HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI
Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương
Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:
( )
1
f x tan x .
2x 1 2x 1
= +
+ + −
( )
1
F x tan x dx.
2x 1 2x 1
 
= +
 ÷
+ + −
 
∫
Xét:
( )
1 2x 1 2x 1
f x tanx tanx
2
2x 1 2x 1
+ − −
= + = +
+ + −
Nên:
( )

3 3 3 3
1 1 1 1
dx x 1 x 1 x 1 x 1
I dx dx dx
2 2 2
x 1 x 1
+ − − + −
= = = −
+ + −
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
3 3
3 3
2 2
1 1
1 1
1 1 1 1
x 1d(x 1) x 1d(x 1) (x 1) (x 1)
2 2 3 3
= + + − − − = + − −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
1 1 4
8 2 2 2 2 0 2 2 .
3 3 3
= − − − = −
Bài 3: Tính tích phân:
1
0
dx

1
0
dx
I
1 x x
=
+ +
∫
.
Hồn tồn tương tự ta có:
( )
4
I 2 1 .
3
= −
Bài 5: Tính tích phân:
e
1
2 ln x
I dx
2x
+
=
∫
.
Ta có:
e
e e
3
2

=


.
Ta cú:
2
2
dx dx
I
1 5
x x 1
(x )
2 4
= =
t:
1
t x dt dx
2
= =
Khi ú:
2 2
dx dt
I
1 5 5
(x ) t
2 4 4
= =

du 5 1
I ln u C ln t t C ln x x x 1 C.
u 4 2
= = + = + + = + + +

Baứi 8: Tớnh tớch phaõn:
e
1
1 ln x
I dx
x
+
=

.
Ta cú:
( )
e
e e
3
2
1 1
1
1 ln x 2 2
I dx 1 ln x d(1 ln x) (1 ln x) 2 2 1 .
x 3 3
+
= = + + = + =

Baứi 9: Tớnh tớch phaõn:


= + + = + +


= + + + + = + + = Baứi 10: Tớnh tớch phaõn:
2
2 3
0
I x 1 x dx.= +

Ta cú:
(
)
2
2 2
3
2 3 3 3 3 3
2
0 0
0
1 1 2 2 52
I x 1 x dx 1 x d(1 x ) . (1 x ) 9 1 .
3 3 3 9 9
= + = + + = + = =

Baứi 11: Tớnh tớch phaõn:
1

I t 1 t dt t t dt ( )
5
3
2 2 2
1 1
2
2
1

ữ
ữ

ữ
ữ

= = = =

- 2 -
Loại 2: Dùng Kỹ Thuật Phân Tích (Đổi biến cơ bản)
Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:
( )
10
x
f x .
x 1
=
+
Đặt:
= + ⇔ = + ⇒ =
10 9

Đặt:
( )
2 3
2 3 2
3
2
2
x t 1
t 1 x t 1 x
3t dt
2xdx 3t dt xdx
2

= −

= + ⇔ = + ⇒

= ⇒ =


Khi đó:
( ) ( )
7 4
3
3 2 3 3 6 3
3 3 3 t t
F(x) x . 1 x dx t 1 t dt t t dt C.
2 2 2 7 4
 
= + = − = − = − +

= + ⇔ = + ⇒ =
Đổi cận:
=

=

⇒


=
=


x 0
t 1
t 2
x 7
Vậy:
( )
2
3 2
2 2
5 2
4
1 1
1
t 1 t
3 3 3 t t 141
I dt (t t)dt
2 t 2 2 5 2 20

 
x 1 t 0
x 0 t 1
Vậy:
( )
( )
( ) ( )
0 1 1
4 4
2 2 2 2 4 6 8 2
1 0 0
I 1 t t 2tdt 2 1 t t dt 2 1 4t 6t 4t t t dt= − − = − = − + − +
∫ ∫ ∫
( )
1
1
3 5 7 9 11
2 4 6 8 10
0
0
t t t t t 256
2 t 4t 6t 4t t dt 2 4 6 4
3 5 7 9 11 3465
 
= − + − + = − + − + =
 ÷
 
∫
Bài 5: Tính tích phân:
1

Bài 6: Tính tích phân:
3
5 2
0
I x . 1 x dx.= +
∫
- 3 -
2 2
2 2 2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2xdx 2tdt hay xdx tdt

= −
= − ⇔ = − ⇒

= − = −

Đổi cận:

=

=
⇒


=
=



2
π
= ≤ ≤ ⇒ =
Đổi cận:
x 1
t
2
x 0
t 0
π

=
=


⇒


=

=

Vậy:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0
I sin t. 1 sin t.cos tdt sin t. cos t .cos tdt sin t.cos tdt do cos t 0
π π π
= − = = >

2
2
=

π

= ≤ ≤ ⇒
π

 
− = = ≤ ≤
 ÷

 

