AC.
c) Tìm điểm A’ đối xứng của A qua CD
d) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua A’ và C.
2. Biết tọa độ đỉnh A, đường cao BH và trung tuyến CM
Cho d
1
, d
2
lần lượt là đường cao BH và trung tuyến CM.
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Gọi B(x
B
, y
B
) tìm tọa độ M theo tọa độ của B.
c) Tìm tọa độ của B.
0abc+ −>
. Khi đó tâm
()
,
I ab
−−
và bán kính
22
R
abc
=+−

b) Cách viết phương trình tiếp tuyến
Cho đường tròn
()( ) ( )
22
2
:Cxa yb R−+−=

• Tiếp tuyến tại một điểm
()
00
;
Ax y
là phương trình đường thẳng qua
A
có vectơ pháp
tuyến là:
()
00

()( ) ( )
22
2
:Cxa yb R− +− =
với đường thẳng
()
:0
Ax By C
Δ++=
là :
/
22
I
aA bB C
dR R
AB
Δ
++
= ⇔=
+

Đặt biệt:
+ Khi
Ox
Δ≡
thì
bR
=

+ Khi

tiếp xúc trong là
12 1 2
I IRR
=−

Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến

Nếu PA, PB là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R (A, B là hai tiếp điểm) thì
+
PA PB=

+
I
P
là đường trung trực của
AB

Cho AB là dây cung của đường tròn và M là trung điểm của AB thì
I
MAB⊥
và

2
2
4
AB
IM R=−MATHVN.COM - www.mathvn.com

()
:10
dxy
+−=

Bài 2.
a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng
( )
1
:3410
dxy
−+=
,
()
2
:4 3 7 0
dxy
++=
và đi qua điểm A(2;3).
b) Viết phương trình đường tròn bán kính
5R =
, đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với đường thẳng
()
:2 5 0
dxy
−+=
.
c) Viết phương trình đường tròn đi qua A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trục
Ox
.

. Viết
phương trình đường tròn
()
C
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của
( )
C

đến điểm B bằng 5.
Bài 5 (A – 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
()( )
0; 2 , 2; 2
AB
− −
và
()
4; 2
C
−
. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC.
Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
() ()
12
:230 :4350
dx y d xy
−+= +−=

Lập phương trình đường tròn có tâm I trên
( )

()
2
C

MATHVN.COM - www.mathvn.com

9
Bài 8 . Cho đường tròn
()( ) ( )
22
:1 25Cx y−+− =
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm
()
2;1
B
−

b) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung có bán kính bằng hai lần bán kính của
()
C
và tiếp xúc ngoài với
()
C

Bài 9 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm
()
4; 2
A



Cho đường tròn
()( )
22
1325xy−++ =
. ( C)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn theo một dây có độ dài
bằng 8.
b) Viết phương trình đường thẳng qua qua điểm A(-4;0) cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao
cho tam giác IAB có diện tích là
25
4
.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
()( ) ( )
22
:1 29Cx y− ++ =
và đường
thẳng
()
:3 4 1 0
dxy
−+=
. Tìm điểm
P
trên đường thẳng
( )
d
sao cho có thể vẽ được hai tiếp
tuyến đến đường tròn là

sao cho cắt đường tròn tại hai điểm
,
E
F
mà
n
60
o
EAF =

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
22
:22100
Cx y y y
+ −+−= và điểm
()
1;1M
. Lập phương trình đường thẳng qua
M
cắt
( )
C
tại
,AB
sao cho
2
M
AMB=
.

điểm
()
3;1
M
−
. Gọi
12
,
TT
lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ
M
đến
( )
C
. Viết
phương trình đường thẳng
12
TT
.
c) Các bài toán khác.
Bài 1 . Cho đường tròn có phương trình
()()
22
2
215
xy− +− =
và đường thẳng
() ( )
:43
dykx

.
( )
;0
Pm
là một điểm thay đổi
trên trục hoành
a) Tìm
m
để từ
P
kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn
( )
C

b) Với điều kiện của câu a, giả sử hai tiếp tuyến đó là
,
PA PB
(A,B là hai tiếp điểm). Chứng
minh rằng
A
B
luôn đi qua một điểm cố định khi
P
di chuyển trên trục hoành, tìm tọa độ
điểm cố định đó.
Bài 3.

Cho ba điểm
()()( )
2; 4 , 1; 5 , 6; 4