CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC VI ÉT
 Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Viét:
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0). Nếu phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a
ì
ï
ï
+ = -
ï
ï
ï
í
ï
ï
=

Điều kiện S
2
≥ 4P.
Bài tập
DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm:
Bài 1:
a) x
1
=2; x
2
=5 b) x
1
=-5; x
2
=7 c) x
1
=-4; x
2
=-9
d) x
1
=0,1; x
2
=0,2 e)
1 2
1
3;
4
x x= =
f)

3 2
x x= + =
+
l)
1 2
5 2 6; 5 2 6x x= + = -
m)
1 2
3 2 2; 3 2 2x x= + = -
n)
1 2
1 1
;
2 3 2 3
x x= =
+ -
o)
1 2
1 1
;
10 72 10 72
x x= =
- +

p)
1 2
4 3 5; 4 3 5x x= - = +
q)
1 2
3 11; 3 11x x= + = -

và -2x
2
c)
1
1
x
và
2
1
x
d)
2
1
1
x
và
2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x

và
2
1
1
x
x +
i)
1
2
1
x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
j)
2
1
2x +
và
1
1
2x +
Bài 3: Giả sử x
1

2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
2x
x
-
và
2
2
2x
x
-
g)
1
2
3x
x

x
x
-
j)
2
1
x
và
2
2
x
k)
1
2
1
x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
l) x
1
2
x
2

; a
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0x px+ + =
, b
1
; b
2
là hai
nghiệm của phương trình:
2
1 0x qx+ + =
thì:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
a b a b a b a b q p- - + + = -
b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
1 0x ax+ + =
với mộ nghiệm nào đó của
pt
2
1 0x bx+ + =
là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 1
2

d)
2 2
1 2
x x-
e)
3 3
1 2
x x-
f)
1 2
1 1
x x
+
g)
2 2
1 2
1 1
x x
+
h)
1 2
1 2
3 3x x
x x
- -
+
i)
1 2
1 1
2 2x x

1 2
2 1
x x
x x
+
Bài 2: Tương tự:
2
2 5 1 0x x- + =
;
2
3 4 3 0x x+ - =
;
2
3 2 5 0x x- + + =
Bài 3: Cho phương trình:
2
4 1 0x x- - + =
. Không giải phương trình hãy tính:
a) Tổng bình phương các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phương các nghiệm d) Bình phương tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm f) Hiệu bình phương các nghiệm
Bài 4: Cho pt:
2
4 3 8 0x x+ + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải pt hãy tính:
2 2

m) u
2
+ v
2
= 5; uv = -2 n) u
2
+ v
2
= 25; uv = -12
DẠNG THỨ BỐN: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:
Bài 1: Cho pt
2
6 0x x m- + =
. Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả:
a)
2 2
1 2
36x x+ =
b)
1 2
1 1
3
x x
+ =
c)
2 2

2
( 3) 2( 2) 0x m x m- + + + =
. Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
2x x=
. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
a) Tìm k để pt:
2
( 2) 5 0x k x k+ - + - =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2
10x x+ =
b) Tìm m để pt:
2
2( 2) 5 0x m x- - - =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

2
( 1) 3( 1) 0mx m x m+ - + - =
. Chứng
minh:
1 2
1 1 1
3x x
+ = -
DẠNG THỨ NĂM: Các bài toán tổng hợp.
Bài 1: Cho pt:
2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m- + + + + =
a) Giải pt trên khi m = 1
b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2 2
1 2
1x x+ =
e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt
2
2( 1) 0x m x m- - - =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x

b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi k.
d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2 1 2
1 1 3
2
x x x x
+ + =
f) Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt
2
( 1) 2 1 0m x mx m- - + + =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 1.

b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

với mọi m.
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5A x x x x= + -
+) Chứng minh
2
8 18 9A m m= - +
+) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 7: Cho pt
2
2( 1) 4 0x m x m- + + - =
a) Giải pt khi m = -5
b) CMR pt luôn có nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương.
e) CMR biểu thức
1 2 2 1
(1 ) (1 )A x x x x= - + -
không phụ thuộc m.
f) Tính giá trị của biểu thức
1 2
x x-
Bài 8: Cho pt
2

b) Tìm m để pt có nghiệm
c) Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
d) Tính
3 3
1 2
x x+
theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11:
a) Pt
2
2 5 0x px- + =
có nghiệm
1
2x =
. Tìm p và tính nghiệm kia.
b) Pt
2
5 0x x q+ + =
có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.
c) Biết hiệu hai nghiệm của pt
2
7 0x x q- + =
bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
d) Tìm q và hai nghiệm của pt
2

2 2
1 2
10x x+ =
Bài 12: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ =
;
1 2
1 1
1
x x
+ =
;
2 2
1 2
2x x+ =
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2 1 2

trong hai điều:
a)
1 2 1 2
2( ) 19 0x x x x+ + - =
b) x
1
; x
2
đều âm.
Bài 16: Cho pt
2
2( 1) 3 0x m x m- - + - =
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 17: Cho pt
2
3 0x mx+ + =
a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?
b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dương.
c) Với giá trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 18: Cho pt
2
8 5 0x x m+ + + =
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia?. Tính các nghiệm
trong trường hợp này.

Bài 19: Cho pt
2

+)
2 2
1 2
9x x+ =
+)
2 2
1 2 1 2
4x x x x+ = -
Bài 22: Cho pt
2
18 3 0kx x- + =
a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?
b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2 1 2
6x x x x+ =
Bài 23: Cho pt
2
10 20 0x x m- - + =
a) Giải pt khi m = 4?
b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương.
Bài 24: Cho pt
2

a) Giải pt khi a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả
1 2
2 3x x+ =
d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương.
Bài 27: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ =
c) Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia
Bài 28: Xác định m để pt
2
(5 ) 6 0x m x m- + - + =
có hai nghiệm thoả mãn một trong
các điều kiện sau:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị
b) Có hai nghiệm thoả
1 2
2 3 13x x+ =
Bài 29: Tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất:

c) Tỡm m Y = 4; Y = 2.
Bi 32: Cho pt
2
5 28 0x mx+ - =
a) CMR pt luụn cú hai nghim phõn bit
b) Tỡm m pt cú hai nghim dng
c) Tỡm m pt cú hai nghim tho:
+)
1 2
1 1 7
4x x
+ =
+)
2 2
1 2
142
25
x x+ =
d) nh m pt cú hai nghim tho:
1 2
5 2 1x x+ =
Bi 33: Cho pt
2
2 (2 1) 1 0x m x m+ - + - =
a) CMR pt luụn cú hai nghim phõn bit
b) Tỡm m pt cú hai nghim tho
1 2
3 4 11x x- =
c) Tỡm m pt cú hai nghim u dng
d) Tỡm h thc liờn h gia cỏc nghim khụng ph thuc m.

Cho phng trỡnh: x
2
- 4( m 1 )x + 4m 5 = 0. (1)
a, Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim x
1
, x
2
tho món
2 2
1 2
x + x = 2m
.
b, Tỡm m P =
1 2
2 2
1 2
xx + x + x
cú giỏ tr nh nht.
Bi 36. (2 im)
Gi x
1
, x
2
l cỏc nghim ca phng trỡnh: 2x
2
+ 2mx + m
2
2 = 0.
1. Vi giỏ tr no ca m thỡ:
1 2