Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
A – ĐẠI SỐ.
Chương IV: GIỚI HẠN.
I – Giới hạn dãy số.
Lý thuyết:
1) Các giới hạn đặc biệt.
1)lim
2)lim ;
k
C C
C
k Z
n
+
=
= +∞ ∈

3)lim 0; 1
4)lim ; 1
5)lim ;
n
n
k
q q
q q
n k Z
+
= <
= +∞ >
= +∞ ∈
2) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

n
n
n
n n
n
u a
u
a
v
v
u a
u
b v
v
v n N
u
c u v
v a
=

⇒ =

= ±∞

= >


= ⇒ = +∞



n
n
+
+
d)
2
4 1
lim
2 5
n
n
+
+
e)
3
lim( 6 5)n n− −
f)
5
2
4
lim
4 5
n
n n
+
+ +
2
5
2 3 1
)lim

n
n
−
+
n)
1 2 4
lim
1 3 4
n n
n n
− +
+ −
(HD: chia cả tử và mẫu cho 4
n
áp dụng:
lim 0; 1
n
q q= <
)
Bài 2: Tính tổng:
a)
3
1
9 3 1
3
n
S
−
= + + + + +
b)

?
II – Giới hạn hàm số.
Lý thuyết:
1) Các giới hạn đặc biệt.
0
1) lim
x x
C C
→
=
0
0
2) lim
x x
x x
→
=
3) lim ;
k
x
x k Z
+
→+∞
= +∞ ∈
1
Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
4) lim
k
x
x

x x x x
f x f x
+ −
→ →
≠
thì không tồn tại
0
lim ( )
x x
f x
→
.
3) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
a/ Giới hạn của tích f(x).g(x). b/ Giới hạn của thương
f(x)
g(x)
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x

g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
L
±
Tùy ý 0
L>0
0
+ +
∞
- -
∞
L<0
+ -
∞
- +
∞
2
Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
10
0
1
2

x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
lim
x
x x
x x
→
→
→
→
→
→±∞
→±∞
+ +
+
+
− +
−

3 2
12. lim
3 1
1
13.lim 2
14. lim ( 2009)
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x
x
x x
→±∞
→−∞
→−∞
→−∞

16.
2
1 1
17.
3 3
18. lim
1
3 3
19. lim
1
20. lim ( 3 2 )
21. lim ( 3 2 )
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x x x

5 3, 1
x
x
f x
x
x x
−

>

=


+ ≤

. Tính:
1
1 1
lim ( );lim ( );lim ( )
x
x x
f x f x f x
+ −
→
→ →
(nếu có).
Bài 3: Cho f(x) = |x – 2| + 1. Tính:
2
2 2
lim ( ); lim ( );lim ( )

5 2, 0
x x
x
f x
x
x x

−
≠

=


+ =

.
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x
0
= 0:
2
2 , 0
( )
1, 0
x a x
f x
x x x
+ <

=


3 1 0x x x x+ − + + =
.
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1):
4 2
4 2 3 0x x x+ − − =
.
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a)
5 3
5 4 1 0x x x− + − =
.
b) sinx = x.
c) cosx = x.
d) sinx – x + 1 = 0.
Chương IV: ĐẠO HÀM.
3
Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong.
Phương pháp: Phương trình tiếp tyến có dạng: y- y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
Bài 1: Cho đường cong (C): y = x
3
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) Tại M(-1; -1).
b) Tại điểm có hoành độ bằng 1.

u u v uv
v v
v
v v
y y u
+ − = + −
=
= +
−
 
=
 ÷
 
−
 
=
 ÷
 
=
2) Bảng đạo hàm:
( )
1
'
2
'
( )'
1 1
1
2
n n

= −
 ÷
 
=
2
2
(sin )' cos
(cos )' sin
1
(tan )'
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x
=
= −
=
= −
2
2
(sin )' 'cos
(cos )' 'sin
'
(tan )'

6 5
y x x
y x x
y x x
y x x
y
x
= − +
= − +
= − −
= + +
=
+
2
2
2
2
1
6.
3 4
2 3
7.
2
1
8.
2 1
2 1
9.
2
10. 4 3

1
12.
1
1
13.
2 2
1
14.
( 1) 1
15. 1 1
y x x
x
y
x
y
x x
y
x x
y x x x x
= + +
−
=
+
=
+ − −
=
+ +
= + + − − +
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:
1. 2sin 3cos

= +
2 3
2
7. 3sin 2sin
8 1 cos
2
9. sin
y x x
x
y
y y ax
= −
= +
= =
( a là hằng số)
Dạng 3: Đạo hàm cấp hai.
Phương pháp: y
(n)
= (y
n – 1
)’
Bài 1: cho hàm số: y = acosx + bsinx (a; b là các hàng số tùy ý). Chứng minh: y” + y = 0.
Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2
2
1. 1
1
2.
1
3 3

9.
y x
y x
y
x
=
=
=
Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi hàm số sau đây thõa mãn một hệ thức tương ứng:
2 3
1. 2 ; ". 1 0y x x y y= − + =
2
3
2. ;2( ') ".( 1)
4
x
y y y y
x
−
= = −
+
B – HÌNH HỌC.
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Phương pháp:
1) Các quy tắc về vecto:
a ) Quy tắc 3 điểm:
;AB BC AC AB OB OA+ = = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Quy tắc hình bình hành:

đồng
phẳng
c ma nb⇔ = +
r r r
( cặp (m; n) là duy nhất).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành . Chứng minh rằng:
SDSBSCSA +=+
.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho
MDAM 3=
và trên cạnh BC lấy điểm N sao
cho
NCNB 3−=
. Chứng minh rằng ba vectơ
MNDCAB ,,
đồng phẳng.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông
ABCD và A’B’C’D”.
a. Hãy biểu diễn các vectơ
', AOAO
theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương
đó
b. Chứng minh rằng:
ABADCDAD =++ ''''
.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và
BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
)0( >== kk
BD
BN

2
. a. Tính góc giữa hai
vectơ
AB
và
SC
.
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD trong đó AB
⊥
AC, AB
⊥
BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Chứng minh đường thảng a vuông góc với mp(P)?
Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
6
Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b//(P).
Cách 3: Chứng minh a vuông góc với (Q)//(P).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA
⊥
(ABCD). Gọi H, I và K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB, SC và SD.
a. Chứng minh: BC
⊥
(SAB), CD
⊥
(SAD), BD

2222
1111
OCOBOAOH
++=
.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA
⊥
(ABC). Gọi
D là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng: CD
⊥
CA và CD
⊥
(SCA).
Bài 5: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khac nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ
diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh: BC
⊥
AD.
b. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH
⊥
(BCD).
Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mp bằng 90
0
.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB
⊥
(BCD). Trong tam giácBCD vẽ các đường cao BE; DF cắt nhau tại O.

Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh là a; SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Gọi I, K lần
lượt là trung điểm của SC, AB.
7
Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11
a) Chứng minh: IO
⊥
(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a. O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh: SO
⊥
(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung diểm của
BC. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng:
a) OA và BC.
b) AI và OC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng
cách giữa các cặp dường thẳng:
a) SB và CD.
b) SC và BD.