I.Các hệ phương trình cơ bản
A. Hệ phương trình đối xứng :
Dạng
(
)
()
,0
,0
fxy
gxy
=



=


mà ở đó vai trò của
,
xy
như nhau.
Tức là
(,)(,).
(,)(,).
fxyfyx
gxygyx
=


=

SP
và tìm được các nghiệm
(,)
xy

Ví dụ: Giải hệ
22
6
5
xyxy
xyxy

+=

++=


Như đã nói ở trên, ta hãy đặt
;
SxyPxy
=+=
và hệ đã cho trở thành
62S=3
hay
53P=2
SPS
SPP
==

⇒

Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
11;11
SxyPxy
=+++=++
ta sẽ có hệ phương trình sau
()
2
6
53x=2
hay
335
62y=3
P
Sx
SSP
Py
=

==


⇒⇒

S28
(1)12
SP
PPS

+−=

++=


Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận
ra sự tinh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phương trình đầu tiên
bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi
phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2. Nếu các bạn nhìn trong
biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư
nhất là S,thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương
trình thứ hai các bạn có thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này, đó là
(1)
xx
+
và
(1)
yy
+
.
Từ ý tưởng này ta đặt:
(1)
(1)
axx
byy

+=⇒=∨=−

Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là:
(,)(1,2);(2,1);(2,3);(3,2)
xy
=−−−−B. Phương trình đối xứng lọai 2:
(,)0.
(,)0.
fxy
fyx
=


=


Đối với dạng hệ phương trình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau:
(,)(,)0
(,)(,)0.
fxyfyx
fxyfyx
−=


+=



=


Có thể các bạn thấy rằng
(,)
hxy
không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng). Tuy
nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng
(,)0.
hxy
=
(Nếu các bạn vẫn
thấy ray rứt vì điều này thì các bạn hãy viết dưới dạng
2
(,)0
hxy
=
,chẳng phải
2
(,)
hxy
đối xứng đó sao .Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan
hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập
các bạn chớ bình phương lên nhé. J)

C. Phương trình đẳng cấp.
(,)(1)
(,)(2)
fxya
gxyb

−=
,ở dó
,
ab
không đồng thời bằng 0.
Nếu a,b đồng thời bằng 0. Ta giải riêng các phương trình
(,)0;(,)0
fxygxy
==
và
so sánh nghiệm.
Cách giải tương tự như phương trình
(,)(,)0
bfxyagxy
−=
nên các bạn có thể tham
khảo bên dưới.
Ta xét 2 trường hợp.
)0
ix
=
là nghiệm của hệ phương trình. Điều này thì các bạn chỉ cần thế
0
x
=
và giải
phương trình một biến theo y.
Trường hợp này ta thu được nghiệm
1
(,)(0,)

ty
trong
(1)
. Giải phương trình này theo ẩn
y, ta sẽ rút ra được các nghiệm của bài toán
0
(,)
o
tyy
.
Ví dụ:
22
22
3227
638
xxyy
xxyy

−+=

+−=−


Giải:
Hệ đã cho tương đương với:
22
22
24161656
7422156
xxyy

xy
+−=
⇔−+=
−=

⇔

+=


Từ đây ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu

II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực:
A.Dùng bất đẳng thức :
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phương trình trong hệ
ít hơn số ẩn .
Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương :
()()()
()
3
3
3
1111
xyz
xyzxyz
++=



+++=+



+++=

Giải: Đk:
1;5
xy
≥−≥

Giả sử
6
6
xyVTVP
xyVTVP
>−⇒>
<−⇒<

Suy ra
6
xy
=−

Đến đây bạn đọc có thể tự giải

Ví dụ 3: Giải hệ :
9342
342

1
x
=
+
()()()
242
8
242
8
11111111
111
xxyyyyzzxyz
xxyyyyzz
xyz
+++++++≥
++++++++
+++Hòan tòan tương tự :
()()()
()()()
332
8
332
341
8
341
1
8

81
xyz
xyzxyz
xyz
≥
++++++
⇒≤

dấu bằng xảy ra
⇔
11
11198
xyz
xyz
xyz
===⇔===
+++Ví dụ 4: giải hệ:
42
22
697
81
3440
xy
xyxyxy

