Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
. Phơng pháp bất đẳng thức.
. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Phơng trình dạng
)()( xgxf =
Cách giải:



=

=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ : giải các phơng trình sau:
a)
332 = xx
c)
31 =+ xx
b)

x
xx

d) Đặt t=
6
7
22
2
27126

=+
t
xxxx
PT đã cho tơng đơng với PT
7;1076
2
=== tttt
từ đó suy ra x (loại t=-1)
2. Phơng trình dạng
)()()( xhxgxf =+
hoặc
)()()()( xuxhxgxf +=+
Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT đã cho về PT đã biết cách giải.
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp khác, chỉ bình phơng khi biết
hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phơng trình hệ quả, có thể phân tích thành tích nếu đợc.
Ví dụ: giải các PT
a)
322315 = xxx
b)
3343 =+ xx

333
3221 =+ xxx
Giải: Phơng trình tơng đơng với
[ ]
2
3
3
33
3
;2;10)32)(2)(1(
3221)2)(1(32
====
=++
xxxxxx
xxxxxx
II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tuỳ từng phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đa về phơng trình đã biết cách
giải, sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ1: giải biện luận phơng trình:
axxx
=++++
4
1
2
1
Giải: đặt t=
4
1
2
4

2342
++=++ xxxxxx
1
Giải: biến đổi PT thành
35)742(16)742(7424
2222
+++++=++ xxxxxx
đặt
5;742
2
++= txxt
đơc pt
0)12()6(035416
22224
=+=+ ttttt
Ví dụ3: giải phơng trình :
3)6)(3(63 =++++ xxxx
Giải: đặt
=t
233,63 ++ tkiBunhiacopsxx

2
9
2
2
)6)(3()6)(3(29

=+++=
t
xxxxt

2)(4x
2
+7x+14) = 0 . Đáp số x=2.
Ví dụ5:
8)1(2)3)(1(
1
3
=++

+
x
x
xxx
Điều kiện:
1;3 > xx
Đặt y=
,1
3
)1(

+

x
x
x
phơng trình trở thành
y
2
+2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4
với y=2, ta có

chọn x=
521
.
III/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ1: Giải phơng trình
11610145 =+++++ xxxx
(1)
Giải: (1)






=+++
<=+++
<=+++

=+++=+++
)8(13121
)83(11321
)31(11312
131211)31()21(
22
xxx
xxx
xxx
xxxx
Nghiệm là:
83 x

(1) b)
211 =+ xx
(2)
Giải: a) đk:
1

x
, khi đó x<5x do đó
151 < xx
suy ra vế trái của (1) âm còn vế phải
không âm . Phơng trình vô nghiệm,
b) ĐK:
1x
khi đó (2)
121 ++= xx
vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phơng trình vô
nghiệm.
2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ1: giải phơng trình
564630527122
222
+=+++ xxxxxx
(1)
Giải: vế trái
4191)3(59)3(2
22
=++++ xx
2
vế phải
44)3(56

+
=++
xx
xxxx
Giải: áp dụng BĐT côsi
2
ba
ab
+

với
0,0 ba
có : ta c ú
22222222222222
)()())(( bcadbdacdbcbdacadcba ++=+++=++
2
952
2
)274(
22
2
22
)2)(74(
+
+++
=++
xx
xxxx
xxxx
dấu bằng xảy ra khi x

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều kiện để ph-
ơng trình có nghiệm.
1. Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp đạo hàm để
chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x
0
, từ đó kết luận x
0
là
nghiệm.
+ Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh
)()( xgxf
hoặc
)()( xgxf
hoặc
Axf )(
và
Axg )(
hoặc ngợc
lại.
+Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả:
+Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì cắt tại một
điểm duy nhất . Từ đó phơng trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm.
+ Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y)

x=y
2. Các ví dụ:
Ví dụ1: giảI phơng trình :
231231 +=++++ xxx
Giải: Điều kiện
2

>>++=
++
xxf
xxx
)(xf
tăng trên
[
)
+;
2
1
lại có
23)1( +=f
nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng
23 +=y
tại một điểm duy nhất
x=1. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: giải phơng trình :
82315
22
++=+ xxx
Giải:
232381582315
815
7
2222
22
==++++=+
+++
xxxxxxx





2
2
y
x
từ hệ

2525 +=+ yyxx

)()( yfxf =
Xét hàm số
25)( += tttf
với
2

t

0)(
2.52
52
22
1
52
1
/
<==
+

x
x
=+
+

+

4
1
1
1
1
23
(1) đặt
4
1
1
+

=
x
x
t
, khi đó (1) trở thành
-3t
2
+2t=m vì t=
4
1
2

Phơng trình đã cho có nghiệm t
[
)
3
1
11;0 < m
Một số bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:
1)
452 = xx
6)
432 =+ xx
2)
66496
22
+=+ xxxx
7)
11)1()1(
3
2
3
2
3
2
=+++ xxx
3)
12611246 =+++++ xxxx
8)
61224
3
=++ xx