Đổi cận:
x 2
t
2
x 0
t 0
π

=
=


⇒



I x 1 x dx.= −
∫
.
Đặt:
2
2
x 1 t
t 1 x t 1 x
dx 2tdt

= −
= − ⇔ = − ⇒

= −

Đổi cận:
= =
 
⇒
 
= =
 
x 1 t 0
x 0 t 1
Vậy:
( )
( )
( ) ( )
0 1 1
2 2 2 2 4

= ≤ ≤ ⇒ =
- 4 -
Đổi cận:
2
t
x
4
2
t 0
x 0

π

=
=


⇒


=
=



Vậy:
( )
2 2
4 4
0 0

+ +
∫
.
Ta có:
7 7 7
2 2 2
dx x 2 1 x 2 1
I dx dx
x 1
x 2 1 ( x 2 1)( x 2 1)
+ − + −
= = =
+
+ + + + + −
∫ ∫ ∫
7 7 7 7
7
2
2 2 2 2
x 2 dx x 2 x 2 8
dx dx ln x 1 dx ln
x 1 x 1 x 1 x 1 3
+ + +
= − = − + = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt:
2
2
x t 2

 ÷
+ +
− −
 
∫ ∫ ∫
2 4ln 2 2ln3.= − +
Baøi 12: Tính tích phaân:
2
2
2
2
x 1
I dx.
x. x 1
−
−
+
=
+
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
2 2
x t 1
t x 1 t x 1
dx t.dt t.dt
2x.dx 2t.dt
x
x t 1

2 2
5 5
5
2 3 3 5
t 1 1 t 1 1
I .dt (1 ).dt t ln 3 5 ln
2 t 1 2 2
t 1 t 1
− +
 
−
= = + = + = − +
 ÷
+
− −
 
∫ ∫
.
Baøi 13: Tính tích phaân:
7
3
3
0
x 1
I dx
3x 1
+
=
+
∫

1 t 1 1 1 t t 46
I .t .dt (t t)dt
3 t 3 3 5 2 15
 
−
= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
.
Baøi 14: Tính tích phaân:
1
2
1
dx
I
1 x 1 x
−
=
+ + +
∫
.
- 5 -
Đặt:
( )
2
2
2 2 2
2
t 1


= −
= − +



x t
x
t
Vậy
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 t 1 1 dt 1 dt 1 1 1 1
I dt ln 1 t ( )dt
2 t (1 t) 2 (1 t) 2 t (1 t) 2 2 t t(1 t)
+
+ + + +
− +
− + − + − + − +
+
= = + = + + −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1 2
1 2
1 2

t 1 x t 1 x
2xdx 2tdt xdx tdt

= −
= + ⇔ = + ⇒

= ⇔ =

Đổi cận:
x 1
t 2
x 0
t 1

=

=
⇒


=
=


Vậy:
( ) ( )
2
2 2
5 3
2 2 4 2

6
π

=
=



⇒


π
= −

= −



Vậy:
1
2 2
2 2
1
2 6 6
I 1 x dx cos t .cos tdt cos tdt do : t ; cos t 0
6 2
π π
π π
− − −
 π π 

0
dx
I
(1 x ). 1 x
=
+ +
∫
với m là số nguyên dương.
Đặt:
( )
( )
( )
1
m m m
m
m m m
m 1 m 1
m
m 1 m 1
m 1
m 1
m
m
x t 1 x t 1
t 1 x t 1 x
t dt t dt
x dx t dt dx
x
t 1
− −


- 6 -
Khi đó:
( )
( ) ( )
m m m
m 1
m 1
m
2 2 2
m
m 1
m 1 m 1
m 1
m 1 m 2 m
1 1 1
m m
t
t 1
t dt
I dt dt
t
t . t 1 t . t 1
−
−
−
− −
+
+
−

+
+
 
−
 ÷
 
= = =
   
 
−
−
 ÷
 ÷
 
 
 
 
∫ ∫ ∫
Ta lại đặt tiếp:
m m 1 m 1
1 m.dt du dt
u 1 du
t t m t
+ +
= − ⇒ = ⇔ =
Đổi cận:
m
1
u
t 2

m m
m 1
m
1 o o
0
0
1
1
u 1 1 u 1
t
I dt du u du u
1
t m m m
2
m
−
−
−
+
 
 
−
 ÷
 ÷
 
= = = = = =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫ ∫

x 0
t 1

=

=
⇒


=
=


Vậy:
2
3
3 3
3
2
1 1
1
t 1
1 1 t 1
2
I .tdt (t 1).dt t
t 2 2 3 3
−
 
= = − = − =
 ÷

= −
= + ⇔ = + ⇒

= ⇔ =

Đổi cận:
x 4
t 5
t 4
x 7
=

=

⇒


=
=


Vậy:
( ) ( )
5
5 5
2 2
4 4
4
t.dt dt 1 t 3 1 7
I ln ln

3 3 3 3
2
2 2 2 2
3 3 3 3
2
2 2 2 2
1
1 x x
x
I f ( )dx dx dx dx
x
1
x 1 x (1 x ) 1 1 x
1
x
−
= = = =
 
