Chương 3
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT
1. Biến ngẫu nhiên nhị thức
2. Biến ngẫu nhiên Poisson
3. Biến ngẫu nhiên siêu bội
4. Biến ngẫu nhiên chuẩn

Dãy phép thử Bernoulli: một dãy n phép thử được
gọi là một dãy n phép thử Bernoulli nếu:
1. Các phép thử độc lập với nhau, và
2. Trong mỗi phép thử biến cố A mà ta quan tâm
có xác suất p không đổi.
Số p được gọi là xác suất thành công.
Xác suất để có k lần thành công trong n phép thử là





  


Biến ngẫu nhiên nhị thức
Số lần A xuất hiện trong n phép thử được gọi là số
lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli.
Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có
25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người.
Kiểm tra lần lượt từng người trong 6 người này xem
có mắc bệnh sốt rét hay không.
Trong mỗi lần kiểm tra, xác suất người được kiểm
tra mắc bệnh là bao nhiêu?

 

  


Ví dụ: Tại tỉnh A, theo số liệu thống kê cho biết có
25% dân số bị sốt rét. Chọn ngẫu nhiên 6 người.
Tính xác suất có 4 người bị sốt rét trong 6 người
được chọn.
Ví dụ: Có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để
trong một ngày mỗi máy bị hỏng bằng 0,1. Tìm xác
suất để:
(a) Trong một ngày có 2 máy hỏng;
(b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.
Biến ngẫu nhiên nhị thức
Ví dụ: Một đề thi có 20 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án
trong đó chỉ có một đáp án đúng. Sinh viên A trả lời
một cách ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả
lời đúng của sinh viên. Tính       
Ví dụ: Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong
một ngày. Xác suất để sản xuất ra phế phẩm là 0,05.
Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc
nhất của máy đó trong 1 ngày.
Biến ngẫu nhiên nhị thức
Định lý: Cho    Ta có
   
     
      
Định nghĩa: BNN  nhận các giá trị  với xác
xuất

1. Có 3 ống sợi bị đứt;
2. Có ít nhất hai ống sợi bị đứt.
Bài tập: Xác suất một chai rượu bị bể khi vận chuyển là
0,001. Giả sử vận chuyển 4000 chai. Tìm số chai rượu bị bể
trung bình và số chai bị bể tin chắc nhất khi vận chuyển.
Nhị thức xấp xỉ bởi Poisson
Bài tập: Một nhà vườn trồng 256 cây mai với xác suất nở
hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,62. Giá bán
một cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. Giả sử nhà vườn
bán hết các cây mai nở hoa. Hỏi nhà vườn thu được chắc
chắn nhất là bao nhiêu tiền?
Ví dụ: Trong một hộp có 10 hòn bi, gồm 6 bi đỏ và 4
bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 lần 5 bi. Gọi X là số bi đen
trong 5 bi lấy ra. Tính xác suất để có m bi đen.
Định nghĩa: BNN rời rạc  nhận các giá trị nguyên 
thỏa    với
xác suất
  



 






được gọi là BNN siêu bội, và ký hiệu là
  


Xấp xỉ siêu bội bằng nhị thức
Ví dụ: Trong một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong
đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B.
Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 10 sản phẩm để kiểm
tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A
trong 10 sản phẩm lấy ra.
Định lý: Cho    Nếu  rất nhỏ so với 
thì  có phân phối xấp xỉ nhị thức với hai tham số 
và  với 



Ví dụ: Một ao cá có 10.000 cá da trơn, trong đó có
1.000 con cá tra. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên
1) 20 con từ ao thì được 5 con cá tra.
2) 50 con từ ao thì được 10 con cá tra.
Biến ngẫu nhiên chuẩn
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên  được gọi là BNN chuẩn
nếu  có hàm mật độ
  

 












Có đồ thị
Định lý: Cho  


Thế thì



Biến ngẫu nhiên chuẩn
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc  là
  












Tích phân Laplace
  


Biến ngẫu nhiên chuẩn
Hệ quả: Cho  

  Ta có
1)   


 



2)     


.
Ví dụ: Cho  

  Tính
1)   
2)   
3)   
4)     
5)   
Ví dụ: Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản
xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, độ lệch chuẩn
0,2mm. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết:
a) Có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm;
b) Có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá
0,3mm.
Biến ngẫu nhiên chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng pp chuẩn
Định lý: Cho    Nếu  lớn và  không gần
với  và  thì  có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ
vọng bằng  và phương sai bằng   
Khi ấy,
   






  








 





Ví dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm
loại A là 0,8. Tính xác suất để trong 400 sản phẩm do
máy sản xuất ra có:

chọn có:
a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm.
b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm.
Bài 3: Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ
lệch chuẩn 2000 đồng. Gọi k là giá trị tại đó cà phê có giá
lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k.
Bài tập
Bài 4: Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ
một sản phụ mang thai trên 290 ngày là 25,14%, tính độ
lệch chuẩn của thời gian mang thai.
Bài 5: Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B
là biến ngẫu nhiên . Một công ty cần
mua loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến
13mm và họ chọn lần lượt 7 chiếc từ cửa hàng B. Tính xác
suất để trong 7 chiếc được chọn có:
a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được.
b. Ít nhất một chiếc sử dụng được.
Bài tập