sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số dạng bất ph-ơng trình
chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp
Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán
đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau. Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 2
Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đ-a ra sau
đây mà không nêu nội dung:
1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó.
2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai. Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số dạng bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp Dạng 1
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
3x 2 2x 5x 2
2
x
(1)
2)
22
2x 10x 8 x 5x 36
(2)
3)
32
x 8 2x 5x 14
(3)
Giải:
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
9
4
11
9
4
11
x
x
x
x
x
x
22
x 2 x 2
(x 1)(x x 6) 0 x x 6 0
x2
2x3
2x3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
2 ; 3
.
2
2xx
6)
32
xx
2
2xx
.
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 4
D¹ng 2 f(x)
g(x)
2
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
+ 1 < 9x (2)
3)
1
1
x
< 2 (3)
Gi¶i:
1)
(1)
2
x 8x 7
1
3x
2
2
2
8 7 0
1 3 0
8 7 1 3
xx
x
x x x
1
x
3
8x 2x 6 0
1
x
3
3
x
4
x1
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 5
22
1 x 9
1
x
9
4x 32x 36 81x 18x 1
2
19x
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = (1 ; 9].
3)
(3)
x0
1
10
x
1
14
x0
x1
x0
1
x
3
1
x
2
3x 8x 3
+ 1 2x
4) 3
(x 6)(x 2) 7
+ 3 < 5x
5) 3
(x 6)(x 2) 7
+ 2x < 6
6)
42
2x 5x 3
+ 1 < x
2
.
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 6
D¹ng 3 f(x)
> g(x)
2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
2
3x 10x 3 x 1
(1)
2)
(x 1)(3 x) 3 4 3x
(2)
3)
22
2x 8x 1 x 1
(3)
Gi¶i:
1)
22
x1
1
x3
3
x1
3x 10x 3 x 2x 12
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S =
1
.
2)
(2)
2
4x x 3x 4
22
4
x
3
0 x 4
4
x
3
4x x 9x 24x 16
2
4
0x
3
4
x
3
10x 28x 16 0
4
0x
3
4
x2
30 x 2
2 ; 0
.
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x 3)(5 x) 15 4 2x
2)
2
x 5x 4 2 3x
3)
2
x 4x 5 x 11
4)
42
x x 1 x 1
5)
42
x x 1 1 2x
6)
4 2 2
2x 5x 2 2x 1
.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
x 2 5 2x 2x 7 3x
(1)
2)
x 3 2x 5 3 3x 5 2x
(2)
3)
3 2x 4 3x 2x 2 x 3
(3)
Giải:
1) Điều kiện: 0
7
x
3
(1)
22
x 2 5 2x 2x 7 3xx 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x 2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x)
2
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 9
(2)
x 3 5 2x 3 3x 2x 5
22
x 3 5 2x 3 3x 2x 5
x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 52 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5) 22
2x x 15 6x 9x 15
22
2x x 15 6x 9x 15
3
(3)
22
3 2x x 3 4 3x 2x 2
3 2x x 3 4 3x 2x 2 3 2x x 3 2 3 2x. x 3 4 3x 2x 2 2 4 3x. 2x 2 2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2)
22
2x 3x 9 6x 2x 8
22
2x 3x 9 6x 2x 8
2x 1 2x 2 x 1 3x 2
4)
x 1 3x 2 2x 1 2x 2
5)
5x 1 5x 7 2x 3 2x 5
6)
2x 3 x 2 4x 3 3x 4.
Dạng 5
Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh-ng g(x) ở đây là tam
thức bậc hai, khi bình ph-ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph-ơng trình bậc bốn rất
khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d-ới đây là một số bài toán
minh hoạ.
Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
(x 1)(x 2) x x 8
(1)
2)
22
x3
(x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0
x2
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S =
; 2 3 ;
.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 11
2) Đặt: t =
2
6x 18x 12 ; t 0
2
x 3x 2 6
1 x 4
x 3x 4 0
2
x 2x 15 0 5 x 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
S = (
5 ; 3).
Bài toán 2. Cho bất ph-ơng trình:
2
x 2x (x 3)(1 x) 5 m (*)
a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m = 2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 4 ; 2 .
Giải:
22
(x 3)(1 x) 5 x 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1)
Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3
2 2 2 2
t x 2x 8 x 2x 8 t
Bảng biến thiên:
t
0
1
2
3 +
f(t)
33
48 2
33
2 f(t) ; t 0 ; 3
4
Do đó (**) có nghiệm t
33 33
0 ; 3 m m
44
Kết luận:
33
2 2 2 2
Đặt : t (x 1)(x 7) 25 ; t 3.
t x 6x 18 x 6x t 18
(1)
22
2t t 18 m t 2t 18 m (2)
a) m = 3,
(2)
22
t 2t 18 3 t 2t 15 0 3 t 5
Vậy:
2 2 2
x 6x 18 5 x 6x 18 25 x 6x 7 0
1 x 7
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình là
S =
1 ; 7
.
(x 1)(x 9) 4 10 x 10x 11
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 14
3)
x1
(x 2) (x 1)(x 2) 6
x2
4)
2
(x 1)(x 2) 4 x x
5)
(1 x)(4 x) 2 x(x 5)
6)
2
(x 2)(4 x) 6x x 10
.