− − − −
 
−
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt: Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2xdx 2t.dt xdx t.dt

= −

Vây:
( )
1 1
1
3 3
3
2
2
1
1 1
2
2 2
t.dt dt 1 t 1 1 3
ln ln
2 t 1 2 2
t 1
t t 1
−
= = =
+
−
−
∫ ∫
.
Baøi 21: Tính tích phaân:
2
3
0
x 1
I dx

=

=

⇒


=
=


Vậy:
( )
3 3
3
2
2 2
3 5 2
3
2 4
2 2
2
t 1 1 1 t t 84 9 4
.t dt t t .dt
3.t 3 3 5 2 30
 
+ −
= − = − =
 ÷
 

t 1
x
2
t 0
x 0
π

=
=


⇒


=

=

Khi đó:
1
2 2
0
1 dt
I
2
2 t
=
−
∫
Ta lại đặt:



=

=

Vậy:
6 6
6
0 0
0
1 2cos tdt 1 1
I dt .t
2cos t
2 2 2 6 2
π π
π
π
= = = =
∫ ∫
Baøi 23: Tính tích phaân:
1
3 2
0
I x 1 x dx.= −
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t

= + = + = − − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Baøi 24: Tính tích phaân:
( )
a
2 2 2
0
I x a x dx ; a 0= − >
∫
Đặt:
2 2 2 2
du a.cost.dt
u a.sint 0 t
2
a u 2 2sin t a cost a.cost
=

π

 
= ≤ ≤ ⇒

 ÷
− = − = =
 


Đổi cận:

− π
 
= = = = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Baøi 25: Tính tích phaân:
ln 3
x
0
dx
I
e 1
=
+
∫
.
Đặt:
x 2
x
x
x 2
e t 1
t e 1
2tdt 2tdt
e .dx 2tdt
e t 1

= +


2 t 1 3
t 1 t 1
− +
= = =
+
− −
∫ ∫
Baøi 26: Tính tích phaân:
2
2
2
3
dx
I
x. x 1
=
−
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t
t x 1 t x 1
dx tdt

= −
= − ⇔ = − ⇒

=


3 3
xdx tdt
I
t 1 t
x . x 1
= =
+
−
∫ ∫
Ta lại đặt:
( )
2
t tan u t dt 1 tan u du
2 2
π π
 
= − < < ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
t 1
u
4
1
t
u
3
6
π


+ π
= = = =
+
∫ ∫
.
Baøi 27: Tính tích phaân:
1
15 8
0
I x 1 3x dx.= +
∫
- 9 -
Đặt:
2
8
8 2 8
7 7
t 1
x
3
t 1 3x t 1 3x
t.dt
24x dx 2t.dt x dx
12

−
=


= + ⇔ = + ⇒

Baøi 28: Tính tích phaân:
ln 2
2x
x
0
e
I dx.
e 1
=
+
∫
Đặt:
( )
x 2
x
x 2x x 2
e t 1
t e 1
e dx 2tdt e dx e 2tdt t 1 2tdt

= +

= + ⇒

= ⇔ = = −


Đổi cận:
x ln2 t 3
x 0

2
0
x dx
I
x x 1
=
+ +
∫
Ta có:
(
)
1 1 1 1 1
3
3 2 4 3 2 3 2
2
0 0 0 0 0
x dx 1
I x x 1 x dx x dx x x 1dx x x 1dx
5
x x 1
= = + − = − + + = − + − +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x t 1
t x 1 t x 1
xdx tdt


2 2 1
t t 2 2 2
I t 1 t .dt (t t )dt
5 3 15 15 15
+
 
= − = − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫
Baøi 30: Tính tích phaân:
2
3
1
dx
I
x. 1 x
=
+
∫
Đặt:
3 2
3 2 3
2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2
x dx tdt
3


I .dt . ln ln
3 3 2 t 1 3 2
t 1
− −
= = =
+
−
∫
Baøi 31: Tính tích phaân:
1
2 3
0
I (1 x ) dx.= −
∫
Ta có:
1 1
2 3 2 2
0 0
I (1 x ) dx 1 x 1 x dx.= − = − −
∫ ∫

Do:
[ ]
2
x 0;1 1 x 0∈ ⇒ − ≥
nên
2 2
1 x 1 x− = −
Đặt:
2 2

2
x 0
t 0
Vậy:
2
2 2 2
4 2
0 0 0
1 cos2t 1
I cos tdt dt (1 2cos2t cos 2t)dt
2 4
π π π
+
 
= = = + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2
2
0
0
1 3 1 1 3 1 3
( 2cos 2t cos4t)dt ( t sin 2t sin 4t)
4 2 2 4 2 8 16
π
π
π
= + + = + + =
∫