ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II
A. ĐẠI SỐ:
I.BẤT ĐẲNG THỨC:
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cô – si):
Cho a, b là hai số thực:

2
a b
ab
+
≥ ∀
a,b
≥
0 Đẳng thức: xảy ra ⇔a=b
Bài tập:
1. CMR:
1
2 0a a
a
+ ≥ ∀ >

2. Cho a, b, c >0. CMR: a)
3
a b c
b c a
+ + ≥
b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥


8. CMR:
1 1 1
( )( )( ) 8 , , 0a b c a b c
a b c
+ + + ≥ ∀ >

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH:

1) Nhị thức bậc nhất:

x –
∞
–b/a +
∞
ax + b Trái dấu a 0 cùng dấu a
2) Tam thức bậc hai:
* f(x) =
2
ax bx c+ +
cùng dấu với a nếu
2
0ax bx c+ + =
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
*
2
0ax bx c+ + =
có hai nhiệm phân biệt x
1
x

5 2 7 0x x− − ≥
ĐS: T = (–
∞
; -1]
∪
[7/5; +
∞
)
d) (3x – 1)(
2
3 10x x+ −
)>0 ĐS: T = (–5; 1/3)
∪
(2; +
∞
)
e)
2
2
(3 )( 2)
0
5 2 3
x x x
x x
− − + −
≤
− + +
ĐS: T = (–3/5; 1)
∪
[3; +

x
−
−
HD: Bpt

2
4 4
0
2
x x
x
+ +
>
−
… ĐS: T = (2; +
∞
)
h)
3
2
3 2
x
x
> +
−
ĐS: T = (–
∞
;–7/3)
∪
(2/3; 1)

1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm của môt nhóm công nhân:
Thời gian
(phút)
42 44 45 48 50 54 Cộng
Tần số 4 5 20 10 8 3 50
Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số trên
ĐS:
46,6x ≈
; M
e
= 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : S
x

≈
3; Phương sai:
2
x
S

≈
8,9
2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán của lớp 10A:
Lớp điểm thi Tần số
[0 , 2) 2
[2 , 4) 4
[4 , 6) 12
[6 , 8) 28
[8 , 10] 4
Cộng 50
a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) ĐS:

N =36 100%
a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu *
b/ tìm các giá trị đại diện của các lớp
c/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm)
d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn)
5. Cho các số liệu thống kê:
111 112 112 113 114 114 115 114 115 116
112 113 113 114 115 114 116 117 113 115
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất; b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt.
IV. LƯỢNG GIÁC
Trang 2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II
1. Các công thức lượng giác cơ bản:
2 2
2 2
2 2
sin 1 os
sin os 1
os 1 sin
x c x
x c x
c x x
= −

+ = ⇒

= −

1
cot

os
1 tan
x
c x
x x
c x
c x
x

= −


+ = ⇒ ≠


=

+

2
2
2
2
2
2
1
cot 1
1
sin
1 cot (sinx 0)

− ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀
3. Công thức cộng:
*cos(
βα
±
) =cos
α
cos
β


sin
α
sin
β
*sin(
βα
±
) =sin
α
cos
β
±
sin
β
cos
β
* tan(
α
+

α
-1.
=1 - 2sin
2
α
* sin2
α
= 2sin
α
cos
α
* tan2
α
=
α
α
2
tan1
tan2
−
(Với tan2
α
; tan
α
) có nghĩa.
5. công thức hạ bậc:
2
1 cos2
sin
2

1
2
[cos(α +β) - cos(α -β)] *sinα cosβ=
1
2
[sin(α +β) + sin(α -β)]
7. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ − + −
+ = + =
+ − + −
− = − − =
cos cos 2 cos cos ; sin sin 2sin cos
2 2 2 2
cos cos 2 sin sin ; sin sin 2 cos sin
2 2 2 2
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
Bài tập:
1.Cho
3
sin =
5
α
và
0
2
π
α

. Tính sin
α
, cot
α
, cos2
α
.
ĐS: sin
α
= 4/5, cot
α
= –3/4, cos2
α
= –7/25
3.Cho tan
α
= 2 và
3
2
π
π α
< <
. Tính cot
α
, sin
α
.
ĐS: cot
α
= ½, sin

bit :






<<=



217
8
cos
6
*
. Tớnh :
( )
1
A 4. cos5x cosx .sinx
2
= +
; B= 4sinx .sin2x . sin3x; C =
4
cos.
24
5
sin

7* Bin ụi thnh tớch : M = sin 2x sin 4x + sin 6x .

coscossinsin =
*HD: +BVT theo CT cng
+s dng ht (a-b).(a+b)
10. Tớnh sin 2a ; cos 2a ; tan 2a bit :
a) sina = -0,6 &
2
3


<< a
; b)sina + cosa = -5/9 &


<< a
4
3
*HD:a) + Tớnh cosa
+ Tớnh sin 2a ; tan 2a theo CT nhõn ụi .
b) + Bỡnh phng 2 v ng thc ó cho
+Tỡm c sin 2a ; cos 2a ; tan 2a .
11
*
. Rỳt gn biu thc : A=
xxx
xxx
5cos3coscos
5sin3sinsin
++
++
T kt qu tỡm c hóy tớnh giỏ tr ca A bit cot 3x = -5/7

a
.
a
=
a
2
= (
a
)
2
= |
a
|
2
3.Bieồu thửực toùa ủoọ : Cho
a
=(a
1,
a
2
) ;
b
=(b
1
,b
2
) . Khi ú:
a
.
b