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x 1)(x 3) m 6 (x 1)(x 5)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x
D¹ng 6 f(x)
+
g(x)
>
h(x)
hoặc:
f(x)
+
g(x)
≥
h(x)
Phương pháp:
Điều kiện:
f(x) 0
g(x) 0
h(x) 0
Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
2
x 4x 3
≥
2
x 5x 4
(4)
Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)
5x
+
x1
≥
2x 2
22
5 x x 1 2x 2
5 – x + x – 1 + 2
5x
.
x1
≥ 2x + 2
2
(5 x)(x 1)
≥ 2x + 2 – 4
22
1 x x 2 6 x
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 16
x + 1 + x − 2 + 2
1x
.
x2
< 6 + x
2
(x 1)(x 2)
< x + 6 − 2x + 1
2
2
x x 2
< 7 − x
22
7 x 0
x2
4(x x 2) (7 x)
2 ≤ x < 3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1
(3)
2
x 1 2x
<
2
2
2x x 1
x − 1 + 2x + 2
x1
.
2x
2
2
2x 2x 2
2x 2x 0
2
2x 2x
> 2 2x
2
− 2x > 4 x
2
− x − 2 > 0
x2
x1
x4
x1
(4)
(1 x)(2 x)
+
(1 x)(3 x)
≥
(1 x)(4 x)
2x
+
3x
≥
4x
2
2 x 3 x
≥
2
4x
2 − x + 3 − x + 2
2x
3x
≥ 4 − x
2x
≥
7x
−
x1
3)
x2
≤
2
x 8x 2
−
x8
4)
x3
≥
2
x 20
−
x5
5)
x1
≤
2
x 4x 1
−
x3
2
x 3x 2
>
2
x 4x 3
+
2
x 5x 4
10)
2
x1
+
2
x 2x 1
>
2
x x 2
. Dạng 7
a
f(x) g(x) b f(x).g(x) m
(Trong đó: f(x) + g(x) = c; c = const)
Ph-ơng pháp:
Điều kiện:
2)
2
2x 1 9 16x 4x 9 2x 5
(2)
3) x +
22
10 x x. 10 x 7
(3)
4) x
22
5 x x. 5 x 1
(4)
Giải:
1) Điều kiện:
1 x 4
Đặt: t =
1 x 4 x;
5 t 10
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 19 2
2
2 4 3x x 4 4 3x x 4
x 3x 0 0 x 3;
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = (0 ; 3).
2) Điều kiện:
19
x
22
Đặt: t =
2x 1 9 2x;
10 t 10 2
t 2x 1 9 2x 2 2x 1. 9 2x 22
2
2
t 10 2 9 16x 4x
10 t
9 16x 4x
+) Giải (I):
2x 1 9 2x 2x 1 9 2x 4x 8 x 2
Kết hợp điều kiện, có:
1
x2
2
+) Giải (II):
2
2x 1 9 2x
2x 1 9 2x 4
2
2x 1 9 2x
10 2 9 16x 4x 4
2
x2
4x 16x 0
x2
x4
x0
2
2
t x 10 x
t x 10 x 2x 10 x
t 10
x. 10 x
2
2
(3)
22
t 10
t 7 t 2t 10 14 t 2t 24 0 6 t 4
2
VËy:
2
2
2
2
10 x 4 x
x 10 x 4
10 x (x 6); x 10 ; 10
x 10 x 6
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
10 ;1 3; 10
.
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×:
10 t 5
4) §iÒu kiÖn:
5 x 5
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 21
Đặt: t =
2
x 5 x
2
22
t x 5 x
2
2
5 x x 3; ; 5
5 x x 1
đúng x 52
2 2 2 2
x 1 0 x 1
5 x x 1
5 x (x 1) 5 x x 2x 1
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) là
S =
1; 5
.
Chú ý: Nếu tìm điều kiện cho ẩn phụ t thì:
10 t 5
.
Bài toán 2. Cho ph-ơng trình
2
x 2 m 7 x 14 5x x
(*)
a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m =
3
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 2 ; 7
.
Giải:
Điều kiện:
2
x7
Đặt: t =
(*)
22
9t
t m 2t 2m 9 t t 2t 9 2m (**)
2
a) m =
3,
(**)
22
t 2t 9 6 t 2t 3 0 3 t 1
Vậy:
x 2 7 x 1
x 2 7 x 3, đúng x 2 ; 7
x 2 1 7 x x 2 1 7 x 2 7 x 2 7 x 2x 6
2
22
7 x 0 x 7
x3
mãn:
3 t 3.
Gọi f(t) = t
2
+ 2t
9;
3 t 3
Bảng biến thiên:
t
3
1
3 +
f(t)
6
6
2 ; 7].
Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình
2
2x 4 16 2x 2 16 6x x m (1)
a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m =
2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [
2 ; 8].
Giải:
Điều kiện:
2 x 8
Đặt: t =
2x 4 16 2x;
2 5 t 2 10
t
2
=
2
22
t 2t 20 4 t 2t 24 0 4 t 6
Vậy:
2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 4; đúng x [ 2 ; 8]
2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x 36
22
4 16 6x x 16 16 6x x 16
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 24
25
2 10
+
f(t)
20 4 10
45
4 5 f(t) 20 4 10
; t
2 5 ; 2 10
Do đó (2) có nghiệm
4 5 2m m 2 5
Kết luận: m
25
, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c. Bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [
1)
2
3 x 3 5 x 4 2 15 2x x
2)
2
1 x x x x 1
3)
2
x x 2 1 x 1 x 2
4)
x1
x 1 4 x (x 4). 3
4x
Copyright: Tài liệu đại học ©