Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13)
Môn : Toán chung
(Thời gian làm bài 150 phút)
Không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2 điểm)
Cho P =
xy
yx
xxy
y
yxy
x +


+
+
.
a, Rút gọn P.
b, Chứng minh rằng nếu
5
1
+
+
=
y
x
y
x
thì P có giá trị không đổi.
Bài 2 ( 2 điểm) Tính giá trị biểu thức Q =
1

Xác định a, b để hệ phơng trình :



=+
=
1
2
byax
bayx
a, Có nghiệm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm.
Bài 5 ( 2 điểm) Giải phơng trình :
12221222 ++ xxxx
= 2
Bài 6 ( 2 điểm)Cho hàm số y = ax
2
(a 0)
a, Xác định a biết đờng cong y = ax
2
đi qua điểm A(3;3). Vẽ đồ thị
của hàm số tìm đợc.
b, Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc m (m 0) và đi qua điểm
(1;0). Tìm m để đờng thẳng đó tiếp xúc với parabol y =
3
1
x
2
.
Bài 7 (2 điểm)Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức : E =

MBOC nhỏ nhất.
Bài 10 ( 2 điểm)Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Gọi M, N,
P lần lợt là trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'.
a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và
mặt phẳng (AA'B'B)
b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phơng do mặt phẳng
(MNP) cắt ra.
**************************************
Đáp án - Hớng dẫn chấm
Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán chung
Bài Lời giải Điểm
Bài 1 2 điểm
a,
Điều kiện xy > 0, x y
P =
xy
yx
xyxy
yxxyyx
+


++
)(
))((
P =
xy
yx


0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 2 2 điểm
Ta cã
zyx
a
yz
a
zxyx
a
++
+
=
−
−
=
+
=
+
2
555
Suy ra
2
)(
25
zx
+
=
)2)((
)5)(5(

a
aaa
=
1
)2()2(
5
5
+
−+−
a
aaa
=
=
1
)1)(2(
5
5
+
+−
a
aa
= a – 2, víi a ≠ - 1
Víi a = 3 th× P = 1
víi a = -3 th× P = -5
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm

=
=
2
1
1
2
2
x
x
Với x
2
= 1 x
1
= 2 m =
2
3
Với x
2
=
2
1
x
1
= 1 m =
4
3

0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm

)2(1
)1(2
byax
ba yx
Từ (1) x =
2
ayb
+
thay vào (2) ta có a.
2
ayb
+
+ by = 1
y(a
2
+ 2b) = 2 ab (3). Phơng trình (3) có vô số nghiệm khi



=
=+
02
02
2
ab
ba





x
Đặt y =
12

x
, y 0
Phơng trình: | y 1 | = 1 y y 1.
Kết hợp với điều kiện 0 y 1 0
12

x
1
2
1
x 1
Đáp số :
2
1
x 1
0.5 điểm
0.5 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 6 2 điểm
a,
Đờng cong y = ax
2
đi qua A(3;3) a =

4
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 7 2 điểm
Đặt a =
x
1
, b =
y
1
, c =
z
1
abc =
xyz
1
= 1
x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
E =
cb
a
+
2
+
ac
b

ac
cbab
+
++
)(
+
ba
cbac
+
++
)(

2
3
(a+b+c)

cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2

a,
Ta có AHMI là hình bình hành (có cạnh đối song song)
Vì M, N đối xứng nhau qua HI
IN = IM .
Mặt khác do IM//AC
góc IMB = ACB =IBM
IBM cân
IM = IB. Vậy IN = IM = IB
INB cân
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b, Vì N, M đối xứng với nhau qua HI nên HI là đờng trung trực của
MN và đi qua trung điểm E của NM.
Mặt khác do AHMI là hình bình hành do đó HI cắt AM tại trung
điểm D của AM. Vậy DE là đờng trung bình của NMA.
DE//NA hay HI//NA tứ giác AHIN là hình thang. Ngoài ra ta
có NH=HM (do N đối xứng với M qua HI)
HM=AI (do AHMI là hình chữ nhật) NH = AI. Vậy hình thang
AHIN có 2 đờng chéo bằng nhau do đó nó là hình thang cân
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 9 2 điểm
a,
Chứng minh đợc OM BC
HOK AOM


1
MO.BC
S nhỏ nhất OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất
OM nhỏ nhất M A
BC nhỏ nhất BC OK M A
0.25 điểm
0,25 điểm
A
M
B
O
C
H
K
I
D
K
E
N
B M
C
H
A
P
Bài 10 2 điểm
a,
- Ta có MN//B'C'
nên giao tuyến của mp(PMN) và mp(A'B'C'D') là PQ//B'C'
- Ta có Q, M mp(PMN) và Q,M mp(AA'BB').
Vậy giao tuyến của mp(PMN) với mp(AA'BB') là QM

7
1
0,5 điểm
0,5 điểm
Q
D
C
B
A
A'
C'
D'
P
M
N
B'