+=


Suy ra:
42
42
47697
3381
xy

+≤+=



4
3
x
⇒=
và
7
3
y
=
.Tuy nhiên thế vào hệ thì bộ nghiệm này không thỏa
Vì vậy hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 5: Giải hệ:
542
542
542
22
22
22

>
(
)
(
)
5425424
2220122
zzzxzzzzzz
⇒=−+>−+⇒>−++

Do
4
22
zz
++
luôn dương nên
1
z
>

Tương tự
11
yx
⇒>⇒<⇒
Vô lí

Tương tự
1
x
<⇒

12
12
12
xyz
yzx
zxy

=−+


=−+


=−+


3)
2
2
2
2161988
2161988
2161988
y
y
x
z
z
y
x

x
y
z
y
z
x
z

=

+


=

+


=

+

5)
222
222
3
9
xyz
xyz
yzx

xz

=

+


=

+


=

+


Hướng dẫn: Đặt
111
,,.
abc
xyz
===

Ví dụ 2: Giải hệ:
22222
22222
22222
()(31)
()(41)

0,0,0

Chia hai vế cho
222
xyz
ta thu được hệ tương đương:
2
2
2
2
2
2
11
3
11
4
11
5
yz
yzxx
xz
xzyy
xy
xyzz


+
=++



()5(1)
()3(2)
()4(3)
abcc
bcaa
acbb

+=++

+=++


+=++


Lấy
(
)
(2)(3)()2()11
(1)(2)()(2()1)1
ababc
bcabc
−⇒−+++=
−⇒−+++=

Từ đây suy ra
abbc
−=−
2
acb

1
.
x
z
=

3
3
216
216
zy
yz

=+

=+


Đây là hệ đối xứng mà ta có thể dễ dàng tìm ra đước hướng giải. J
Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài tập luyện tập.
Bài 1: Giải hệ:

22
2226
(1)4
xxy
xyxyxy

+++=

C.Tính các đại lượng chung
Ý tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đó.
Ví dụ 1:Giải hệ:

224
236(*)
35
xyyx
yzzy
xzzx
+++=


++=


++=


(1)(2)6
(*)(2)(3)12(1)(2)(3)24
(3)(1)8
xy
yzxyz
zx
++=


⇔++=⇒+++=±


Nhân
xy
+
vào
(3)3322
5()
935()
uxvyuxyvxyxy
xyxy
⇒+++=+
⇒+=+

Nhân
xy
+
vào
(2)2()3
uyvxxy
⇒+=+−

Nhân
22
xy
+


+++=

−+−=−


=


−++=


Bài 2:Giải hệ

2
2
2
yxzb
zxyc
xyza

−=

−=


−=

(
,,

()2
()30
()16
xxyz
yyzx
zzxy

+−=

+−=


+−=


D.Nhân liên hợp.
Phương pháp này chủ yếu bỏ dâu căn thức đễ dễ tính toán hay để xuất hiện những đại
lượng có thể đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1:Giải hệ:

4
(1)
556
xy
xy

+=


+++=


++++


Đặt

5
5
uxx
vyy
=++
=++

Ta suy ra:
10
112
5
10
25
52.
uv
uv
uv
uv
uvxy
+=



+=


+=


+



Giải:
Từ hệ ta suy ra điều kiện:
,0
xy
>

Hệ đã cho tương đương với:
22
42
6
2
1024
42
2
1512
42
15(2)(42)
25840
(3)(28)0
3
280
yx

Trường hợp thứ hai ta loại do không thỏa điều kiện
,0
xy
>
.
Thay vào hệ ban đầu ta thu được nghiệm sau:

526526
(,),
279
xy

++
=




Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ
615
165
xy
xy

+++=


+++=


++++=
Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem
xét:

III)Bài tập tổng hợp.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
22
6.
5.
xyxy
xyxy

+=

++=


b)
4224
22
21
7
xxyy
xxyy

++=



Bài 4:Giải hệ phương trình sau:

33
6
126
xy
xy
−=


−=


Bài 5:Giải hệ phương trình sau:

22
2
212
xya
xya

+=

+=