(
a

o
r
,
b

o
r
)
*
a

b
<=> a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
= 0
6. Khong cỏch gia hai im: Cho A( x
A;
y
A
) ; B(x
B;

2
= a
2
+ c
2
- 2ac.cosB
c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab.cosC
8. Hệ quả: *
bc
acb
A
2
cos
222
−+
=
; *
ac
bca
B
2
cos
222
−+

;
42
222
2
cba
m
c
−
+
=
10.Định lý sin trong tam giác:
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
==
= 2R (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
11.Công thức tính diện tích tam giác:
1 1 1
S . . .
2 2 2
a b c
a h b h c h= = =
1 1 1
S sin .sin sin
2 2 2
ab C ac B bc A= = =

60A =
)
. Tính BC.
4.
∆
ABC a = 7; b = 24; c = 23. Tính góc A , B, C của tam giác ABC, tính độ dài trung tuyến m
a
5. Cho tam giác ABC có
0 0
ˆ
ˆ
20 ; 31B C= =
và b= 210. Tính góc A , các cạnh còn lại và bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
6.Cho
∆
ABC có a=13 , b= 14 ; c=15 .Tính S
∆
ABC, R, r .
7. Cho
∆
ABC biết a =17,4 B = 44
0
30
’,
C =64
0
. Tính góc A và các cạnh b , c .
ĐS: A = 71
0

≈
1369.58
⇒
c
≈
37.0; cosA =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
≈
-0.1913
⇒
A
≈
101
0
2
’
; B
≈
180
0
–(101
0
2
’
+47
0

a
A
=
sin
b
B
nên sinB =
sinb A
a

≈
0.4791vì AC ngắn nhất nên B nhọn B
≈
28
0
38
’

10. Giải
∆
ABC vuông tại A, biết a= 72, B= 58
0
. Tính đường cao h
a,
.
*HD:
µ
C
= 90
0

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II

2 2 2
7225 2916 2714, 41
cos
2 2.85.54
b c a
A
bc
+ − + −
= =

≈
0,8090
⇒
A = 36
0

CosB =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
≈
-0,2834
⇒
B
≈
106

≈
0,79
⇒
B
≈
37
0
48’ & C
≈
22
0
12’
13. Cho
∆
ABC có b=7cm, c = 5cm và
3
cos
5
A =
. Tính a, sinA và S

ABC
, ha, R.
(ĐS:
4 1 2 7 2 5 2
2
4 2 ; sin ; sin 14 ; ;
5 2 2 2
S
a cm A S bc A cm ha R

2
84 ; 8 ; 3, 5 ; 9,18 )S cm ha cm r cm ma cm
ABC
= = = =
∆
16. Cho
∆
ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 145
0
. Tính a,
;B C
)
)
0 0
( : 23; 20 ; 14 )HD a B C= = =
)
)
17.Cho
∆
ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm. Tính .
; ;A B C
) )
)
0 0 0
( : 34 ; 44 ; 101 )HD A B C= = =
) )
)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN, ELIP, KHOẢNG CÁCH… VÀ GÓC…,
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI…
•

r
= (a; b), PTTQ là: a(x – x
0
) + b(y – y
0
) = 0
• Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
Dạng khai triển(PTTQ) : x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R =
2 2
a b c+ −
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b), bán kính R tại điểm M(x
0
; y
0
)là: (x
0
-a)(x-x
0
)+(y
0
-b)(x-y

F
2
= 2c, các tiêu điểm F
1
(–c; 0), F
2
(c; 0); Các đỉnh A
1
(–
a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0; –b), B
2
(0; b), tâm sai:
1
c
e
a
= <
• Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
) đến
∆
: ax + by + c = 0 là:
0 0
2 2

0 ( )
0 ( )
a x b y c
a x b y c
+ + = ∆


+ + = ∆


+ Có nghiệm duy nhất (
1 1
2 2
a b
a b
≠
) là (x
0
; y
0
) thì
1
∆
cắt
2
∆
tại (x
0
; y
0

0
; y
0
)
+ d(I,) > R thì  nằm ngoài (C)
Bài tập:
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) và C(2;-1).
a)Viết PTTQ của đường thẳng AB ĐS:
04 =+− yx
b) Viết PT TQ của đường cao CH ĐS:
01 =−+ yx
c) Viết PT TS của đường thẳng BC ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t
d) Viết PT TS của đường cao AK ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t
c) Viết phương trình tròn đương kính AB ĐS: (x + 2)
2
+ (y –2)
2
= 2
d)Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua C ĐS: (x +3)
2
+ (y –1)
2
= 29
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
∆
:
0143 =−− yx

a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng
∆

:3 4 2 0x y∆ − + =
a) Chứng minh rằng:
1
∆
và
2
∆
cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm của
1
∆
và
2
∆
ĐS: (–6/7; –1/7)
b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d đi qua điểm M(1;-3) và song song
1
∆
ĐS: 2x–5y–17= 0
6. a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;-2) và bán kính R= 5. ĐS:
( ) ( )
2 2
3 2 25x y− + + =
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(0;2) ĐS:
3 4 8 0x y− + =
7. Cho đường tròn
2 2
( ) : 4 2 5 0C x y x y
+ + − − =
. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R =
10

2 2
1
9 8
x y
+ =
11. Viết phương trình chính tắc của (E) có trục lớn 10 và tiêu điểm ( 3 , 0) ĐS:
2 2
1
25 16
x y
+ =
Trang 7